暨南大學概率論與數理統計(內招生)試卷 考生姓名： 學號： 2008-2009暨南大學概率論試卷A 一、單選題 (請把正確答案填在題后的括號內, 每小題2分, 共10分)1. 對事件 下列命題中正確的是 ( c ).(a) 如果互不相容, 則也互不相容;(b) 如果相容, 則也相容;(c) 如果相互獨立, 則也相互獨立;(d) 如果互不相容, 且 則相互獨立.2. 設是相互獨立且具有相同分布的隨機變量序列, 若 則( b ).(a) (b) (c) (d) 無法確定.3. 設分別是隨機變量的分布函數, 且是一個分布函數, 則 ( b ).(a) (b) (c) (d) 4. 從總體中隨機抽取一個容量為16的樣本, 則樣本平均數 的概率為 ( c ).(a) (b) (c) (d) 5. 設一批滾珠的直徑服從正態分布, 現從中隨機抽取9個滾珠, 測得樣本平均數為 樣本標準差為 則這批滾珠直徑的期望值的置信度為0.9的置信區間為 ( d ).(a) (b) (c) (d) 二、填空題 (每空3分, 共36分) 1. 一射手對同一目標獨立地進行四次射擊, 若至多擊中三次的概率為 則該射手的擊中率為 0.5 .2. 10只燈泡中有3只壞的, 7只好的. 現從中隨機抽取2只進行檢驗, 則2只燈泡中有1只是壞的概率為 7/15 .3. 假設是兩個相互獨立的事件, 若 則 4/7 .4. 若隨機變量概率密度函數為令 則方差1/18.5. 設隨機變量的概率密度函數為則 2 , . 6. 設二元離散型隨機變量的聯合概率分布為 0100.410.1若事件與相互獨立, 則 0.1 , 0.4 .7. 設為獨立同分布的隨機變量序列, 且服從參數為2的普哇松分布, 記為標準正態分布函數, 則.8. 若隨機變量相互獨立, 且 .9. 從總體中隨機抽取一個容量為9的樣本, 其樣本平均數為4, 則的置信度為0.95的置信區間為 (3.804, 4.196) .10. 設總體的分布密度為現從中抽取個個體, 得數據分別為, 則參數的最大似然估計為 .三、計算題 (共24分, 其中第1小題8分, 第2小題16分)1. 某手機生產廠斷言, 該廠生產的某型號手機的合格率為0.9. 質檢部門抽查了400部該型號手機, 如果不少于350部手機合格, 就接受這一斷言, 否則拒絕斷言. 設實際上該型號手機的合格率為0.9. 試求接受這一斷言的概率.解: 設事件400部手機中的合格數 則 且 3分于是接受這一斷言的概率為從而由拉普拉斯定理得 8分2在廣東省某次高一數學統考中, 考生的成績(百分制)服從正態分布 成績在90及90分以上、60及60分以上且90分以下、60分以下的考生中, 來自重點中學的考生的概率分別是0.6、0.3、0.05. (1) 求考生中, 來自重點中學的考生的概率; (2) 對來自重點中學的考生, 求考生成績在90及90分以上的概率.解: 設考生的成績為 則 于是 令事件成績在90及90分以上 事件成績在60及60分以上且90分以下 事件成績在60分以下 事件來自重點中學的考生 則 8分(1) 由全概率公式知, 考生中來自重點中學的考生的概率為 12分(2) 由貝葉斯公式知, 對來自重點中學的考生, 考生成績在90及90分以上的概率為 16分四、證明題 (8分)設和分別來自總體和的兩個樣本, 令(其中為常數). 證明:(1) 當時, 是的無偏估計;(2) 在的具有形式的無偏估計中, 取 時的是最有效的.證明: 由于和分別來自總體和 故 當時, 從而是的無偏估計; 3分令解得 由于 故當時, 最小, 從而結論成. 8分五、應用題 (共22分, 其中第1、2小題各7分, 第3小題8分)1. 從一批火箭推力裝置中抽取10個進行試驗, 測得燃燒時間的樣本平均數=51.89, 樣本方差=111.14. 設該燃燒時間服從正態分布. 試以90%的置信度對燃燒時間的標準差進行區間估計.解: 因燃燒時間的期望值未知且燃燒時間服從正態分布, 故統計量 2分 由得的置信度為90%的置信區間為: 6分 于是的置信度為90%的置信區間為: 7分2. 某工廠生產的一種銅絲的折斷力(單位: kg)服從正態分布 現采取了一種新生產工藝, 從用新生產工藝生產的一批銅絲中隨機抽取10根, 測其折斷力, 算得樣本平均數=575.2, 樣本方差=75.73. 從抽測結果來看, 能否認為新生產工藝生產的銅絲的折斷力的方差與原銅絲的相同解: 設新生產工藝生產的銅絲的折斷力 檢驗程序如下.(1) 建立待檢假設(2) 選取樣本的統計量 在成立的條件下, (3) 對于給定的檢驗水平 查表確定臨界值及使查表得 5分(4) 利用及樣本方差計算統計量的觀察值為:(5) 由于 則可認為新生產工藝生產的銅絲的折斷力的方差與原銅絲的相同. 7分3. 要鑒定一種國內生產的針織品的斷列強度(單位: kg)是否已達到國外同種產品的標準, 需要對國內外相同類型產品進行抽樣試驗, 現獨立地隨機抽取容量均為8的樣本, 根據實驗數據算得樣本平均數分別為=20.4, =19.4, 樣本方差分別為 假定此種針織品的斷列強度服從正態分布, 且國內外生產的此種針織品的斷列強度具有相同的方差. 試問能否認為國內生產的此種針織品的斷列強度指標已達到國外同種產品的標準 (附本試卷的參考數據如下: )解: 設國內生產的這種針織品的斷列強度 國外生產的這種針織品的斷列強度 在條件下, 檢驗程序如下.(1) 建立待檢假設(2) 選取樣本的統計量