2.3鄰域與鄰域系本節重點：掌握鄰域的概念及鄰域的性質；掌握連續映射的兩種定義；掌握證明開集與鄰域的證明方法（今后證明開集常用定理2.3.1）我們在數學分析中定義映射的連續性是從“局部”到“整體”的，也就是說先定義映射在某一點處的連續性，然后再定義這個映射本身的連續性然而對于拓撲空間的映射而言，先定義映射本身的連續性更為方便，所以我們先在2.2中做好了；現在輪到給出映射在某一點處的連續性的定義了在定理2.1.4中我們已經發現，為此只要有一個適當的稱之為“鄰域”的概念，而在2.1中定義度量空間的鄰域時又只用到“開集”因此我們先在拓撲空間中建立鄰域的概念然后再給出映射在某一點處的連續性的概念，這些概念的給出一點也不會使我們感到突然定義2.3.1設（X，P)是一個拓撲空間，xX如果U是X的一個子集，滿足條件：存在一個開集VP使得xVU，則稱U是點x的一個鄰域點x的所有鄰域構成的x的子集族稱為點x的鄰域系易見，如果U是包含著點x的一個開集，那么它一定是x的一個鄰域，于是我們稱U是點x的一個開鄰域首先注意，當我們把一個度量空間看作拓撲空間時（這時，空間的拓撲是由度量誘導出來的拓撲），一個集合是否是某一個點的鄰域，無論是按2.1中的定義或者是按這里的定義，都是一回事定理2.3.1拓撲空間X的一個子集U是開集的充分必要條件是U是它的每一點的鄰域，即只要xU，U便是x的一個鄰域證明定理中條件的必要性是明顯的以下證明充分性如果U是空集，當然U是一個開集下設U根據定理中的條件，使得故U=，根據拓撲的定義，U是一個開集定理2.3.2概括了鄰域系的基本性質定理2.3.2設X是一個拓撲空間記為點xX的鄰域系則：（1）對于任何xX，；并且如果U，則xU；（2）如果U，V，則UV；（3）如果U并且UV，則V；（4）如果U，則存在V滿足條件：(a)VU和(b)對于任何yV，有V證明（1）X,XP,X,且由定義,如果U，則xU（2）設U，V則存在UP和P使得和成立從而我們有,T,UV（3）設U，并且（4）設U令VP滿足條件V已經滿足條件（a），根據定理2.3.1，它也滿足條件（b）以下定理表明，我們完全可以從鄰域系的概念出發來建立拓撲空間理論，這種做法在點集拓撲發展的早期常被采用這種做法也許顯得自然一點，但不如現在流行的從開集概念出發定義拓撲來得簡潔定理2.3.3設X是一個集合又設對于每一點xX指定了x的一個子集族，并且它們滿足定理2.3.2中的條件（1）（4）則x有惟一的一個拓撲T使得對于每一點xX，子集族恰是點x在拓撲空間（X，P)中的鄰域系(證明略)現在我們來將度量空間之間的連續映射在一點處的連續性的概念推廣到拓撲空間之間的映射中去定義2.3.2設X和Y是兩個拓撲空間，f:XY，xX如果f（x）Y的每一個鄰域U的原象（U）是xX的一個鄰域，則稱映射f是一個在點x處連續的映射，或簡稱映射f在點x處連續與連續映射的情形一樣，按這種方式定義拓撲空間之間的映射在某一點處的連續性也明顯地是受到了2.1中的定理2.1.4的啟發并且該定理也保證了：當X和Y是兩個度量空間時，如果f: XY是從度量空間X到度量空間Y的一個映射，它在某一點xX處連續，那么它也是從拓撲空間X到拓撲空間Y的一個在點x處連續的映射；反之亦然這里我們也有與定理2.2.l類似的定理定理2.3.4設X，Y和Z都是拓撲空間則（1）恒同映射：XX在每一點xX處連續；（2）如果f：XY在點xX處連續，g：YZ在點f（x）處連續，則gof：XZ在x處連續證明請讀者自己補上以下定理則建立了“局部的”連續性概念和“整體的”連續性概念之間的聯系定理2.3.5設X和Y是兩個拓撲空間，f：XY則映射f連續當且僅當對于每一點xX，映射f在點x處連續證明必要