2015年寧德市普通高中畢業班單科質量檢查數學（理科）試卷本試卷分第i卷（選擇題）和第卷（非選擇題）兩部分本卷滿分150分，考試時間120分鐘注意事項:1答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上2考生作答時，將答案答在答題卡上請按照題號在各題的答題區域（黑色線框）內作答，超出答題區域書寫的答案無效在草稿紙、試題卷上答題無效3選擇題答案使用2b鉛筆填涂，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號；非選擇題答案使用05毫米的黑色中性（簽字）筆或碳素筆書寫，字體工整、筆跡清楚4保持答題卡卡面清楚，不折疊、不破損考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回參考公式：樣本數據，的標準差其中為樣本平均數柱體體積公式其中為底面面積，為高 錐體體積公式其中為底面面積，為高球的表面積、體積公式，其中為球的半徑第i卷（選擇題 共50分）一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的1已知全集，集合，則滿足且的實數所組成的集合為ab c d 2命題“若，則”的逆否命題是a若，則 b若，則 c若，則 d若，則3為了解某班學生喜愛打籃球是否與性別有關，對本班50人進行了問卷調查得到了下表：喜愛打籃球不喜愛打籃球合計男生19625女生91625合計282250根據表中的數據及隨機變量的公式，算得臨界值表：p(2k)0.1000.0500.0250.0100.0050.001k2.7063.8415.0246.6357.87910.828根據臨界值表，你認為喜愛打籃球與性別之間有關系的把握是 a97.5% b99%c99.5 d99.9%開始結束否是輸出4某公司將4名新招聘的員工分配至3個不同的部門，每個部門至少分配一名員工其中甲、乙兩名員工必須在同一個部門的不同分配方法的總數為a6 b12 24 d365運行如圖所示的程序框圖，則輸出的所有實數對所對應的點都在函數a的圖象上b的圖象上c的圖象上d的圖象上6若變量滿足約束條件且的最大值和最小值分別為和，則等于a8 b7 c6 d5 7已知某幾何體的三視圖如圖所示，則它的體積是a b c d8已知函數，其中，則下列結論中正確的是a的一條對稱軸是b在上單調遞增c是最小正周期為的奇函數d將函數的圖象左移個單位得到函數的圖象9已知為坐標原點，向量，若平面區域由所有滿足（，）的點組成，則能夠把區域的周長和面積同時分為相等的兩部分的曲線是a bc d10斜率為的兩條直線分別切函數的圖象于，兩點若直線的方程為，則的值為 a8 b7 c6d5第ii卷 （非選擇題共100分）二、填空題：本大題共5小題，每小題4分，共20分把答案填在答題卡相應位置11已知復數(是虛數單位)，則的模_12某工廠生產甲、乙、丙三種型號的產品，產品數量之比為357，現用分層抽樣的方法抽出容量為n的樣本，其中乙種產品有30件，則樣本容量n_13如圖，直線與函數的圖象交于點，過作軸于在中任取一點，則該點落在陰影部分的概率為_14已知長方體從同一頂點出發的三條棱長分別為，且成等差數列若其對角線長為，則的最大值為_15如圖，均為等腰直角三角形，其直角頂點，在曲線上，與坐標原點重合， 在軸正半軸上設的縱坐標為，則_三、解答題：本大題共6小題，滿分80分解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟16(本小題滿分13分)分組頻數頻率(80，9030.03(90，10070.07(100，1100.10(110，12020(120，130350.35(130，140200.20(140，15050.05合計1.00某漁池年初放養一批魚苗，為了解這批魚苗的生長、健康狀況，一個月后，從該漁池中隨機撈出條魚稱其重量（單位:克），并將所得數據進行分組，得到如右頻 率分布表（）求頻率分布表中的，的值；（）從撈出的重量不超過克的魚中，隨機抽取條作病理檢測，記這條魚中，重量不超過克的魚的條數為，求的分布列和數學期望17(本小題滿分13分)已知數列滿足：，且（）求證：數列是等差數列；（）求數列的前項和18(本小題滿分13分)如圖（1）所示，直角梯形中，過作于，是線段上的一個動點將沿向上折起，使平面平面連結，（如圖（2）（）取線段的中點，問：是否存在點，使得平面？若存在，求出 的長；不存在，說明理由；abecdadcbepqp（）當時，求平面和平面所成的銳二面角的余弦值圖（2）圖（1）19（本小題滿分13分）abcdl某供貨商擬從碼頭發貨至其對岸的兩個商場，處，通常貨物先由處船運至之間的中轉站，再利用車輛轉運如圖，碼頭與兩商場，的距離相等，兩商場間的距離為千米，且若一批貨物從碼頭至處的運費為100元/千米，這批貨到后需分別發車2輛、4輛轉運至、處，每輛汽車運費為25元/千米設該批貨總運費為元（）寫出關于的函數關系式，并指出的取值范圍；（）當為何值時，總運費最??？