第2課時定點 定值 探索性問題 9 8圓錐曲線的綜合問題 課時作業 題型分類深度剖析 內容索引 題型分類深度剖析 解答 題型一定點問題 師生共研 1 求c的方程 解由于p3 p4兩點關于y軸對稱 故由題設知橢圓c經過p3 p4兩點 所以點p2在橢圓c上 2 設直線l不經過p2點且與c相交于a b兩點 若直線p2a與直線p2b的斜率的和為 1 證明 l過定點 證明 得 4k2 1 x2 8kmx 4m2 4 0 由題設可知 16 4k2 m2 1 0 證明設直線p2a與直線p2b的斜率分別為k1 k2 如果l與x軸垂直 設l x t 由題設知t 0 從而可設l y kx m m 1 由題設知k1 k2 1 故 2k 1 x1x2 m 1 x1 x2 0 設a x1 y1 b x2 y2 當且僅當m 1時 0 所以l過定點 2 1 圓錐曲線中定點問題的兩種解法 1 引進參數法 引進動點的坐標或動線中系數為參數表示變化量 再研究變化的量與參數何時沒有關系 找到定點 2 特殊到一般法 根據動點或動線的特殊情況探索出定點 再證明該定點與變量無關 解答 解設橢圓的焦距為2c 由題意知b 1 且 2a 2 2b 2 2 2c 2 又a2 b2 c2 a2 3 幾何畫板展示 2 若 1 2 3 試證明 直線l過定點并求此定點 證明 幾何畫板展示 證明由題意設p 0 m q x0 0 m x1 y1 n x2 y2 設l方程為x t y m 1 2 3 y1y2 m y1 y2 0 代入 得t2m2 3 2m2t2 0 mt 2 1 由題意mt 0 mt 1 滿足 得直線l方程為x ty 1 過定點 1 0 即q為定點 由題意知 4m2t4 4 t2 3 t2m2 3 0 1 求橢圓c的方程 解答 題型二定值問題 師生共研 又a2 b2 c2 所以a2 8 b2 2 2 若p q是橢圓c上的兩個動點 且使 paq的角平分線總垂直于x軸 試判斷直線pq的斜率是否為定值 若是 求出該值 若不是 請說明理由 解答 解方法一因為 paq的角平分線總垂直于x軸 所以pa與aq所在的直線關于直線x 2對稱 設直線pa的斜率為k 則直線aq的斜率為 k 所以直線pa的方程為y 1 k x 2 直線aq的方程為y 1 k x 2 設點p xp yp q xq yq 得 1 4k2 x2 16k2 8k x 16k2 16k 4 0 因為點a 2 1 在橢圓c上 所以x 2是方程 的一個根 方法二設直線pq的方程為y kx b 點p x1 y1 q x2 y2 則y1 kx1 b y2 kx2 b 因為 paq的角平分線總垂直于x軸 所以pa與aq所在的直線關于直線x 2對稱 化簡得x1y2 x2y1 x1 x2 2 y1 y2 4 0 把y1 kx1 b y2 kx2 b代入上式 化簡得2kx1x2 b 1 2k x1 x2 4b 4 0 得 4k2 1 x2 8kbx 4b2 8 0 若b 1 2k 可得方程 的一個根為2 不符合題意 整理得 2k 1 b 2k 1 0 圓錐曲線中的定值問題的常見類型及解題策略 1 求代數式為定值 依題意設條件 得出與代數式參數有關的等式 代入代數式 化簡即可得出定值 2 求點到直線的距離為定值 利用點到直線的距離公式得出距離的解析式 再利用題設條件化簡 變形求得 3 求某線段長度為定值 利用長度公式求得解析式 再依據條件對解析式進行化簡 變形即可求得 跟蹤訓練 2018屆洛陽聯考 如圖 點f是拋物線 x2 2py p 0 的焦點 點a是拋物線上的定點 且 2 0 點b c是拋物線上的動點 直線ab ac的斜率分別為k1 k2 1 求拋物線 的方程 解答 代入x2 2py p 0 中得4 p2 即p 2 所以拋物線 的方程是x2 4y 2 若k2 k1 2 點d是拋物線在點b c處切線的交點 記 bcd的面積為s 證明s為定值 證明 證明過d作y軸的平行線交bc于點e 由 1 知a 2 1 又k2 k1 2 所以x2 x1 8 1 當k 0時 分別求c在點m和n處的切線方程 解答 題型三探索性問題 師生共研 2 y軸上是否存在點p 使得當k變動時 總有 opm opn 說明理由 解答 解存在符合題意的點 證明如下 設p 0 b 為符合題意的點 m x1 y1 n x2 y2 直線pm pn的斜率分別為k1 k2 將y kx a代入c的方程得x2 4kx 4a 0 故x1 x2 4k x1x2 4a 當b a時 有k1 k2 0 則直線pm的傾斜角與直線pn的傾斜角互補 故 opm opn 所以點p 0 a 符合題意 解決探索性問題的注意事項探索性問題 先假設存在 推證滿足條件的結論 若結論正確則存在 若結論不正確則不存在 1 當條件和結論不唯一時要分類討論 2 當給出結論而要推導出存在的條件時 先假設成立 再推出條件 3 當條件和結論都不知 按常規方法解題很難時 要開放思維 采取另外合適的方法 1 求橢圓e的方程 解答 解答 解當直線l與x軸垂直時不滿足條件 故可設a x1 y1 b x2 y2 直線l的方程為y k x 2 1 代入橢圓方程得 3 4k2 x2 8k 2k 1 x 16k2 16k 8 0 即4 x1 