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文檔簡介

第九講 矩陣微分方程一、矩陣的微分和積分1. 矩陣導數定義：若矩陣的每一個元素是變量t的可微函數，則稱A(t)可微，其導數定義為 由此出發，函數可以定義高階導數，類似地，又可以定義偏導數。2. 矩陣導數性質：若A(t),B(t)是兩個可進行相應運算的可微矩陣，則（1）（2）（3）（4） (A與t無關)此處僅對加以證明證明： 又3. 矩陣積分定義：若矩陣的每個元素都是區間上的可積函數，則稱A(t)在區間上可積，并定義A(t)在上的積分為 4. 矩陣積分性質（1）（2）（3）二、 一階線性齊次常系數常微分方程組設有一階線性齊次常系數常微分方程組式中t是自變量，是t的一元函數是常系數。令 ，則原方程組變成如下矩陣方程 其解為 對該解求導，可以驗證 且t0時，表明x(t)確為方程的解，積分常數亦正確例：求解微分方程組， 初始條件為解：， 求出A的特征多項式， 定義待定系數的多項式 解方程 三、 一階線性非齊次常系數常微分方程組 令方程組化為矩陣方程采用常數變易法求解之；齊次方程的解為，可設非齊次方程的解為，代入方程，得： 由積分性質(3)可驗證c(t)是解。加上初始條件，有 說明:高階常微分方程常常可以化為一階常微分方程組來處理，如： 令，則可得 一般地，n階常微分方程可以化為n個一階常微分方程組成

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