2014 年暑假高中數學競賽班型知識點梳理 （第一次） 資料 說明 本 導學用于學員在實際授課之前，了解授課方向及重難點。同時還附上部分知識點的詳細解讀。 本 班型導學共由 4 份 書面資料構成。 清北學堂集中培訓課程知識點梳 理 （ 2014 年 暑假 集中培訓課程使用） QBXT/JY/ZSD2014/6-1-1 2014-6-20 發布 清北學堂教學研究部 清北學堂學科郵箱 自主招生郵箱 數學競賽郵箱 物理競賽郵箱 化學競賽郵箱 生物競賽郵箱 理科精英郵箱 清北學堂官方博客 /tsba 清北學堂微信訂閱號 學習資料最新資訊 清北學堂集中培訓課程知識點梳理 北京清北學堂教育科技有限公司 第 2 頁 2014 年暑假高中數學競賽班型知識點梳理 (代數部分 ) 一、課程重點及難點概述 . 3 二、清北導學 . 4 數列部分 . 4 重點及難點 . 4 知識點 . 4 思考題 . 5 不等式 . 6 重點及難點 . 6 知識點 . 6 不等式常用證明方法 . 8 不等式的若干技巧 . 9 利用不等式求最值 . 9 不等式的綜合應用 . 10 函數 . 10 重點及難點 . 10 知識點 . 10 復數 . 12 重點及難點 . 12 知識點 . 12 清北學堂集中培訓課程知識點梳理 北京清北學堂教育科技有限公司 第 3 頁 一、 課程重點及難點概述 本次培訓的重點為數列、函數、不等式和復數。其中數列、函數、不等式及其三者的交叉綜合問題是學習的難點。提高班以真題講解為主，穿插相關知識點，訓練同學的解題思路。 清北學堂集中培訓課程知識點梳理 北京清北學堂教育科技有限公司 第 4 頁 二、清北導學 數列部分 重點及難點 數列部分，等差數列及其性質、等比數列及其性質、數列前 n 項和求法、通項公式的求法、遞歸數列處理方法是該部分的重點；而數列的極限、數列相關不等式的證明技巧、新數列構造等問題是該部分的難點。 知識點 1. 等差數列： 1 ()nna a d const 2. 等比數列： 1 ( , 0 )nna q const qa 3. 幾種數列遞推關系式求通項方法 （ 1） 11, , ,nna p a q a p q 已 知 1 ( ) ,1 1 1n n nq q qa p a ap p p 為 一 個 新 的 等 比 數 列 故 11()11nn qqa a ppp （ 2） 1 1 1 2, , , ,n n na p a q a a a p q 已 知 該遞推關系式對應的特征方程為 2x px q，如果方程有不等兩根 12,xx，那么12nnna Ax Bx，由 12,aa定得 ,AB，從而確定數列通項公式；如果特征方程有重根12xx ，那么 1()nna An B x，由 12,aa定得 ,AB，從而確定數列通項公式。 （ 3）不動點法求數列通項 對于一個函數 ()y f x ，該函數的不動點指的是方程 ()x f x 的根，也就是()y f x 與直線 yx 的交點。 清北學堂集中培訓課程知識點梳理 北京清北學堂教育科技有限公司 第 5 頁 假設1 nn naa ba ca d ，已知 1, , , ,abc d a 令 () ax bfx cx d ，可求函數 ()y f x 的不動點滿足 ax bx cx d ，即 2 ( ) 0cx d a x b ，令方程的兩根為 12,xx 1 若 12xx ，則有1 1 11 1 2()nncppa x a x a d 其 中 2 若 12xx ，則有 1 1 1 11 2 2 2()nna x a x a c xqqa x a x a c x 其 中 從而可以求出 na 的通項公式。 4. 等差乘等比數列的前 n 項和 nS 的求法：錯項相減法 思考題 1.（ 2008 年） 設數列 的前 項和 滿足： ， ，則 通項 =_。 2.（ 2009 年） 一個由若干行數字組成的數表，從第二行起每一行中的數字均等于其肩上的兩個數之和，最后一行僅有一個數，第一行是前 個正整數按從小到大排成的行，則最后一行的數是（可以用指數表示） 3.（ 2009 年） 已知 ， 是實數，方程 有兩個實根 ， ，數列 滿足 ， ， () 求數列 的通項公式（用 ， 表示）； () 若 ， ，求 的前 項和 4.（ 2010 年） 已知 是公差不為 的等差數列， 是等比數列，其中， 且 存 在 常 數 使 得 對 每 一 個 正 整 數 都有，則 . na n nS 1( 1)nn nSa nn 1,2,nna100p 0qq 2 0x px q na1ap 22a p q 12 34n n na p a q a n ， ，na 1p 14q na nna 0 nb352211 3,1,3 bababa , n nn ba log 清北學堂集中培訓課程知識點梳理 北京清北學堂教育科技有限公司 第 6 頁 不等式 重點及難點 不等式部分，常用不等式、應用不等式求極值、不等式證明技巧是該部分的重點；其中柯西不等式、排序不等式、不等式證明中的換元法、不等式的綜合應用是不等式學習的難點。 