格林函數法求解穩定場問題1 格林函數法求解穩定場問題(Greens Function) Greens Function, 又名源函數，或影響函數，是數學物理中的一個重要概念。 從物理上看，一個數學物理方程表示一種特定的場和產生這種場的源之間關系： Heat Eq.： 表示溫度場與熱源 之間關系 Poissions Eq.： 表示靜電場與電荷分布之間的關系場可以由一個連續的體分布源、面分布源或線分布源產生，也可以由一個點源產生。但是，最重要的是連續分布源所產生的場，可以由無限多個電源在同樣空間所產生的場線性疊加得到。例如，在有限體內連續分布電荷在無界區域中產生的電勢： 這就是把連續分布電荷體產生的電勢用點電荷產生的電勢疊加表示。或者說，知道了一個點源的場，就可以通過疊加的方法算出任意源的場。所以，研究點源及其所產生場之間的關系十分重要。這里就引入Greens Functions的概念。Greens Functions：代表一個點源所產生的場。普遍而準確地說，格林函數是一個點源在一定的邊界條件和初始條件下所產生的場。所以，我們需要在特定的邊值問題中來討論 Greens Functions. 下面，我們先給出Greens Functions 的意義，再介紹如何在幾個典型區域求出格林函數，并證明格林函數的對稱性，最后用格林函數法求解泊松方程的邊值問題。實際上，只限于討論泊松方程的第一類邊值問題所對應的 Greens Functions。 2 泊松方程的格林函數 靜電場中常遇到的泊松方程的邊值問題：這里討論的是靜電場， 代表自由電荷密度。 格林函數：位于的單位正電荷在處所激發的滿足齊次邊界條件的電勢。 三維 Greens Functions 定解問題為： 這里表述了單位正電荷的體密度。 注意：對于第二類齊次邊界條件且對于有限的研究區域，這個定解問題無解。這是因為，雖然方程說明內有單位正電荷存在，而邊界條件 說明點源產生的場在邊界上電場的法向分量處處為零，說明邊界條件與方程不相容。另外，可以對方程作積分 這時要包含點，用高斯定理得 這就矛盾了！ 注： 高斯定理 這時引入廣義格林函數 其中為常數，還要增加一個條件，以保證解的唯一性。 求解上面方程組或，可得在給定區域的泊松方程的各類邊值問題的格林函數。 3 鏡像法求G. F.用Greens Functions 去求解數理方程的定解問題，首先要求出相同邊界、同類邊值問題的Greens Function.3.1 鏡像法的基本概念 很多物理問題沒有一個普遍奏效的解法，人們會發展許多方法，但往往每一種方法只能解決一部分問題。人們熟知的一種辦法是所謂“猜解”，即“嘗試解”，這要有所謂的“唯一性定理”做保證。唯一性定理：某些物理問題（如靜電場邊值問題）存在唯一解。可以通過并不唯一的方法找到這個唯一解，這樣就意味著解決物理方法上的多樣性和靈活性。靜電鏡像法是一種特殊的猜解方法，其基本思想：利用點電荷模擬邊界面上的感應電荷或極化電荷。可用于鏡像法解決的問題包括：在點或線電荷與導體（或介質）共同存在的系統中，空間任一點的場是由點（或線）電荷與界面上感應（或極化）電荷共同產生的，而感應（或極化）電荷事先并不知道。通過分析邊界條件可以找到一個（或多個）像電荷來等效地代替導體面（或介質面）上的感應（或極化）電荷，從而把點（或線）電荷與界面上感應（或極化）電荷在待求區域產生場的求解問題轉化為真實點電荷和虛像電荷在待求區域所產生場的簡單疊加。鏡像法求邊值問題的一般步驟為（以靜電場為例）：1） 列出定解問題：電勢在待求區域所滿足的微分方程和邊界條件；2） 根據邊界條件分析鏡像電荷的個數和位置；3） 寫出電勢分布的形式表達式（嘗試解）；4） 把邊界條件帶入形式表達式以確定像電荷的量值和位置；5） 把已求出的像電荷帶入形式解以得到真實的電勢分布；6） 根據題意要求可由電勢求場強、電荷分布及受力等問題。靜電鏡像法分為：反射鏡像法：平面鏡法球面鏡法半透鏡法：平面鏡法球面鏡法32 無界空間定解問題 對應物理問題：單位正電荷置于，求空間任一點處的電勢 庫侖定律給出的解無界區域的Greens Function： 又叫基本解。33 上半空間定解問題 這里實際上可以給出滿足第一類邊界條件的 G. F. of the first kind.