第三節柯西不等式與排序不等式 三年1考高考指數 1 了解下列柯西不等式的幾種不同形式 理解它們的幾何意義并會證明 1 柯西不等式的向量形式 2 a2 b2 c2 d2 ac bd 2 3 通常稱為平面三角不等式 2 用參數配方法討論柯西不等式的一般情形 3 會用向量遞歸方法討論排序不等式 4 會用上述不等式證明一些簡單問題 能夠利用柯西不等式求一些特定函數的極值 1 利用柯西不等式 排序不等式證明不等式 求特定代數式的最值 以及解決一些實際問題的優化設計等是本節考查的重點 2 常與函數 不等式 數列 向量等知識進行綜合考查 是本節的難點 重點 1 柯西不等式 1 二維形式的柯西不等式 代數形式若a b c d都是實數 則 a2 b2 c2 d2 當且僅當 時 等號成立 ad bc ac bd 2 向量形式設是兩個向量 則 當且僅當 或 時 等號成立 三角形式設x1 y1 x2 y2 r 那么 是零向量 存在實數k 使 2 三維形式的柯西不等式設a1 a2 a3 b1 b2 b3 r 則 當且僅當 或 時 等號成立 b1 b2 b3 0 存在一個數k 使得a1 kb1 a2 kb2 a3 kb3 3 一般形式的柯西不等式設a1 a2 a3 an b1 b2 b3 bn是實數 則 當且僅當 或 時 等號成立 a1b1 a2b2 a3b3 anbn 2 bi 0 i 1 2 3 n 存在一個數k 使得ai kbi i 1 2 3 n 即時應用 1 思考 在二維形式的柯西不等式的代數形式中 取等號的條件可以寫成嗎 提示 不可以 當b d 0時 柯西不等式成立 但不成立 2 思考 不等式 a2 b2 d2 c2 ac bd 2是柯西不等式嗎 提示 不是 因為二維形式的柯西不等式可以理解為四個數對應的一種不等關系 對誰與誰組合是有順序的 不是任意的搭配 因此要仔細體會 加強記憶 3 若2x 3y 1 則4x2 9y2的最小值為 解析 4x2 9y2 12 12 2x 3y 2 1 答案 2 排序不等式 1 順序和 亂序和 反序和的概念設a1 a2 a3 an b1 b2 b3 bn為兩組實數 c1 c2 cn是b1 b2 bn的任一排列 則稱ai與bi i 1 2 n 按相同順序相乘所得積的和 為順序和 和 為亂序和 按相反順序相乘所得積的和 為反序和 a1b1 a2b2 anbn a1c1 a2c2 ancn a1bn a2bn 1 anb1 2 排序不等式 排序原理 設a1 a2 an b1 b2 bn為兩組實數 c1 c2 cn是b1 b2 bn的任一排列 則 當且僅當 時 反序和等于順序和 a1bn a2bn 1 anb1 a1c1 a2c2 ancn a1b1 a2b2 anbn a1 a2 an或b1 b2 bn 即時應用 1 順序和 反序和 亂序和的大小關系是 2 已知兩組數1 2 3和4 5 6 若c1 c2 c3是4 5 6的一個排列 則1c1 2c2 3c3的最大值是 最小值是 3 設正實數a1 a2 a3的任一排列為a 1 a 2 a 3 則的最小值為 解析 1 由排序原理可知 反序和 亂序和 順序和 2 由反序和 亂序和 順序和知 順序和最大 反序和最小 故最大值為32 最小值為28 3 不妨設0 a1 a2 a3 則 其反序和 3 則由亂序和不小于反序和知 3 的最小值為3 答案 1 反序和 亂序和 順序和 2 3228 3 3 利用柯西不等式比較大小 方法點睛 利用柯西不等式的解題方法 1 柯西不等式的一般結構為 a12 a22 an2 b12 b22 bn2 a1b1 a2b2 anbn 2 在利用柯西不等式證明不等式 或比較大小 時關鍵是正確構造左邊的兩個數組 從而利用題目的條件正確解題 2 使用柯西不等式時 既要注意它的數學意義 又要注意它的外在形式 