學(xué)案3三角函數(shù)的圖象 考點(diǎn)1 考點(diǎn)2 考點(diǎn)3 返回目錄 考綱解讀 返回目錄 三角函數(shù)的圖象是三角函數(shù)概念和性質(zhì)的直觀形象的反映 高考對(duì)這部分內(nèi)容的考查主要是三角函數(shù)的圖象的變換和解析式的確定以及通過圖象的描繪 觀察 討論函數(shù)的有關(guān)性質(zhì) 題型設(shè)計(jì)以選擇題 解答題的形式出現(xiàn) 屬低難度的題 考向預(yù)測(cè) 返回目錄 1 五點(diǎn)法 作y asin x a 0 0 的簡(jiǎn)圖五點(diǎn)的取法是 設(shè)x x 由x取來求相應(yīng)的x值 及對(duì)應(yīng)的y值 再描點(diǎn)作圖 2 變換作圖法作y asin x a 0 0 的圖象 1 振幅變換 y sinx y asinx 返回目錄 將y sinx的圖象上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋?橫坐標(biāo)不變 2 相位變換 y asinx y asin x 將y asinx的圖象上所有點(diǎn)向左 0 或向右 0 平移個(gè)單位 3 周期變換 y asin x y asin x 將y asin x 圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋?縱坐標(biāo)不變 4 由y sinx的圖象變換到y(tǒng) asin x 的圖象 一般先作變換 后作變換 即 a 相位 周期 返回目錄 y sinx y sin x y sin x y asin x 如果先作變換 后作變換 則左右平移時(shí)不是 個(gè)單位 而是個(gè)單位 即y sin x y sin x 是左右平移個(gè)單位長(zhǎng)度 3 y asin x a 0 0 x 0 在物理中的應(yīng)用a為 t 為 f 為 x 為 為 周期 相位 振幅 周期 頻率 相位 初相 4 圖象的對(duì)稱性函數(shù)y asin x a 0 0 的圖象具有軸對(duì)稱和中心對(duì)稱的性質(zhì) 具體如下 1 函數(shù)y asin x 的圖象關(guān)于直線成軸對(duì)稱圖形 2 函數(shù)y asin x 的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱圖形 返回目錄 其中 xj k k z x xk 其中 xk k k z xj 0 返回目錄 考點(diǎn)1三角函數(shù)的圖象 2010年高考山東卷 已知函數(shù)f x sin2xsin cos2xcos sin 0 其圖象過點(diǎn) 1 求 的值 2 將函數(shù)y f x 的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的 縱坐標(biāo)不變 得到函數(shù)y g x 的圖象 求函數(shù)g x 在上的最大值和最小值 分析 1 化一角一函后代入點(diǎn)求 的值 2 利用圖象變換求出函數(shù)g x 的表達(dá)式 返回目錄 解析 1 f x sin2xsin cos cos sin2xsin cos2xcos cos 2x 又 f x 過點(diǎn) cos cos 1 由0 知 返回目錄 2 由 1 知f x cos 2x 將f x 圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的 縱坐標(biāo)不變 變?yōu)間 x cos 4x 0 x 4x 當(dāng)4x 0 即x 時(shí) g x 有最大值 當(dāng)4x 即x 時(shí) g x 有最小值 返回目錄 本題考查三角函數(shù)的恒等變換 已知三角函數(shù)值求角 三角函數(shù)的伸縮變換及三角函數(shù)的性質(zhì)等知識(shí) 考查三角恒等變換能力 推理運(yùn)算能力及利用所學(xué)知識(shí)綜合分析 解決問題的能力 返回目錄 已知f x 2sin2x 2sinxcosx x r 1 求函數(shù)f x 的最小正周期和最大值 2 在給出的直角坐標(biāo)系中 畫出函數(shù)y f x 在區(qū)間 上的圖象 解析 1 f x 2sin2x 2sinxcosx 1 cos2x sin2x 1 sin2xcos cos2xsin 1 sin 2x 所以函數(shù)f x 的最小正周期為 最大值為1 2 由 1 知 返回目錄 返回目錄 分析 首先確定a 若以n為五點(diǎn)法作圖中的第一個(gè)零點(diǎn) 由于此時(shí)曲線是先下降后上升 類似于y sinx的圖象 所以a 0 若以m點(diǎn)為第一個(gè)零點(diǎn) 由于此時(shí)曲線 考點(diǎn)2已知三角函數(shù)圖象求解析式 如圖為y asin x 的圖象的一段 求其解析式 是先上升后下降 類似于y sinx的圖象 