并求出的最小值20 (本小題滿分14分)已知函數（）若，求函數的極值；（）若在有唯一的零點，求的取值范圍；（）若，設，求證：在內有唯一的零點，且對（）中的，滿足21(本小題滿分14分)本題設有（1）、（2）、（3）三個選考題，每題7分，請考生任選2題做答，滿分14分，如果多做，則按所做的前兩題計分，做答時，先用2b鉛筆在答題卡上把所選題目對應的題號涂黑，并將所選題號填入括號中（1）選修4-2:矩陣與變換（本小題滿分7分）已知二階矩陣a有特征值，其對應的一個特征向量分別為，（）求矩陣a；（）求圓在矩陣a所對應的線性變換作用下得到曲線的方程（2）選修4-4 參數方程與極坐標（本小題滿分7分）已知傾斜角為，過點的直線與曲線c：是參數相交于，兩點（）寫出直線的參數方程和曲線c的普通方程；（）求的值（3）選修4-5：不等式選講（本小題滿分7分）在空間直角坐標系中，坐標原點為，點坐標為（）若點在軸上，且坐標滿足，求點到原點的距離的最小值；（）若點到坐標原點的距離為，求的最大值2015年寧德市普通高中畢業班單科質量檢查數學（理科）試題參考答案及評分標準說明:一、本解答指出了每題要考查的主要知識和能力，并給出了一種或幾種解法供參考，如果考生的解法與本解法不同，可根據試題的主要考查內容比照評分標準制定相應的評分細則.二、對計算題，當考生的解答在某一部分解答未改變該題的內容和難度，可視影響的程度決定后繼部分的給分，但不得超過該部分正確解答應給分數的一半；如果后繼部分的解答有較嚴重的錯誤，就不再給分.三、解答右端所注分數，表示考生正確做到這一步應得的累加分數.四、只給整數分數，選擇題和填空題不給中間分.一、選擇題：本題考查基礎知識和基本運算，每小題5分，滿分50分.1. d 2. b 3. c 4. a 5. d 6. c 7. a 8. b 9. c 10. b二、填空題：本題考查基礎知識和基本運算，每小題4分，滿分20分.11. 12. 13. 14. 15. 三、解答題：本大題共6小題，滿分80分.解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟.16. 本小題主要考察概率統計的基礎知識，考查推理論證能力、數據處理能力、運算求解能力及應用意識，考查或然與必然的思想，滿分13分解：（）依題意， 1分 2分， 3分 4分（）依題意，的所有可能取值為0，1，2，3， 5分， ， ， ， 9分（說明：以上4個式子，每個1分）故的分布列為0123p11分所以的數學期望12分. 13分17. 本題主要考查等差數列、等比數列等基礎知識，考查抽象概括能力，推理論證能力，運算求解能力，考查化歸與轉化思想、函數與方程思想滿分13分.解法一：（）令，1分則 2分 3分 4分數列為公差為的等差數列.即數列是公差為的等差數列. 5分（）由（）知，數列為公差為的等差數列， ， 6分 7分， 8分，9分-得， 10分 12分 13分解法二：（），3分， 4分數列是公差為的等差數列. 5分（）由（）知：數列是公差為的等差數列，7分以下同法一 18. 本題主要考查直線與直線、直線與平面的位置關系等基礎知識，考查空間想象能力、推理論證能力和運算求解能力，考查數形結合思想、化歸與轉化思想滿分13分.解：（）存在當為的中點時，滿足平面1分取的中點，連結，adcbepmq由為的中點，得，且，2分又，且，所以，所以四邊形為平行四邊形，3分故4分又平面，平面，所以平面 5分qxyzadcbep從而存在點，使得平面，此時 6分（）由平面平面，交線為，且，所以平面，又，7分以e為原點，分別以為x軸、y軸、z軸的正方向建立空間直角坐標系（如圖），則，8分，9分平面的一個法向量為， 10分設平面的法向量為，由得 11分取，得， 12分所以，即面和平面所成的銳二面角的余弦值為13分19. 本題主要考查三角函數的恒等變換、解三角形、函數與導數等基礎知識，考查推理論證能力、抽象概括能力和運算求解能力，考查應用意識，考查數形結合思想、函數與方程思想、化歸與轉化思想滿分13分.解法一：（）依題意，在中，1分又在中，,，由，得 2分由，得，3分 4分5分 6分其中的取值范圍是 7分（）由（）， 8分令，9分由得：，又， 10分當時，當時， 11分 12分（元），當時，運輸費用s的最小值為元13分20. 本題考查函數與導數等基本知識，考查推理論證能力和運算求解能力，考查函數與方程的思想、化歸與轉化的思想、數形結合的思想，考查運用數學知識分析和解決問題的能力，滿分14分解法一：（）當時，1分由，令，得當變化時，的變化如下表：0極小值故函數在單調遞減，在單調遞增，3分有極小值，無極大值4分（），令，得，設則在有唯一的零點等價于在有唯一的零點當時，方程的解為，滿足題意；5分當時，由函數圖象的對稱軸，函數在上單調遞增，且，所以滿足題意；6分當，時，此時方程的解為，不符合題意；當，時，由，只需，得7分綜上，8分（說明：未討論扣1分）（）設，則，9分 ，由，故由（）可知，方程在內有唯一的解，且當時，單調遞減；時，單調遞增11分又，所以12分取，則， 從而當時，必存在唯一的零點，且，即，得，且，從而函數在內有唯一的零點，滿足14分解法二：（）同解法一；4分（），令，由，得5分設，則，6分問題轉化為直線與函數的圖象在恰有一個交點問題又當時，單調遞增，7分故直線與函數的圖象恰有一個交點，當且僅當8分（）同解法一（說明：第（）問判斷零點存在時，利用時，進行證明，扣1分）21. （1）本題主要考查矩陣與變換等基礎知識，考查運算求解能力，考查數形結合思想、化歸與轉化思想，滿分7分解：（）設矩陣,依題意，得 1分 2分 解得 3分.4分（）設圓c上任意一點在矩陣對應的變換作用下的像是, 5分解得6分 又 , , 曲線c的方程為.7分（2）本題主要考查直線和圓的參數方程等基礎知識，考查運算求解能力、推理論證能力，考查數形結合思想和化歸與轉化思想，滿分7