2 x2 2 y1 1 y2 1 5 4 x1 2 x2 2 1 k2 5 即4 x1x2 2 x1 x2 4 1 k2 5 設而不求 整體代換 思想方法 1 求橢圓c的方程 2 點p是橢圓c上除長軸端點外的任一點 連接pf1 pf2 設 f1pf2的角平分線pm交c的長軸于點m m 0 求m的取值范圍 思想方法指導 思想方法指導對題目涉及的變量巧妙地引進參數 如設動點坐標 動直線方程等 利用題目的條件和圓錐曲線方程組成二元二次方程組 再化為一元二次方程 從而利用根與系數的關系進行整體代換 達到 設而不求 減少計算 的效果 直接得定值 規范解答 幾何畫板展示 規范解答 2 設p x0 y0 y0 0 所以直線pf1 pf2的方程分別為 pf1 pf2 3 設p x0 y0 y0 0 則直線l的方程為y y0 k x x0 課時作業 基礎保分練 1 2 3 4 5 6 解答 1 2018屆廣西柳州摸底 已知拋物線c的頂點在原點 焦點在x軸上 且拋物線上有一點p 4 m 到焦點的距離為5 1 求該拋物線c的方程 解由題意設拋物線方程為y2 2px p 0 p 4 m 到焦點的距離等于p到其準線的距離 拋物線c的方程為y2 4x 1 2 3 4 5 6 解答 2 已知拋物線上一點m t 4 過點m作拋物線的兩條弦md和me 且md me 判斷直線de是否過定點 并說明理由 1 2 3 4 5 6 解由 1 可得點m 4 4 可得直線de的斜率不為0 設直線de的方程為x my t 則 16m2 16t 0 設d x1 y1 e x2 y2 則y1 y2 4m y1y2 4t 1 2 3 4 5 6 x1x2 4 x1 x2 16 y1y2 4 y1 y2 16 t2 16m2 12t 32 16m 0 即t2 12t 32 16m2 16m 得 t 6 2 4 2m 1 2 t 6 2 2m 1 即t 4m 8或t 4m 4 代入 式檢驗知t 4m 8滿足 0 直線de的方程為x my 4m 8 m y 4 8 直線過定點 8 4 1 2 3 4 5 6 解答 1 求橢圓c的標準方程 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 解得a2 20 b2 5 解答 2 試問 k1 k2是否為定值 若是 求出該定值 若不是 請說明理由 1 2 3 4 5 6 解設e x0 y0 直線y k1x與圓e x x0 2 y y0 2 4相切 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 解答 1 求a b的值 1 2 3 4 5 6 解在c1 c2的方程中 令y 0 可得b 1 且a 1 0 b 1 0 是上半橢圓c1的左 右頂點 設c1的半焦距為c a 2 b 1 1 2 3 4 5 6 解答 2 過點b的直線l與c1 c2分別交于點p q 均異于點a b 是否存在直線l 使得以pq為直徑的圓恰好過點a 若存在 求出直線l的方程 若不存在 請說明理由 1 2 3 4 5 6 解存在 易知 直線l與x軸不重合也不垂直 設其方程為y k x 1 k 0 代入c1的方程 整理得 k2 4 x2 2k2x k2 4 0 設點p的坐標為 xp yp 直線l過點b x 1是方程 的一個根 1 2 3 4 5 6 得點q的坐標為 k 1 k2 2k 以pq為直徑的圓恰好過點a 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 故直線l的方程為8x 3y 8 0 解答 1 求橢圓c的標準方程 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 解答 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 解假設存在符合條件的實數k 消去y并整理 得 1 2k2 x2 8kx 4 0 則 64k2 16 1 2k2 0 設a x1 y1 b x2 y2 1 2 3 4 5 6 x1x2 y1y2 0 即x1x2 kx1 2 kx2 2 0 即 1 k2 x1x2 2k x1 x2 4 0 解答 1 求橢圓c的方程 技能提升練 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 證明 2 設直線l與橢圓c相交于a b兩點 若以ab為直徑的圓經過坐標原點 證明 點o到直線ab的距離為定值 1 2 3 4 5 6 證明設a x1 y1 b x2 y2 當直線ab的斜率不存在時 由橢圓的對稱性 可知x1 x2 y1 y2 因為以ab為直徑的圓經過坐標原點 1 2 3 4 5 6 當直線ab的斜率存在時 設直線ab的方程為y kx m 消去y 得 1 4k2 x2 8kmx 4m2 4 0 1 2 3 4 5 6 因為以ab為直徑的圓過坐標原點o 所以oa ob 所以 1 k2 x1x2 km x1 x2 m2 0 整理得5m2 4 k2 1 1 2 3 4 5 6 解答 拓展沖刺練 1 求橢圓e的方程 1 2 3 4 5