所以a 0 而 可由相位來確定 解析 解法一 以n為第一個(gè)零點(diǎn) 則a t 2 此時(shí)解析式為y sin 2x 點(diǎn)n 0 2 0 所求解析式為y sin 2x 返回目錄 解法二 由圖象知a 以m 0 為第一個(gè)零點(diǎn) p 0 為第二個(gè)零點(diǎn) 0 2 所求解析式為y sin 2x 返回目錄 解之得 列方程組 1 與 是一致的 由 可得 事實(shí)上y sin 2x sin 2x sin 2x 同樣由 也可得 2 由此題兩種解法可見 在由圖象求解析式時(shí) 第一個(gè)零點(diǎn) 的確定是重要的 應(yīng)盡量使a取正值 3 已知函數(shù)圖象求函數(shù)y asin x a 0 0 的解析式時(shí) 常用的解題方法是待定系數(shù)法 由圖中的最大值或最小值確定a 由周期確定 由適合解析式的點(diǎn)的坐標(biāo)來確定 但由 返回目錄 返回目錄 圖象求得的y asin x a 0 0 的解析式一般不唯一 只有限定 的取值范圍 才能得出唯一解 否則 的值不確定 解析式也就不唯一 4 將若干個(gè)點(diǎn)代入函數(shù)式 可以求得相關(guān)待定系數(shù)a 這里需要注意的是 要認(rèn)清選擇的點(diǎn)屬于 五點(diǎn) 中的哪一個(gè)位置點(diǎn) 并能正確代入式中 依據(jù)五點(diǎn)列表法原理 點(diǎn)的序號(hào)與式子的關(guān)系是 第一點(diǎn) 即圖象上升時(shí)與x軸的交點(diǎn) 為 x 0 第二點(diǎn) 即圖象曲線的最高點(diǎn) 為 x 第三點(diǎn) 即圖象下降時(shí)與x軸的交點(diǎn) 為 x 第四點(diǎn) 即圖象曲線的最低點(diǎn) 為 x 第五點(diǎn) 為 x 2 返回目錄 如圖所示 它是函數(shù)y asin x a 0 0 的圖象 由圖中條件 寫出該函數(shù)的解析式 由圖知a 5 由得t 3 此時(shí)y 5sin x 下面介紹怎樣求初相 解法一 單調(diào)性法 點(diǎn) 0 在遞減的那段曲線上 2k 2k k z 由sin 0得 2k k z 2k k z 返回目錄 返回目錄 解法二 最值點(diǎn)法 將最高點(diǎn)坐標(biāo) 5 代入y 5sin x 得5sin 5 2k k z 2k k z 又 解法三 起始點(diǎn)法 函數(shù)y asin x 的圖象一般由 五點(diǎn)法 作出 而起始點(diǎn)的橫坐標(biāo)x正是由 x 0解得的 故只要找出起始點(diǎn)橫坐標(biāo)x0 就可以迅速求得角 由圖象易得x0 x0 返回目錄 返回目錄 解法四 平移法 由圖象知 將y 5sinx的圖象沿x軸向左平移個(gè)單位 就得到本題圖象 故所求函數(shù)解析式為y 5sin x 5sin x 返回目錄 2010年高考福建卷 已知函數(shù)f x 3sin x 0 和g x 2cos 2x 1的圖象的對(duì)稱軸完全相同 若x 則f x 的取值范圍是 分析 利用兩圖象對(duì)稱軸完全相同得出兩函數(shù)周期相同 則可求出 考點(diǎn)3三角函數(shù)圖象的對(duì)稱性 解析 由對(duì)稱軸完全相同知兩函數(shù)周期相同 2 f x 3sin 2x 返回目錄 由x 得 2x f x 3 故填 本題關(guān)鍵是求出 再利用x的取值范圍求出f x 的取值范圍 返回目錄 返回目錄 將函數(shù)y sin2x的圖象向右平移 0 個(gè)單位 得到的圖象恰好關(guān)于x 對(duì)稱 則 的最小值為 a b c d 以上都不對(duì) a y sin2x的圖象向右平移 個(gè)單位得到y(tǒng) sin2 x 的圖象 又關(guān)于x 對(duì)稱 則2 k k z 2 k 取k 1 得 故應(yīng)選a a 返回目錄 1 由函數(shù)y sinx x r 的圖象經(jīng)過變換得到函數(shù)y asin x 的圖象 在具體問題中 可先平移變換后伸縮變換 也可以先伸縮變換后平移變換 但要注意 先伸縮 后平移時(shí)要把x前面的系數(shù)提取出來 2 1 五點(diǎn)法作函數(shù)圖象及函數(shù)圖象變換問題 當(dāng)明確了函數(shù)圖象基本特征后 描點(diǎn)法 是作函數(shù)圖象的快捷方式 運(yùn)用 五點(diǎn)法 作正 余弦型函數(shù)圖象時(shí) 應(yīng)取好五個(gè)特殊點(diǎn) 并注意曲線的凹凸方向 返回目錄 在進(jìn)行三角函數(shù)圖象變換時(shí) 提倡 先平移 后伸縮 但 先伸縮 后平移 也經(jīng)常出現(xiàn)在題目中 所以也必須熟練掌握 無論是哪種變形 切記每一個(gè)變換總是對(duì)字母x而言 即圖象變換要看 變量 起多大變化 而不是 角 變化多少 2 由圖象確定函數(shù)解析式由函數(shù)y asin x 的圖象確定a 的題型 常常