湘教版七年級數學下冊知識點歸納第一章 二元一次方程組 一、二元一次方程組1、概念：二元一次方程：含有兩個未知數，且未知數的指數（即次數）都是1的方程，叫二元一次方程。二元一次方程組：兩個二元一次方程（或一個是一元一次方程，另一個是二元一次方程；或兩個都是一元一次方程；但未知數個數仍為兩個）合在一起，就組成了二元一次方程組。2、二元一次方程的解和二元一次方程組的解： 使二元一次方程左右兩邊的值相等（即等式成立）的兩個未知數的值，叫二元一次方程的解。 使二元一次方程組的兩個方程左右兩邊的值都相等的兩個未知數的值，叫二元一次方程組的解。注：、因為二元一次方程含有兩個未知數，所以，二元一次方程的解是一組（對）數，用大括號聯立；、一個二元一次方程的解往往不是唯一的，而是有許多組；、而二元一次方程組的解是其中兩個二元一次方程的公共解，一般地，只有唯一的一組，但也可能有無數組或無解（即無公共解）。二元一次方程組的解的討論：a1x + b1y = c1a2x + b2y = c2 已知二元一次方程組 、 當a1/a2 b1/b2 時，有唯一解；、 當a1/a2 = b1/b2 c1/c2時，無解；、 當a1/a2 = b1/b2 = c1/c2時，有無數解。x + y = 42x + 2y = 8 x + y = 32x + 2y = 5 x + y = 43x - 5y = 9 例如：對應方程組：、 、 、例：判斷下列方程組是否為二元一次方程組：x = 112x + 3y = 0 3t + 2s = 5ts + 6 = 0 x = 4y = 5 a + b = 2b + c = 3 、 、 、 、 3、用含一個未知數的代數式表示另一個未知數： 用含X的代數式表示Y，就是先把X看成已知數，把Y看成未知數；用含Y的代數式表示X，則相當于把Y看成已知數，把X看成未知數。例：在方程 2x + 3y = 18 中，用含x的代數式表示y為：_,用含y的代數式表示x為:_。4、根據二元一次方程的定義求字母系數的值：要抓住兩個方面：、未知數的指數為1，、未知數前的系數不能為0例：已知方程 (a-2)x(/a/-1) (b+5)y(b2-24) = 3 是關于x、y的二元一次方程，求a、b的值。5、求二元一次方程的整數解例：求二元一次方程 3x + 4y = 18 的正整數解。思路：利用含一個未知數的代數式表示另一個未知數的方法，可以求出方程有正整數解時x、y的取值范圍，然后再進一步確定解。解：用含x的代數式表示y: y = 9/2 (3/4)x 用含y的代數式表示x: x = 6 (4/3)y 因為是求正整數解，則：9/2 (3/4)x 0 , 6 (4/3)y 0所以，0 x 6 ,0 y 設元（設未知數） 根據數量關系式列出方程組 解方程組 檢驗并作答（注意：此步驟不要忘記）2、列方程組解應用題的常見題型： （1）、和差倍分問題：解這類問題的基本等量關系式是：較大量 - 較小量 = 相差量 ，總量 = 倍數 倍量； （2）、產品配套問題：解這類題的基本等量關系式是：加工總量成比例； （3）、速度問題：解這類問題的基本關系式是：路程 = 速度 時間，包括相遇問題、追及問題等； （4）、航速問題：、順流（風）：航速 = 靜水（無風）時的速度 + 水（風）速； 、逆流（風）：航速 = 靜水（無風）時的速度 水（風）速； （5）、工程問題：解這類問題的基本關系式是：工作總量 = 工作效率工作時間，（有時需把工作總量看作1）； （6）、增長率問題：解這類問題的基本關系式是：原量（1+增長率）= 增長后的量，原量（1-減少率）= 減少后的量； （7）、盈虧問題：解這類問題的關鍵是從盈（過剩）、虧（不足）兩個角度來把握事物的總量； （8）、數字問題：解這類問題，首先要正確掌握自然數、奇數、偶數等有關概念、特征及其表示； （9）、幾何問題：解這類問題的基本關系是有關幾何圖形的性質、周長、面積等計算公式； （10）、年齡問題：解這類問題的關鍵是抓住兩人年齡的增長數相等。