第一章三角函數 9三角函數的簡單應用 學習目標1 會用三角函數解決一些簡單的實際問題 2 體會三角函數是描述周期變化現象的重要函數模型 題型探究 問題導學 內容索引 當堂訓練 問題導學 思考 知識點利用三角函數模型解釋自然現象 現實世界中的周期現象可以用哪種數學模型描述 答案 答案三角函數模型 在客觀世界中 周期現象廣泛存在 潮起潮落 星月運轉 晝夜更替 四季輪換 甚至連人的情緒 體力 智力等心理 生理狀況都呈現周期性變化 梳理 1 利用三角函數模型解決實際問題的一般步驟 第一步 閱讀理解 審清題意 讀題要做到逐字逐句 讀懂題中的文字 理解題目所反映的實際背景 在此基礎上分析出已知什么 求什么 從中提煉出相應的數學問題 第二步 收集 整理數據 建立數學模型 根據收集到的數據找出變化規律 運用已掌握的三角函數知識 物理知識及相關知識建立關系式 將實際問題轉化為一個與三角函數有關的數學問題 即建立三角函數模型 從而實現實際問題的數學化 第三步 利用所學的三角函數知識對得到的三角函數模型予以解答 第四步 將所得結論轉譯成實際問題的答案 2 三角函數模型的建立程序如圖所示 題型探究 類型一三角函數模型在物理中的應用 解答 例1已知電流I與時間t的關系為I Asin t 1 如圖所示的是I Asin t 0 在一個周期內的圖像 根據圖中數據求I Asin t 的解析式 解答 2 如果t在任意一段的時間內 電流I Asin t 都能取得最大值和最小值 那么 的最小正整數值是多少 300 942 又 N 故所求最小正整數 943 此類問題的解決關鍵是將圖形語言轉化為符號語言 其中 讀圖 識圖 用圖是數形結合的有效途徑 反思與感悟 跟蹤訓練1一根細線的一端固定 另一端懸掛一個小球 當小球來回擺動時 離開平衡位置的位移S 單位 cm 與時間t 單位 s 的函數關系是S 6sin 2 t 1 畫出它的圖像 解答 列表 描點畫圖 2 回答以下問題 小球開始擺動 即t 0 離開平衡位置是多少 解答 解小球開始擺動 即t 0 離開平衡位置為3cm 小球擺動時 離開平衡位置的最大距離是多少 解小球擺動時離開平衡位置的最大距離是6cm 小球來回擺動一次需要多少時間 解小球來回擺動一次需要1s 即周期 類型二三角函數模型在生活中的應用 例2某游樂園的摩天輪最高點距離地面108米 直徑長是98米 勻速旋轉一圈需要18分鐘 如果某人從摩天輪的最低處登上摩天輪并開始計時 那么 1 當此人第四次距離地面米時用了多少分鐘 解答 解如圖 建立平面直角坐標系 故t 18k 3 k Z 故t 3 15 21 33 2 當此人距離地面不低于米時可以看到游樂園的全貌 求摩天輪旋轉一圈中有多少分鐘可以看到游樂園的全貌 解答 故不妨在第一個周期內求即可 因此摩天輪旋轉一圈中有3分鐘可以看到游樂園的全貌 解決三角函數的實際應用問題必須按照一般應用題的解題步驟執行 1 認真審題 理清問題中的已知條件與所求結論 2 建立三角函數模型 將實際問題數學化 3 利用三角函數的有關知識解決關于三角函數的問題 求得數學模型的解 4 根據實際問題的意義 得出實際問題的解 5 將所得結論返回 轉譯成實際問題的答案 反思與感悟 跟蹤訓練2如圖所示 一個摩天輪半徑為10m 輪子的底部在距離地面2m處 如果此摩天輪按逆時針轉動 每30s轉一圈 且當摩天輪上某人經過點P處 點P與摩天輪中心高度相同 時開始計時 解答 1 求此人相對于地面的高度關于時間的關系式 2 在摩天輪轉動的一圈內 大約有多長時間此人相對于地面的高度不小于17m 解答 故此人有10s相對于地面的高度不小于17m 當堂訓練 2 3 4 1 答案 解析 1 一根長lcm的線 一端固定 另一端懸掛一個小球 小球擺動時離開平衡位置的位移s cm 與時間t s 的函數關系式為s 3cos 其中g是重力加速度 當小球擺動的周期是1s時 線長l cm 2 3 4 1 2 某城市一年中12個月的平均氣溫與月份的關系可近似地用三角函數y a Acos x 1 2 3 12 來表示 已知6月份的月平均氣溫最高 為28 12月份的月平均氣溫最低 為18 則10月份的平均氣溫為 20 5 故10月份的平均氣溫值為 答案 解析 答案 2 3 4 1 解析 3 一個單擺的平面圖如圖 設小球偏離鉛錘方向的角為 rad 并規定當小球在鉛錘方向右側時 為正角 左側時 為負角 作為時間t s 的函數 近似滿足關系式 Asin t 其中 0 已知小球在初始位置 即t 0 時 且每經過 s小球回到初始位置 那么A 關于t的函數解析式是 2 3 4 1 4 某實驗室一天的溫度 單位 隨時間t 單位 h 的變化近似滿足函數關系 2 3 4 1 解答 1 求實驗室這一天的最大溫差 2 3 4 1 又0 t 24 于是f t 在 0 24 上的最大值為12 最小值為8 故實驗室這一天的最高溫度為12 最低溫度為8 最大溫差為4 2 若要求實驗室溫度不高于11 則在哪段時間實驗室需要降溫 2 3 4 1 解答 2 3 4 1 解依題意 當f t 11時實驗室需要降溫 又0 t 24 即10 t 18 故在10時至18時實驗室需要降溫 規律與方法 1 三角函數模型是研究周期現象最重要的數學模型 三角函數模型在研究物理 生物 自然界中的周期現象