考點03函數(shù)及其表示1.了解函數(shù)、映射的概念.2.了解函數(shù)的定義域、值域及三種表示法（解析法、圖象法和列表法）.3.了解簡單的分段函數(shù)，會用分段函數(shù)解決簡單的問題.一、函數(shù)的概念1函數(shù)與映射的相關(guān)概念（1）函數(shù)與映射的概念函數(shù)映射兩個集合A、B設(shè)A、B是兩個非空數(shù)集設(shè)A、B是兩個非空集合對應(yīng)關(guān)系按照某種確定的對應(yīng)關(guān)系f，使對于集合A中的任意一個數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對應(yīng)按某一個確定的對應(yīng)關(guān)系f，使對于集合A中的任意一個元素x，在集合B中都有唯一確定的元素y與之對應(yīng)名稱稱f：AB為從集合A到集合B的一個函數(shù)稱f：AB為從集合A到集合B的一個映射記法yf(x)，xAf：AB注意：判斷一個對應(yīng)關(guān)系是否是函數(shù)關(guān)系，就看這個對應(yīng)關(guān)系是否滿足函數(shù)定義中“定義域內(nèi)的任意一個自變量的值都有唯一確定的函數(shù)值”這個核心點（2）函數(shù)的定義域、值域在函數(shù)yf(x)，xA中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域，與x的值相對應(yīng)的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合f(x)|xA叫做函數(shù)的值域（3）構(gòu)成函數(shù)的三要素函數(shù)的三要素為定義域、值域、對應(yīng)關(guān)系.（4）函數(shù)的表示方法函數(shù)的表示方法有三種：解析法、列表法、圖象法.解析法：一般情況下，必須注明函數(shù)的定義域；列表法：選取的自變量要有代表性，應(yīng)能反映定義域的特征；圖象法：注意定義域?qū)D象的影響.2必記結(jié)論(1)相等函數(shù)如果兩個函數(shù)的定義域相同，并且對應(yīng)關(guān)系完全一致，則這兩個函數(shù)相等兩個函數(shù)是否是相等函數(shù)，取決于它們的定義域和對應(yīng)關(guān)系是否相同，只有當(dāng)兩個函數(shù)的定義域和對應(yīng)關(guān)系完全相同時，才表示相等函數(shù)函數(shù)的自變量習(xí)慣上用x表示，但也可用其他字母表示，如：f(x)2x1，g(t)2t1，h(m)2m1均表示相等函數(shù).(2)映射的個數(shù)若集合A中有m個元素，集合B中有n個元素，則從集合A到集合B的映射共有個二、函數(shù)的三要素1函數(shù)的定義域函數(shù)的定義域是使函數(shù)解析式有意義的自變量的取值范圍，常見基本初等函數(shù)定義域的要求為：(1)分式函數(shù)中分母不等于零.(2)偶次根式函數(shù)的被開方式大于或等于0.(3)一次函數(shù)、二次函數(shù)的定義域均為R.(4)yx0的定義域是x|x0.(5)yax(a0且a1)，ysinx，ycosx的定義域均為R.(6)ylogax(a0且a1)的定義域為(0，).(7)ytanx的定義域為.2函數(shù)的解析式(1)函數(shù)的解析式是表示函數(shù)的一種方式，對于不是yf(x)的形式，可根據(jù)題目的條件轉(zhuǎn)化為該形式.(2)求函數(shù)的解析式時，一定要注意函數(shù)定義域的變化，特別是利用換元法(或配湊法)求出的解析式，不注明定義域往往導(dǎo)致錯誤.3函數(shù)的值域函數(shù)的值域就是函數(shù)值構(gòu)成的集合，熟練掌握以下四種常見初等函數(shù)的值域：(1)一次函數(shù)ykxb(k為常數(shù)且k0)的值域為R.