例1：一批水果運往某地，第一批360噸，需用6節火車車廂加上15輛汽車，第二批440噸，需用8節火車車廂加上10輛汽車，求每節火車車廂與每輛汽車平均各裝多少噸？例2：甲、乙兩物體分別在周長為400米的環形軌道上運動，已知它們同時從一處背向出發，25秒后相遇，若甲物體先從該處出發，半分鐘后乙物體再從該處同向出發追趕甲物體，則再過3分鐘后才趕上甲，假設甲、乙兩物體的速度均不變，求甲、乙兩物體的速度。 例3：甲、乙二人分別以均勻速度在周長為600米的圓形軌道上運動，甲的速度比乙大，當二人反向運動時，每150秒相遇一次，當二人同向運動時，每10分鐘相遇一次，求二人的速度。例4：有兩種酒精溶液，甲種酒精溶液的酒精與水的比是3 ：7，乙種酒精溶液的酒精與水的比是4 ：1，今要得到酒精與水的比是3 ：2的酒精溶液50kg，求甲、乙兩種溶液各取多少kg？例5：一張方桌由一個桌面和四條桌腿組成，如果1立方米木料可制成方桌桌面50個，或制作桌腿300條，現有5立方米木料，請問，要用多少木料做桌面，多少木料做桌腿，能使桌面恰好配套？此時，可以制成多少張方桌？例6：某人要在規定的時間內由甲地趕往乙地，如果他以每小時50千米的速度行駛，就會遲到24分鐘，如果他以每小時75千米的速度行駛，則可提前24分鐘到達乙地，求甲、乙兩地間的距離。農作物品種每公頃需勞動力每公頃需投入資金水稻4人1萬元棉花8人1萬元蔬菜5人2萬元例7：某農場有300名職工耕種51公頃土地，計劃種植水稻、棉花、蔬菜三種農作物，已知種植各種農作物每公頃所需勞動力人數及投入資金如右表：已知該農場計劃投入資金67萬元，應該怎樣安排這三種農作物的種植面積才能使所有職工都有工作而且投入資金正好夠用？例8：某酒店的客房有三人間和兩人間兩種，三人間每人每天25元，兩人間每人每天35元，一個50人的旅游團到該酒店租了若干間客房，且每間客房恰好住滿，一天共花去1510元，求兩種客房各租了多少間？年級捐款數額（元）捐助貧困中學生人數（名）捐助貧困小學生人數（名）初一年級400024初二年級420033初三年級7400例9：某山區有23名中、小學生因貧困失學需要捐助，資助一名中學生的學習費用需要a元，資助一名小學生的學習費用需要b元。某校學生積極捐款，初中各年級學生捐款數額與使用這些捐款恰好資助受捐助中學生和小學生人數的部分情況如右表：（1）、求a、b的值；（2）初三年級的捐款解決了其余貧困中小學生的學習費用，請分別計算出初三年級的捐款所資助的中學生和小學生人數。四、三元一次方程組的解法1、概念：由三個方程組成方程組，且方程組中共含有三個未知數，每個方程中含有的未知數的次數都是1次，這樣的方程組叫三元一次方程組。注：三元一次方程組中的三個方程并不一定都是三元一次方程，只需滿足“方程組中共含有三個未知數”的條件即可。2、解三元一次方程組的基本思想：一元一次方程消元(代入法、加減法)二元一次方程組消元(代入法、加減法)三元一次方程組3x + 4z = 72x + 3y + z = 95x 9y + 7z = 83x + 4y + z = 14x + 5y + 2z = 172x + 2y - z = 3例1：解方程組 例2：在y = ax+bx+c中，當x=1時，y=0；x=2時，y=3；x=3時,y=28，求a、b、c的值。