物理問題：在 處，有一無限大接地金屬板，在處有一單位正電荷，求金屬板上方任一點處的電勢分布鏡像法的基本思想用在這里：當電荷置于導體板的上方時，由于靜電感應，板上出現異號電荷，空間電場是由電荷及感應電荷共同激發的，即。而且滿足靜電平衡條件時，電力線垂直于導體面。格林等效層定理：帶電導體面上的電荷分布在導體外產生的電勢，可以用導體面內的一定的等效電荷分布來代替。 我們通過電場分布分析，引進像電荷假想電荷來代替感應電荷作用。在這里，我們在電荷相對于平面的鏡像位置引進，那么和激發電場與和真實感應電荷激發的電場相同。這里要滿足和共同在導體面上產生的電勢為零。 這樣引進的像電荷和原電荷一起產生的場，就是要求的由原電荷和感應電荷產生的場，這樣我們只需要求出像電荷的位置和大小。 像電荷的正確引進要符合： 像電荷用在求解區域之外引入，因為感生電荷在上半空間的場處處滿足Laplaces Eq. , 即在上半平面內是無源的。 像電荷的電量和位置要滿足邊界條件： 和。Then, 和激發的電勢是待求的格林函數。 金屬板上的面電荷密度 應能證明：金屬板上總電荷 這說明金屬板上總感應電荷等于像電荷。這是因為接地的導體平面相當于一面鏡子，而則是的像，稱像電荷。34 球外空間這里還是考慮第一類G.F.函數的求解問題。定解問題 對應物理問題：接地金屬球外處，有一單位正電荷，求球外空間任一點處的電勢首先引進像電荷，要不違反泊松方程，也就是讓產生的電勢滿足 Laplaces Eq., , 必須在求解區域之外一球內，考慮到對稱性，還必須在上，放在處。為了保證球面電勢為零，即 成立，為負電荷。？，？ 應由邊界條件定。考慮球面上一點，由邊界條件得：也就是 要求 注意，這里考慮了若有兩個相似三角形，必有。由此確定了像電荷的位置和電量 這樣，和激發的電勢就是 Greens Function 用球坐標表示：場點： ， 電荷所在位置：， 像電荷所在位置：，（這里） （余弦定理） （余弦定理）where （加法公式）在考慮， 我們得 場強： 球面上電荷分布： 球面上總電荷： 由于球面上感應電荷在球外的場與像電荷的場等效，所以電荷受感應電荷的力為 4 Greens Functions 對稱性 重要物理意義：點的點源，在一定邊界條件下，在產生的場等于：在置同樣強度點源，在相同邊界條件下在產生的場。 這就是物理學中常說的倒易性互易性。實際上，并非所有格林函數都具有這種對稱性，這與邊值問題有關。Proof. 泊松方程的Greens Fnuctions 對稱性。 定解問題 :又有: 對積分后： 根據Green公式第二式 可得 （5）與上類似，對定解條件做如下處理得 所以（5）式右邊 這就是格林函數的對稱性。5 求解泊松方程的第一類邊值問題 泊松方程的第一類邊值問題寫出與有相同邊界、同類邊值問題的格林函數所滿足的方程與邊界條件 寫出自變量為的Greens Formula letting 為待求電勢，便有（上式左端代入（3）和（1），右端） 利用函數性質和 Where 為內整個電荷分布在處激發電勢； 為外電荷分布在處激發的電勢。6 用正交函數組展開格林函數一個求有界區域GF的重要方法。Example： 求矩形區域內的Laplaces Eq. 第一邊值問題的GF 滿足條件（2）的一組正交函數函數為： （3）其正交歸一關系為： （4）注意這里選得正交函數組實際上是有條件的：1） 滿足邊界條件2） 實際上是如下本征方程的解本征函數： 展開所求GF： （5）帶入原方程（1）得：對于上式做以下積分：We obtain thatSo And （6）問題：這里的二重級數收斂很慢，在使用到求普遍問題的解時不太合適。改進：用一個變數的正交函數組其正交歸一關系為這組函數滿足邊界條件，同時具有。使用對GF做展開有 （7）帶入原方程（1）得： (8)Where 做運算可得：(9)把（7）式帶入原邊界條件（2）式，可得相應邊條件：。 這樣構成了一個本征值問題： （10）這里已經暫時去掉了下標m，并且令。當時，方程（10）是齊次方程，其通解為由邊界條件 得 so 。但看另一端邊界條件，以上解不能滿足。它卻要求i.e. we have 所以，定解問題（10）的解為其中系數待定。 問題是在點應該是連續的，否則在該點會變成無窮大，這與方程（10）的奇異性不符合，因為該式右邊的函數的積分值是有限的。S