(2)反比例函數(shù)(k為常數(shù)且k0)的值域為(，0)(0，)(3)二次函數(shù)yax2bxc(a，b，c為常數(shù)且a0)，當(dāng)a0時，二次函數(shù)的值域為；當(dāng)a1，則f(f(2)=_；f(x)的值域為_.8已知函數(shù)fx=x2+2x-1，函數(shù)y=gx為一次函數(shù)，若gfx=2x2+4x+3，則gx=_.9已知函數(shù),，則_10設(shè)函數(shù)則使得成立的的取值范圍是_1（2019年高考全國卷文數(shù)）設(shè)f(x)為奇函數(shù)，且當(dāng)x0時，f(x)=，則當(dāng)x0時，f(x)=ABCD2（2019年高考全國卷理數(shù)）設(shè)函數(shù)的定義域為R，滿足，且當(dāng)時，若對任意，都有，則m的取值范圍是ABCD3（2018年高考全國I卷文科）設(shè)函數(shù)，則滿足的x的取值范圍是ABCD4（2017年高考山東卷理科）設(shè)函數(shù)的定義域為，函數(shù)的定義域為,則A（1,2）BC（2,1）D2,1)5（2017年高考天津卷理科）已知函數(shù)設(shè)，若關(guān)于x的不等式在R上恒成立，則a的取值范圍是ABCD6（2018年高考浙江卷）已知R，函數(shù)f(x)=，當(dāng)=2時，不等式f(x)1時，f(x)=f(x-2)只是圖象的一個平移過程，所以值域是(-,0，填(1)0,(2)(-,0.【名師點睛】本題綜合考查分段函數(shù)求復(fù)合函數(shù)值問題，及分段函數(shù)值域問題，一般是分段求出y的取值范圍再求出整個函數(shù)的值域，本題解法根據(jù)函數(shù)平移對函數(shù)值域影響，省去了求函數(shù)表達式過程，更簡潔.8【答案】2x+5【解析】由題意，函數(shù)y=gx為一次函數(shù)，由待定系數(shù)法，設(shè)gx=kx+b（k0），gfx=kx2+2x-1+b，由對應(yīng)系數(shù)相等，得k=2，b=5.即答案為2x+5.9【答案】3【解析】由題意，得，即，解得，即.故填3.10【答案】.【解析】由，得或，得或，即的取值范圍是，故答案為.【名師點睛】本題主要考查分段函數(shù)的解析式、由分段函數(shù)解不等式，屬于中檔題.對于分段函數(shù)解析式的考查是命題的動向之一，這類問題的特點是綜合性強，對抽象思維能力要求高，因此解決這類題一定要層次清楚，思路清晰.直通高考1【答案】D【解析】由題意知是奇函數(shù)，且當(dāng)x0時，f(x)=，則當(dāng)時，則，得故選D【名師點睛】本題考查分段函數(shù)的奇偶性和解析式，滲透了數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)采取代換法，利用轉(zhuǎn)化與化歸的思想解題2【答案】B【解析】，時，；時，；時，如圖：當(dāng)時，由解得，若對任意，都有，則.則m的取值范圍是.故選B.【名師點睛】本題考查了函數(shù)與方程，二次函數(shù).解題的關(guān)鍵是能夠得到時函數(shù)的解析式，并求出函數(shù)值為時對應(yīng)的自變量的值.3【答案】D【解析】將函數(shù)的圖象畫出來，觀察圖象可知會有，解得，所以滿足的x的取值范圍是，故選D【思路分析】首先根據(jù)題中所給的函數(shù)解析式，將函數(shù)圖象畫出來，從圖中可以發(fā)現(xiàn)：若有成立，一定會有，從而求得結(jié)果.