當x = -1時，y的值是多少？例3：甲、乙、丙三數之和是26，甲數比乙數大1，甲數的兩倍與丙數的和比乙數大18，求這三個數。例4：小明從家到學校的路程為3.3千米，其中有一段上坡路，一段平路，一段下坡路，如果保持上坡路每小時行3千米，平路每小時行4千米，下坡路每小時行5千米，那么小明從家到學校需要1小時，從學校回家只需要44分鐘。求小明家到學校的上坡路、平路、下坡路各是多少千米？第二章 整式的乘法1同底數冪的乘法：aman=am+n ，底數不變，指數相加. 2冪的乘方與積的乘方：(am)n=amn ，底數不變，指數相乘； (ab)n=anbn ，積的乘方等于各因式乘方的積.3單項式的乘法：系數相乘，相同字母相乘，只在一個因式中含有的字母，連同指數寫在積里.4單項式與多項式的乘法：m(a+b+c)=ma+mb+mc ，用單項式去乘多項式的每一項，再把所得的積相加.5多項式的乘法：(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd ，先用多項式的每一項去乘另一個多項式的每一項，再把所得的積相加.6乘法公式：（1）平方差公式：(a+b)(a-b)= a2-b2，兩個數的和與這兩個數的差的積等于這兩個數的平方差；（2）完全平方公式： (a+b)2=a2+2ab+b2, 兩個數和的平方，等于它們的平方和，加上它們的積的2倍； (a-b)2=a2-2ab+b2 , 兩個數差的平方，等于它們的平方和，減去它們的積的2倍； (a+b-c)2=a2+b2+c2+2ab-2ac-2bc，略.7配方：（1）若二次三項式x2+px+q是完全平方式,則有關系式：； （2）二次三項式ax2+bx+c經過配方，總可以變為a(x-h)2+k的形式，利用a(x-h)2+k可以判斷ax2+bx+c值的符號； 當x=h時，可求出ax2+bx+c的最大（或最?。┲祂.（3）注意：.8同底數冪的除法：aman=am-n ，底數不變，指數相減.9零指數與負指數公式: （1）a0=1 (a0)； a-n=,(a0). 注意：00，0-2無意義；（2）有了負指數，可用科學記數法記錄小于1的數，例如：0.0000201=2.0110-5 .第三章 因式分解1. 因式分解 定義：把一個多項式化成幾個整式乘積的形式，這種變形叫因式分解。 即：多項式幾個整式的積 例：因式分解是對多項式進行的一種恒等變形，是整式乘法的逆過程。2.因式分解的方法： （1）提公因式法： 定義：如果多項式的各項有公因式，可以把這個公因式提到括號外面，將多項式寫成因式乘積的形式，這個變形就是提公因式法分解因式。公因式：多項式的各項都含有的相同的因式。公因式可以是一個數字或字母，也可以是一個單項式或多項式。 例：的公因式是 解析：從多項式的系數和字母兩部分來考慮，系數部分分別是12、-8、6，它們的最大公約數為2；字母部分都含有因式，故多項式的公因式是2.提公因式的步驟第一步：找出公因式；第二步：提公因式并確定另一個因式，提公因式時，可用原多項式除以公因式，所得商即是提公因式后剩下的另一個因式。注意：提取公因式后，對另一個因式要注意整理并化簡，務必使因式最簡。多項式中第一項有負號的，要先提取符號。例1：把分解因式. 解析：本題的各項系數的最大公約數是6，相同字母的最低次冪是ab，故公因式為6ab。 解：例2：把多項式分解因式解析：由于，多項式可以變形為,我們可以發現多項式各項都含有公因式（）,所以我們可以提取公因式（）后,再將多項式寫成積的形式.