當一個式子與柯西不等式的左側或右側具有一致形式時 就可以考慮使用柯西不等式對這個式子進行放大或縮小 例1 設a b c為正數 且不全相等 則與的大小關系為 解題指南 根據題目條件 可構造兩組數據然后利用柯西不等式解決 規范解答 構造兩組數由柯西不等式得 即 由柯西不等式知 中等號成立 a b b c c a a b c 而題設中a b c不全相等 故 中等號不能成立 答案 反思 感悟 本題 1 由a b c構造成的新數和不但需要較高的觀察能力 而且應從所給的數學式中看出 變式訓練 設a1 a2 a3均為正數 且a1 a2 a3 m 則與的大小關系為 解析 a1 a2 a3 當且僅當a1 a2 a3 時 等號成立 答案 利用柯西不等式求最值 方法點睛 利用柯西不等式求最值的技巧 1 先變形湊成柯西不等式的結構特征 這是利用柯西不等式求解的先決條件 2 有些最值問題從表面上看不能利用柯西不等式 但只要適當添加上常數項或和為常數的各項 就可以應用柯西不等式來解 這也是應用柯西不等式解題的技巧 3 有些最值問題需要反復利用柯西不等式才能達到目的 但在運用過程中 每運用一次 前后等號成立的條件必須一致 不能自相矛盾 否則就會出現錯誤 多次反復運用柯西不等式的方法也是常用技巧之一 提醒 在使用柯西不等式時 要注意右邊為常數且應注意等號成立的條件 例2 1 設正數x y z滿足x y z 1 函數 2x2 3y2 z2的最小值為 2 函數的最大值為 解題指南 1 由x y z 1以及 2x2 3y2 z2的形式 可以構造柯西不等式解決問題 2 關鍵是構造再利用柯西不等式求解 規范解答 1 根據已知條件和柯西不等式 我們有1 故 而等號成立的條件是 即代入條件x y z 1得 此時 故當時 函數 2x2 3y2 z2取得最小值 2 由柯西不等式 得f x 故當且僅當即時 f x 取得最大值為答案 1 2 互動探究 若例題 1 條件不變 的最大值為 解析 由柯西不等式 得 3 4 x y z 3 21 當且僅當x y z 時 取等號 的最大值為 答案 反思 感悟 1 利用柯西不等式求最值的一般結構為 2 在利用柯西不等式求最值時 不但要注意等號成立的條件 而且要善于構造 技巧如下 1 巧拆常數 2 重新安排某些項的次序 3 改變結構從而達到可以使用柯西不等式的目的 4 添項 變式備選 求函數y 2cosx 的最大值 解析 y 2cosx 2cosx 當且僅當即tanx 時 函數有最大值 排序不等式的應用 方法點睛 排序不等式的應用技巧 1 排序原理是對不同的兩個數組來研究不同的乘積和的問題 能構造的和按數組中的某種 搭配 的順序被分為三種形式 順序和 反序和 亂序和 對這三種不同的搭配形式只需注意是怎樣的 次序 即可 2 在解答數學問題時 常常涉及一些可以比較大小的量 它們之間并沒有預先規定大小順序 那么在解答問題時 可用排序原理的思想方法 將它們按一定順序排列起來 繼而利用不等關系來解題 例3 已知a b c為任意正數 則的最小值為 解題指南 題目中沒有給出a b c的大小順序 且a b c在不等式中的地位是均等的 不妨設a b c 再利用排序不等式等號成立時求最小值 規范解答 不妨設a b c 則a b a c b c 由排序不等式得 兩式相加 則2 3 即當且僅當a b c時 取最小值答案 反思 感悟 1 應用排序不等式解題 要先構造有序數組 從而構造順序和 亂序和以及反序和 當已知數組位置對稱 沒有大小順序時 可討論指定一個次序 然后再利用排序不等式 2 構造有序數組是正確利用排序不等式的前提條件 當做出a b c的假設后 所用的兩個數組就可以完全確定了 但要注意a b c三者的 地位 必須對等 否則不成立 變式訓練 已知a b c為正數 且a b c則與的大小關系