【名師點睛】該題考查的是通過函數(shù)值的大小來推斷自變量的大小關(guān)系，從而求得相關(guān)的參數(shù)的值的問題，在求解的過程中，需要利用函數(shù)解析式畫出函數(shù)圖象，從而得到要出現(xiàn)函數(shù)值的大小，絕對不是常函數(shù)，從而確定出自變量所處的位置，結(jié)合函數(shù)值的大小，確定出自變量的大小，從而得到其等價的不等式組，最后求得結(jié)果.4【答案】D【解析】由得，由得，故，選D5【答案】A【解析】不等式可化為 (*)，當(dāng)時，(*)式即，即，又（當(dāng)時取等號），（當(dāng)時取等號），所以，當(dāng)時，(*)式為，又（當(dāng)時取等號），（當(dāng)時取等號），所以綜上，故選A【名師點睛】首先將轉(zhuǎn)化為，涉及分段函數(shù)問題要遵循分段處理的原則，分別對的兩種不同情況進行討論，針對每種情況根據(jù)的范圍，利用極端原理，求出對應(yīng)的的取值范圍6【答案】(1,4) 【解析】由題意得或，所以或，即，故不等式f(x)0的解集是當(dāng)時，此時，即在上有兩個零點；當(dāng)時，由在上只能有一個零點得.綜上，的取值范圍為.【名師點睛】根據(jù)分段函數(shù)，轉(zhuǎn)化為兩個不等式組，分別求解，最后求并集.先討論一次函數(shù)零點的取法，再對應(yīng)確定二次函數(shù)零點的取法，即得參數(shù)的取值范圍.已知函數(shù)有零點求參數(shù)取值范圍常用的方法和思路：(1)直接法：直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；(2)分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問題加以解決；(3)數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解7【答案】2，+）【解析】要使函數(shù)有意義，則需，解得，即函數(shù)的定義域為.【名師點睛】求給定函數(shù)的定義域往往需轉(zhuǎn)化為解不等式（組）的問題.求解本題時，根據(jù)偶次根式下被開方數(shù)非負(fù)列不等式，解對數(shù)不等式得函數(shù)定義域.8【答案】【解析】由題意得到關(guān)于x的不等式，解不等式可得函數(shù)的定義域.由已知得,即，解得，故函數(shù)的定義域為.【名師點睛】求函數(shù)的定義域，其實質(zhì)就是以函數(shù)解析式有意義為準(zhǔn)則，列出不等式或不等式組，然后求出它們的解集即可9【答案】【解析】由得函數(shù)的周期為4，所以因此【名師點睛】(1)求分段函數(shù)的函數(shù)值，要先確定要求值的自變量屬于哪一段區(qū)間，然后代入該段的解析式求值，當(dāng)出現(xiàn)的形式時，應(yīng)從內(nèi)到外依次求值.(2)求某條件下自變量的值，先假設(shè)所求的值在分段函數(shù)定義區(qū)間的各段上，然后求出相應(yīng)自變量的值，切記代入檢驗，看所求的自變量的值是否滿足相應(yīng)段自變量的取值范圍. 10【答案】，2【解析】分類討論：當(dāng)時，即：，整理可得：，由恒成立的條件可知：，其中，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可知：當(dāng)時，則；當(dāng)時，即：，整理可得：，由恒成立的條件可知：，其中，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可知：當(dāng)或時，則.綜合可得的取值范圍是.【名師點睛】由題意分類討論和兩種情況，結(jié)合恒成立的條件整理計算即可求得最終結(jié)果.對于恒成立問題，常用到以下兩個結(jié)論：(1)af(x)恒成立af(x)max；(2)af(x)恒成立af(x)min.有關(guān)二次函數(shù)的問題，數(shù)形結(jié)合，密切聯(lián)系圖象是探求解題思路的有效方法一般從：開口方向；對稱軸位置；判別式；端點函數(shù)值符號四個方面進行分析11【答案】【解析】由，即，得，根據(jù)幾何概型的概率計算公式得的概率是12【答案】【解析】要使函數(shù)有意義，則，即，故填13【答案】【解析】令，當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，寫成分段