解：=例3：把多項式分解因式 解：= （2）運用公式法 定義：把乘法公式反過來用，就可以用來把某些多項式分解因式，這種分解因式的方法叫做運用公式法。 注意：公式中的字母可代表一個數、一個單項式或一個多項式。 選擇使用公式的方法：主要從項數上看，若多項式是二項式可考慮平方差公式；若多項式是三項式，可考慮完全平方公式。例1：因式分解 解：=例2：因式分解 解：= （3）分組分解法（拓展） 將多項式分組后能提公因式進行因式分解；例：把多項式分解因式 解：= 將多項式分組后能運用公式進行因式分解. 例：將多項式因式分解解：= （4）十字相乘法（形如形式的多項式，可以考慮運用此種方法） 方法：常數項拆成兩個因數，這兩數的和為一次項系數 例：分解因式 分解因式補充點詳解 補充點詳解我們可以將-30分解成pq的形式， 我們可以將100分解成pq的形式，使p+q=-1, pq=-30,我們就有p=-6, 使p+q=52, pq=100,我們就有p=2,q=5或q=-6,p=5。 q=50或q=2,p=50。 所以將多項式可以分 所以將多項式可以分解為 解為52 -6503.因式分解的一般步驟： 如果多項式有公因式就先提公因式，沒有公因式的多項式就考慮運用公式法；若是四項或四項以上的多項式，通常采用分組分解法，最后運用十字相乘法分解因式。因此，可以概括為：“一提”、“二套”、“三分組”、“四十字”。注意：因式分解一定要分解到每一個因式都不能再分解為止，否則就是不完全的因式分解，若題目沒有明確指出在哪個范圍內因式分解，應該是指在有理數范圍內因式分解，因此分解因式的結果，必須是幾個整式的積的形式。一、 例題解析提公因式法提取公因式：如果多項式的各項有公因式，一般要將公因式提到括號外面.確定公因式的方法：系數取多項式各項系數的最大公約數；字母(或多項式因式)取各項都含有的字母(或多項式因式)的最低次冪.【例 1】 分解因式：(為正整數)(、為大于1的自然數)【鞏固】 分解因式： ，為正整數.【例 2】 先化簡再求值，其中，l 求代數式的值：，其中.【例 3】 已知：，求的值.n 分解因式：.公式法平方差公式：公式左邊形式上是一個二項式，且兩項的符號相反；每一項都可以化成某個數或式的平方形式；右邊是這兩個數或式的和與它們差的積，相當于兩個一次二項式的積.完全平方公式： 左邊相當于一個二次三項式；左邊首末兩項符號相同且均能寫成某個數或式的完全平方式；左邊中間一項是這兩個數或式的積的2倍，符號可正可負；右邊是這兩個數或式的和(或差)的完全平方，其和或差由左邊中間一項的符號決定.一些需要了解的公式： 第四章相交線與平行線一、知識網絡結構二、知識要點1、在同一平面內，兩條直線的位置關系有 兩 種： 相交 和 平行 ， 垂直 是相交的一種特殊情況。2、在同一平面內，不相交的兩條直線叫 平行線 。如果兩條直線只有 一個 公共點，稱這兩條直線相交；如果兩條直線 沒有 公共點，稱這兩條直線平行。圖1 1 3 4 2 3、兩條直線相交所構成的四個角中，有 公共頂點 且有 一條公共邊 的兩個角是鄰補角。鄰補角的性質： 鄰補角互補 。如圖1所示， 與 互為鄰補角， 與 互為鄰補角。 + = 180； + = 180； + = 180； + = 180。4、兩條直線相交所構成的四個角中，一個角的兩邊分別是另一個角的兩邊的 反向延長線 ，這樣的兩個角互為 對頂角 。對頂角的性質：對頂角相等。如圖1所示， 與 互為對頂角。 = ； = 。5、兩條直線相交所成的角中，如果有一個是 直角或90時，稱這兩條直線互相垂直，圖2 1 3 4 2 a b 其中一條叫做另一條的垂線。