第五章插值型數值微分與數值積分 5 1插值型數值微分公式5 2插值型數值積分 5 1插值型數值微分公式 當x為插值節點時 上式簡化為 故一般限于對節點上的導數值采用插值多項式的相應導數值進行近似計算 f以便估計誤差 一般地 這類公式稱為插值型數值微分公式 5 1 1常用的數值微分公式 1 兩點公式 n 1 這稱為兩點公式 截斷誤差 2 兩點公式 n 2 二階導數 不要記憶 解 h 0 05 例5 1為計算在x 2處的一階導數值 我們可選用中點公式 當計算保留四位小數時 得到計算結果如表5 1 書103頁 而精確值為 可見當h 0 1時近似結果最好 步長太大或太小計算效果均不好 為估計二階導數數值微分公式的誤差 可設f x 四階連續可微 故得 從而得到誤差估計式 5 2插值型數值積分 這里 插值型數值積分的思想是 若已知則利用拉格朗日插值多項式建立近似計算公式 下面求求積系數 設等距節點情形 即 牛頓 柯特斯公式 特別地 這稱為梯形公式 幾何意義 用梯形面積代替f x 作為曲邊的曲邊梯形面積 這稱為Simpsion公式 幾何意義 用拋物線替作曲邊的曲邊梯形面積代替f x 作為曲邊的曲邊梯形面積 這稱為Cotes公式 對應于情形的Cotes系數見表5 2 書106頁 5 2 2復合求積公式 求積公式的穩定性分析 等距節點的插值求積公式 當n較大 n 7 時 系數中出現負數 而且有正有負 這將使舍入誤差增大并難于估計 因此實際計算時一般不用n較大的公式 而是將積分區間 a b 分成n個小區間 在每個小區間上用低階New Cotes公式計算積分的近似值 然后對這些近似值求和 從而得到所求積分的近似值 由此得到一些有實際意義的求積公式 稱為復合求積公式 1 復合梯形公式 n 1 簡記為Tn 3 復合Cotes公式 n 4 簡記為Cn 公式見書107頁 2 復合Simpson公式 n 3 簡記為Sn 2 確定h 解 1寫出公式 例1計算 求 4 由表格計算結果 01411111 06253 76412421 253 20024231 56252 56002442211125 049418 837 6988 3 列表 例2試利用表5 3的函數表 分別用復合梯形公式 復合Simpson公式和復合Cotes公式計算定積分 解 三 求積公式的誤差 1 梯形公式誤差 大區間上的誤差記為 2 Simpson公式誤差 不難推出 3 Cotes公式誤差 四 變步長法則 1 基本思想 基本思想 在步長逐次分半的過程中 反復利用復化求積公式進行計算 直到二分前后兩次積分值相當符合為止 上面介紹的復化求積公式對提高進度是有效的 但是在使用求積公式之前 必須給出適當的步長 如果事先給出精度要求 在使用復化求積公式時 由于誤差估計式中含有 而這是不知道的 因而h無法確定 也就是說無法進行事前誤差估計 這就必須尋求事后估計誤差的方法 逐次分半法 2 變步長法則 逐次分半法 以梯形公式為例 所以 逐項二次區間 只要相鄰兩次近似值之差小于 則后一次值即為所求 這時h也為所求步長 這就是變步長法則 在上述變步長求積過程中 當二分次數越來越多時 每一步都要用復化求積公式 計算量非常大 所以要對上述方法進行改進 3 變步長求積的省算方案 以梯形法為例 simpson cotes公式也可類似進行處理 例1計算 用計算 0001111 80 12470 9976122 80 24740 9896133 80 36630 9768144 80 47940 9588155 80 58510 9362166 80 68160 9088177 80 76750 8777188 80 84150 84151 例2試用梯形公式的步長逐次減半算法計算定積分使誤差小于 解 一般的計算結果見表5 4 書112頁 5 龍貝格積分法 在上述變步長法則解決了誤差的估計 又給出了省算方案 但當精度要求很高時 計算量是很大的 那么我們就要尋找一種方法 相對計算量小些 而精度又高 我們先考慮 我們分析一下 我們在變步長求積過程中 運用加速公式 其計算公式為 注 這樣的計算格式可根據精度自動停機 只要豎線上相鄰兩結果之差不超過給定精度為止 計算過程實質是將區間逐次分半計算 然后利用加速公式 故又叫逐次分半加速法 例1 用龍貝格計算 解 第一步計算f a f b 第二步區間分半 計算 第三步區間分半 算出 第四步再分半 求 第四步求 列表 區間分數TSCR13 0000023 100003 1333343 131183 141573 1421483 138993 141593 141593 14158163 140943 141593 141593 14159 可知 例5 4試用龍貝格積分法求解例5 3的定積分使誤差小于 用龍貝格積分法求解得到表5 5 書116頁 由于 故取 與例5 3比較可見 對于該積分采用梯形公式的步長逐次