知識點 1. 均值不等式 12, na a a R，有 22111111 nnn nna a a an aannaa 2. 柯西不等式 若 , , 1, 2, ,iia b R i n ，則 2 2 21 1 1( ) ( ) ( )n n ni i i ii i ia b a b ，等號成立當且僅當1212nnaaab b b 常用變形一： RbRa ii ，若 (i=1,2,n) ，則 niniiniiiibaba11212 注：要求 bi為正數 清北學堂集中培訓課程知識點梳理 北京清北學堂教育科技有限公司 第 7 頁 常用變形二： 若 Rba ii， (i=1,2,n) ，則 niiiniini iibaaba1211 注：要求 ai， bi 均為正數。 3. 排序不等式 設有兩個有序數組 12 na a a 及 12 nb b b ，則 1 1 2 2 ()nna b a b a b 同 序 和 1 1 2 2 ()j j n jna b a b a b 亂 序 和 1 2 1 1 ()n n na b a b a b 逆 序 和 其中 12,nj j j 為 1,2, ,n 的任意一個排列。當且僅當 12 na a a 或12 nb b b 時等號（對任一排列 12,nj j j ）成立。 4. 琴生不等式 如果在定義域 ,ab 上函數 ()y f x 為上凸函數，則 12, , , ,nx x x a b，有 1 2 1 2( ) ( ) ( ) ()nnf x f x f x x x xfnn ； 如果在定義域 ,ab 上函數 ()y f x 為下凸函數，則 12, , , ,nx x x a b，有 1 2 1 2( ) ( ) ( ) ()nnf x f x f x x x xfnn 。 加權的琴生不等式 : 對于 定義域 ,ab 上 的 上 凸函數，若 11 ni ia，則 ni iini ii xfaxaf 11 5. 車比雪夫不等式 若 1 2 1 2,nna a a b b b ，則 1 1 2 2 1 2 1 2n n n na b a b a b a a a b b bn n n 清北學堂集中培訓課程知識點梳理 北京清北學堂教育科技有限公司 第 8 頁 6. 絕對值不等式 a b a b a b 1 2 1 2nna a a a a a 不等式常用證明方法 1 比較法 ：依據實數的運算性質及大小順序之間的關系，通過兩個實數的差或商的符號（范圍）確定兩個數的大小關系的方法。基本解題步驟是：作差（商） 變形 判號（范圍） 定論。證題時常用到配方、因式分解、換元、乘方、恒等式、重要不等式、優化假設、放縮等變形技巧。 2 分析綜合法 ：所謂 “綜合 ”指由 “因 ”導 “果 ”，從已知條件出發，依據不等式的性質、函數的性質、重要不等式等逐步推進，證得所要證的不等式。所謂 “分析 ”指的是執 “果 ”索 “因 ”，從欲證不等式出發，層層推求使之成立的充分條件，直至已知事實為止。一般先用分析法分析證題思路，再用綜合法書寫證明過程。 3 重要不等式法： 主要有均值不等式、柯西不等式、排序不等式等。 4 換元法 ：適當引入新變量，通過代換簡化原有結構，實現某種變通，給證明的成功帶來新的轉機。具體地講，就是化超越式為代數式，化無理式為有理式，化分式為整式，化高次式為低次式等等 。比較常見的有三角代換、均值代換、增量代換、對稱代換、復數代換、局部代換、整體代換、比值代換、常量代換等。至于到底如何代換，因題而異。應用換元法時，要注意新變量的取值范圍，即代換的等價性。 5 放縮法 ：要證 AB（或 AB） , 可以先證明 AC（或 AC），再證明 CB（或 CB），由傳遞性得證。證明不等式的實質就是如何把不等式的一邊經過適當放縮得到另一邊。放縮法的常用技巧： 在恒等式中舍掉或添加一些項； 在分式中放大或縮小分子或分母； 應用函數的性質（如單調性、有界性等）進行放縮； 應用基本不等 式進行放縮。運用放縮法證明不等式時，要注意目標明確和放縮適度。 6 數學歸納法 ：運用數學歸納法證明與正整數有關的不等式。對于某些較弱的不等式，可以加強命題后再作歸納法證明。 7 構造法 ：針對要證的不等式的結構特點，展開類比、聯想，抓住知識間的橫向聯系，構造出數列、函數、圖形等輔助模型，通過轉化達到目的。 清北學堂集中培訓課程知識點梳理 北京清北學堂教育科技有限公司 第 9 頁 8 反證法 ：通過否定結論 ,導出矛盾 ,從而肯定結論 .一般用于證明否定性、唯一性、存在性命題，或用于直接證明比較困難的命題。 9 調整法： 在含有多個變元的不等式中，我們常將一個或幾個變元的值適當調整（增大或減小 ），使它們等于定值或其他變量，從而將原不等式轉化為新的更強的不等式，而新的不等式變元減少或更易證明。 不等式的若干技巧 無論用什么方法來證明不等式，都需要對數學表達式進行適當的變形 .