如圖2所示，當 = 90時， 。垂線的性質：性質1：過一點有且只有一條直線與已知直線垂直。性質2：連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短。性質3：如圖2所示，當 a b 時， = = = = 90。圖3 a 5 7 8 6 1 3 4 2 b c 點到直線的距離：直線外一點到這條直線的垂線段的長度叫點到直線的距離。6、同位角、內錯角、同旁內角基本特征：在兩條直線(被截線)的 同一方 ，都在第三條直線(截線)的 同一側 ，這樣的兩個角叫 同位角 。圖3中，共有 對同位角： 與 是同位角； 與 是同位角； 與 是同位角； 與 是同位角。在兩條直線(被截線) 之間 ，并且在第三條直線(截線)的 兩側 ，這樣的兩個角叫 內錯角 。圖3中，共有 對內錯角： 與 是內錯角； 與 是內錯角。在兩條直線(被截線)的 之間 ，都在第三條直線(截線)的 同一旁 ，這樣的兩個角叫 同旁內角 。圖3中，共有 對同旁內角： 與 是同旁內角； 與 是同旁內角。7、平行公理：經過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行。平行公理的推論：如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行。圖4 a 5 7 8 6 1 3 4 2 b c 平行線的性質：性質1：兩直線平行，同位角相等。如圖4所示，如果ab，則 = ； = ； = ； = 。性質2：兩直線平行，內錯角相等。如圖4所示，如果ab，則 = ； = 。性質3：兩直線平行，同旁內角互補。如圖4所示，如果ab，則 + = 180； + = 180。性質4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行。如果ab，ac，則。圖5 a 5 7 8 6 1 3 4 2 b c 8、平行線的判定： 判定1：同位角相等，兩直線平行。如圖5所示，如果 = 或 = 或 = 或 = ，則ab。判定2：內錯角相等，兩直線平行。如圖5所示，如果 = 或 = ，則ab 。判定3：同旁內角互補，兩直線平行。如圖5所示，如果 + = 180； + = 180，則ab。判定4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行。如果ab，ac，則 。9、判斷一件事情的語句叫命題。命題由 題設 和 結論 兩部分組成，有 真命題 和 假命題 之分。如果題設成立，那么結論 一定 成立，這樣的命題叫 真命題 ；如果題設成立，那么結論 不一定 成立，這樣的命題叫假命題。真命題的正確性是經過推理證實的，這樣的真命題叫定理，它可以作為繼續推理的依據。10、平移：在平面內，將一個圖形沿某個方向移動一定的距離，圖形的這種移動叫做平移變換，簡稱平移。平移后，新圖形與原圖形的 形狀 和 大小 完全相同。平移后得到的新圖形中每一點，都是由原圖形中的某一點移動后得到的，這樣的兩個點叫做對應點。平移性質：平移前后兩個圖形中對應點的連線平行且相等；對應線段相等；對應角相等。第五章 旋轉一.知識框架二知識概念1.旋轉：在平面內，將一個圖形繞一個圖形按某個方向轉動一個角度，這樣的運動叫做圖形的旋轉。這個定點叫做旋轉中心，轉動的角度叫做旋轉角。（圖形的旋轉是圖形上的每一點在平面上繞著某個固定點旋轉固定角度的位置移動，其中對應點到旋轉中心的距離相等，對應線段的長度、對應角的大小相等，旋轉前后圖形的大小和形狀沒有改變。） 2.旋轉對稱中心：把一個圖形繞著一個定點旋轉一個角度后，與初始圖形重合，這種圖形叫做旋轉對稱圖形，這個定點叫做旋轉對稱中心，旋轉的角度叫做旋轉角（旋轉角小于0，大于360）。 3中心對稱圖形與中心對稱：中心對稱圖形：如果把一個圖形繞著某一點旋轉180度后能與自身重合，那么我們就說，這個圖形成中心對稱圖形。中心對稱：如果把一個圖形繞著某一點旋轉180度后能與另一個圖形重合，那么我們就說，這兩個圖形成中心對稱。 4.中心對稱的性質：關于中心對稱的兩個圖形是全等形。關于中心對稱的兩個圖形，對稱點連線都經過對稱中心，并且被對稱中心平分。關于中心對稱的兩個圖形，對應線段平行（或者在同一直線上）且相等。一、精心選一選 (每小題3分，共30分)下面的圖形中，是中心對稱圖形的是（ ） A B C D 平面直角坐標系內一點P（2,3）關于原點對稱的點的坐標是 （）A（3，2）B (2,3）C（2，3）D(2，3）3張撲克牌如圖1所示放在桌子上，小敏把其中一張旋轉180后得到如圖（2）所示，則她所旋轉的牌從左數起是（ ）A第一張 B第二張 C第三張 D第四張在下圖右側的四個三角形中，不能由ABC經過旋轉或平移得到的是（）ABCABCD圖3如圖3的方格紙中，左邊圖形到右邊圖形的變換是（）A向右平移7格B以AB的垂直平分線為對稱軸作軸對稱，再以AB為對稱軸作軸對稱C繞AB的中點旋轉1800，再以AB為對稱軸作軸對稱D以AB為對稱軸作軸對稱，再向右平移7格從數學上對稱的角度看，下面幾組大寫英文字母中，不同于另外三組的一組是（ ）圖4AA N E GBK B X NCX I H ODZ D W H 如圖4，C是線段BD上一點，分別以BC、CD為邊在BD同側作等邊ABC和等邊CDE,AD交CE于F，BE交AC于G，則圖中可通過旋轉而相互得到的三角形對數有( )A1對B2對C3對D4對下列這些復雜的圖案都是在一個圖案的基礎上，在“幾何畫板”軟件中拖動一點后形成的，它們中每一個圖案都可以由一個“基本圖案”通過連續旋轉得來，旋轉的角度是（ ）A B C D 圖5如圖5所示，圖中的一個矩形是另一個矩形順時針方向旋轉90后形成的個數是（ ）Al個 B2個C3個 D4個圖6如圖6，ABC和ADE都是等腰直角三角形，C和ADE都是直角，點C在AE上，ABC繞著A點經過逆時針旋轉后能夠與ADE重合得到圖7，再將圖23A4作為“基本圖形”繞著A點經過逆時針連續旋轉得到圖7.兩次旋轉的角度分別為（ ）圖7A45，90B90，45C60，30D30，60二、耐心填一填（每小題3分，共24分）關于中心對稱的兩個圖形，對稱點所連線段都經過 ，而且被_平分.在平行四邊形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形這五種圖形中，既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是_時鐘上的時針不停地旋轉，從上午8時到上午11時，時針旋轉的旋轉角是_如圖8，ABC以點A為旋轉中心，按逆時針方向旋轉60，得ABC，則ABB是 三角形.已知0，則點（2，3）關于原點的對稱點1在第象限 如圖9，COD是AOB繞點O順時針方向旋轉40后所得的圖形，點C恰好在AB上，AOD90，則D的度數是 如圖10，在兩個同心圓中，三條直徑把大圓分成相等的六部分，若大圓的半徑為2，則圖中陰影部分的面積是.如圖,四邊形ABCD中，BAD=C=90，AB=AD，AEBC于E，若線段AE=5，則S四邊形ABCD。