這種變形往往要求具有很高的技巧，必須善于分析題目的特征，根據題設條件，綜合地利用添、拆、分解、組合、配方、變量代換、數形結合等方法 ,去發現問題的本質，找到突破口 . 1變形技巧 2引入參變量 3數形結合、構造 （ 1） 構造重要不等式的結構，再利用相關的重要不等式來證明不等式 . （ 2） 構造函數，利用函數性質來證明不等式 .特別注意好利用二次函數。 （ 3） 構造圖形，利用幾何知識來證明不等式 . 4遞推 5 “特殊 ”到 “一般 ”的轉化 6 “整體 ”與 “部分 ”合理巧妙轉化 利用不等式求最值 利用平均值不等式求函數的最值時，要特別注意 “正數、定值和相等 ”三個條件缺一不可，有時需要適當拼湊，使之符合這三個條件為了用好該不等式，首先要正確理解該不等式中的三個條件（三要素）：正（各項或各因式均為正值）、定（和或積為定值）、等（各項或各因式都能取得相等的值，即具備等號成立的條件），簡稱 “一正、二定、三相等 ”，這三條缺清北學堂集中培訓課程知識點梳理 北京清北學堂教育科技有限公司 第 10 頁 一不可，當然還要牢記結論：積定 和最小，和定 積最大。但是在具體問題中，往往所給條件并非 “標準 ”的正、定、等（或隱含于所給條件之中），所以還必須作適當地變形，通過湊、拆（拼）項、添項等技巧，對 “原始 ”條件進行調整、轉化，使其符合標準的正、定、等，以保證使用該不等式。 不等式的綜合應用 不等式的應用范圍十分廣泛，它始終貫串在整個中學數學之中諸如集合問題，方程 (組 )的解的討論，函數單調性的研究，函數定義域的確定，三角、數列、復數、立體幾何、解析幾何中的最大值、最小值問題，無一不與不等式有著密切的聯系，許多問題，最終都可歸結為不等式的求解或證明。這類問題大致可以分為兩類：一類是建立不等式、解不等式；另一類是建立函數式求最大值或最小值 函數 重點及難點 函數部分，單調性、周期性、常用初等函數的性質是該部分的重點；可導性及導數的應用、函數極值、函數不等式是該部分的難點。 知識點 1. 函數的基本要素及性質 定義域、值域、連續性、單調性、奇偶性、周期性、有界性、初等函數、復合函數、可導性、高階導數、極值點（以上為基本概念，學員可查閱高中數學教材學習） 偏導數：以二元函數為例，若以下極限存在，則記為 z 對 x 的偏導數，0( , ) ( , )l i mxz f x x y f x yxx 。同理0( , ) ( , )l imyz f x y y f x yyy 。 混合偏導數定理：如果 ( , )z f x y 的混合偏導數存在，則 22zzx y y x 清北學堂集中培訓課程知識點梳理 北京清北學堂教育科技有限公司 第 11 頁 （注 2 ()zzx y x y ） 凸性： ()y f x 在區間 I 上有定義，若 12(0 ,1), ,x x I ，有1 2 1 2( ( 1 ) ) ( ) ( 1 ) ( )f x x f x f x ，則稱 ()y f x 為區間 I 上凸函數。 若 ()y f x 的二階導數存在，則 ()y f x 為區間 I 上凸函數 , ( ) 0x I f x 2. 函數的值域（最值）的求法 配方法：如果所給的函數是二次函數或可化為二次函數的形式，一般采用配方法，但在求解時，要注意作為二次函數形式的自變量的取值范圍。 判別式法：將所給函數 y f x 看作是關于 x 的方程。若是關于 x 的一元二次方程則可利用判別式大于等于 0 來求 y 的取值范圍，但要注意取等號的問題。 換元法：將一個復雜的函數中某個式子當作整體，通過換元可化為我們熟知的表達式，這里要注意所換元的表達式的取值范圍。 利用函數單調性法：如果所給的函數是熟悉的已知函數的形式，則可利用函數的單調性來示值域，但要注意其單調區間。 反函數法：若某函數存在反函數，則可利用互為反函數兩個函數的定義域與值域互換，改求反函數的定義域。 利用均值不等式法。 構造法：通過構造相應圖形，數形結合求出最值。 3. 函數不等式 對于 定義域 ,ab 上 的 上 凸函數，若 11 ni ia，則 ni iini ii xfaxaf 11 利用函數的單調性證明不等式，如：求證 ( ) ( )f x g x ，可證 ( ) ( )f x g xee 配方法證明函數不等式：求證 22, , 3 3 3 0x y R x y x y x y 利用導函數及單調性證明：求證 0, 1xx e x 清北學堂集中培訓課程知識點梳理 北京清北學堂教育科技有限公司 第 12 頁 復數 重點及難點 復數部分，復數的四種表示方式、復數四則運算是該部分的重點；復數四則運算的幾何意義、復數模及其相關運算是該部分的難點。 知識點 1. 復數的四種表示方法 復數是能寫成以下形式的數： 2( , ) , 1z a b i a b R i 代數形式： ( , )z a bi a b R 幾何形式：復平面上的點 z 或由原點出發的向量 OZ 三角形式： ( c o s s i n ) , 0 , ,z r i r r R 且 指數形式： ( c o s s i n )