圖11圖10圖8 圖9三、細心解一解（共46分）圖12（6分）如圖12，四邊形ABCD的BAD=C=90,AB=AD,AEBC于E,旋轉后能與重合。(1）旋轉中心是哪一點? (2）旋轉了多少度?(3）如果點A是旋轉中心，那么點B經過旋轉后，點B旋轉到什么位置？（4分）如圖13，請畫出關于點O點為對稱中心的對稱圖形圖13（6分）如圖14，方格紙中的每個小方格都是邊長為1個單位的正方形，在建立平面直角坐標系后，的頂點均在格點上，點的坐標為把向上平移5個單位后得到對應的，畫出，并寫出的坐標；以原點為對稱中心，再畫出與關于原點對稱的，并寫出點的坐標圖14圖1518（4分）如圖15，方格中有一條美麗可愛的小金魚(1）若方格的邊長為1，則小魚的面積為 (2）畫出小魚向左平移3格后的圖形（不要求寫作圖步驟和過程）圖16（6分）如圖16,E、F分別是正方形ABCD的邊CD、DA上一點，且CEAFEF，請你用旋轉的方法求EBF的大小19（8分）將一張透明的平行四邊形膠片沿對角線剪開，得到圖中的兩張三角形膠片和將這兩張三角形膠片的頂點與頂點重合，把繞點順時針方向旋轉，這時與相交于點CAEFDBCDOAFB(E)ADOFCB(E)圖圖圖（1）當旋轉至如圖位置，點，在同一直線上時，與的數量關系是 2分（2）當繼續旋轉至如圖位置時，（1）中的結論還成立嗎？請說明理由（3）在圖中，連接，探索與之間有怎樣的位置關系，并證明第六章 數據的分析一、知識點講解：1.平均數：（1）算術平均數：一組數據中，有n個數據，則它們的算術平均數為 .（2）加權平均數： 若在一組數字中，出現次，出現次，出現次，那么 叫做、的加權平均數。其中，、分別是、的權. 權的理解:反映了某個數據在整個數據中的重要程度。權的表示方法：比、百分比、頻數（人數、個數、次數等）。2.中位數：將一組數據按照由小到大（或由大到?。┑捻樞蚺帕校绻麛祿膫€數是奇數，則處于中間位置的數就是這組數據的中位數；如果數據的個數是偶數，則中間兩個數據的平均數就是這組數據的中位數。 3.眾數：一組數據中出現次數最多的數據就是這組數據的眾數。 4.平均數中位數眾數的區別與聯系相同點平均數、中位數和眾數這三個統計量的相同之處主要表現在：都是來描述數據集中趨勢的統計量；都可用來反映數據的一般水平；都可用來作為一組數據的代表。不同點它們之間的區別，主要表現在以下方面。1）、定義不同平均數：一組數據的總和除以這組數據個數所得到的商叫這組數據的平均數。中位數：將一組數據按大小順序排列，處在最中間位置的一個數叫做這組數據的中位數 。眾數：在一組數據中出現次數最多的數叫做這組數據的眾數。2）、求法不同平均數：用所有數據相加的總和除以數據的個數,需要計算才得求出。中位數：將數據按照從小到大或從大到小的順序排列，如果數據個數是奇數，則處于最中間位置的數就是這組數據的中位數；如果數據的個數是偶數，則中間兩個數據的平均數是這組數據的中位數。它的求出不需或只需簡單的計算。眾數：一組數據中出現次數最多的那個數，不必計算就可求出。3）、個數不同在一組數據中，平均數和中位數都具有惟一性，但眾數有時不具有惟一性。在一組數據中，可能不止一個眾數，也可能沒有眾數。4）、代表不同平均數：反映了一組數據的平均大小，常用來一代表數據的總體 “平均水平”。中位數：像一條分界線，將數據分成前半部分和后半部分，因此用來代表一組數據的“中等水平”。眾數：反映了出現次數最多的數據，用來代表一組數據的“多數水平”。這三個統計量雖反映有所不同，但都可表示數據的集中趨勢，都可作為數據一般水平的代表。5）、特點不同平均數：與每一個數據都有關,其中任何數據的變動都會相應引起平均數的變動。主要缺點是易受極端值的影響，這里的極端值是指偏大或偏小數。中位數：與數據的排列位置有關，某些數據的變動對它沒有影響；它是一組數據中間位置上的代表值，不受數據極端值的影響。眾數：與數據出現的次數有關，著眼于對各數據出現的頻率的考察，其大小只與這組數據中的部分數據有關，不受極端值的影響,其缺點是具有不惟一性，一組數據中可能會有一個眾數，也可能會有多個或沒有 。6）、作用不同平均數：是統計中最常用的數據代表值，比較可靠和穩定，因為它與每一個數據都有關，反映出來的信息最充分。平均數既可以描述一組數據本身的整體平均情況，也可以用來作為不同組數據比較的一個標準。因此，它在生活中應用最廣泛，比如我們經常所說的平均成績、平均身高、平均體重等。中位數：作為一組數據的代表，可靠性比較差，因為它只利用了部分數據。但當一組數據的個別數據偏大或偏小時，用中位數來描述該組數據的集中趨勢就比較合適。眾數：作為一組數據的代表，可靠性也比較差，因為它也只利用了部分數據。在一組數據中，如果個別數據有很大的變動，且某個數據出現的次數最多，此時用該數據（即眾數）表示這組數據的“集中趨勢”就比較適合。5.極差：一組數據中的最大數據與最小數據的差叫做這組數據的極差。極差反映的是數據的變化范圍。 6.方差：設有n個數據，各數據與它們的平均數的差的平方分別是，我們用它們的平均數，即用來衡量這組數據的波動大小，并把它叫做這組數據的方差。 當一組數據比較小時可以用公式計算。方差越大，數據的波動越大；方差越小，數據的波動越小，就越穩定。標準差：方差的算術平方根，即并把它叫做這組數據的標準差.它也是一個用來衡量一組數據的波動大小的重要的量.7.極差、方差和標準差的區別與聯系：聯系：極差、方差和標準差都是用來衡量（或描述）一組數據偏離平均數的大?。床▌哟笮。┑闹笜?，常用來比較兩組數據的波動情況。區別：極差是用一組數據中的最大值與最小值的差來反映數據的變化范圍，主要反映一組數據中兩個極端值之間的差異情況，對其他的數據的波動不敏感。方差是用“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”的方法得到的結果，主要反映整組數據的波動情況，是反映一組數據與其平均值離散程度的一個重要指標，每個數年據的變化都將影響方差的結果，是一個對整組數據波動情況更敏感的指標。在實際使用時，往往計算一組數據的方差，來衡量一組數據的波動大小。標準差實際是方差的一個變形，只是方差的單位是原數據單位的平方，而標準差的單位與原數據單位相同。8.數據的收集與整理的步驟： 1.收集數據2.整理數據3.描述數據4.分析數據5.撰寫調查報告6.交流 9.平均數、方差的三個運算性質如果一組數據x1，x2，x3，xn的平均數是，方差是s2。那么（1）一組新數據x1+b，x2+b，x3+b，xn+b的平均數是+b，方差是s2。（2） 一組新數據ax1，ax2，ax3，axn的平均數是a，方差是a2s2.（3）一組新數據ax1+b，ax2+b，ax3+b，axn+b的平均數是a+b，方差是a2s2.二、典型例題：15名同學目測同一本教科書的寬度時，產生的誤差如下（單位：mm）：，則這組數據的極差為（ ）A4 mm B3 mm C5 mm D0 mm 2小偉五次數學考試成績分別為：86分，78分，80分，85分，92分，李老師想了解小偉數學學習變化情況，則李老師最關注小偉數學成績的（）平均數眾數中位數方差3. 一組數據的方差一定是（ ）A正數 B任意實數C負數 D非負數包裝機甲乙丙方差(克2)1.702.297.224金華火腿聞名遐邇.某火腿公司有甲、乙、丙三臺切割包裝機，同時分裝質量