初一數學競賽講座(四)有理數的有關知識一、一、知識要點1、絕對值x的絕對值x的意義如下：x=00xxxx，如果，如果x是一個非負數，當且僅當x=0時，x=0絕對值的幾何意義是：一個數的絕對值表示這個數對應的數軸上的點到原點的距離；由此可得：ba表示數軸上a點到b點的距離。2、倒數1除以一個數(零除外)的商，叫做這個數的倒數。如果兩個數互為倒數，那么這兩個數的積等于1。3、相反數絕對值相同而符號相反的兩個數互為相反數。兩個互為相反數的數的和等于0。二、二、例題精講例1化簡6312xxx分析：由2x+1=0、x-3=0、x-6=0求出零點，然后用零點分段法將絕對值去掉，從而達到化簡的目的。解：由2x+1=0、x-3=0、x-6=0分別求得：x=-1/2，x=3，x=6當21x時，原式=-(2x+1)+(x-3)-(x-6)=-2x+2當321x時，原式=(2x+1)+(x-3)-(x-6)=2x+4當63x時，原式=(2x+1)-(x-3)-(x-6)=10當x6時，原式=(2x+1)-(x-3)+(x-6)=2x-2原式=時當，時當，時當，時當，6x2-2x6310342222121xxxxx評注：用零點分段法，通過零點分段將絕對值去掉，從而化簡式子，解決問題是解決含絕對值問題的基本方法。例2已知312351312xxxxx，求的最大值和最小值。(第六屆迎春01-3杯決賽試題)分析：先解不等式，求出x的范圍，然后利用絕對值的幾何意義來求最大值和最小值。解：解不等式2351312xxx得：117x11731xx的幾何意義是x到1的距離與x到-3的距離的差，從上圖中可以看出：當x-3時這差取得最大值4，因117x，則當117x時這差取得最小值1133.評注：1、本題是采用數形結合的思想，用絕對值的幾何意義來解題。2、本題求得x的范圍后，也可用零點分段法將31xx化簡，然后求出最大值和最小值。31xx=117322313431xxxxxxx，當時當，由上式可以看出：當x-3時取得最大值4，當117x時取得最小值1133例3解方程013.728111415926.3yyxx(第六屆華杯賽決賽初一試題)分析：兩個非負數的和是0，這兩個非負數必須都是0。解：由原方程得)2(013.72811)1(01415926.3yyxx由(1)得：1415926.3xx從而x=x-3.1415926或x=3.1415926-x，所以x=1.5707963由(2)得：13.72811yy從而yyy13.7811y13.72811或所以y=2001701或y=6001151于是，原方程的解是60011515707963.120017015707963.1yxyx評注：兩個非負數的和是0，這兩個非負數必須都是0是解題中常用的一個結論。本題中，求1415926.3xx中的x值也可以用絕對值的幾何意義來解，1415926.3xx表示x到原點與到3.1415926的距離相等，因而x是原點與點3.1415926連結線段的中點，即x=1.5707963例4有理數cba,均不為0，且.0cba設|,|bacacbcbax試求代數式xx99192000之值。(第11屆希望杯培訓題)分析：要求代數式xx99192000的值，必須求出x的值。根據x的特征和已知條件，分析a與b+c,b與a+c，c與a+b的關系，從而求出x的值。解：由cba,均不為0，知baaccb,均不為0.0cba).(),(),(bacacbcba即,1,1,1bacacbcba又cba,中不能全同號，故必一正二負或一負二正所以bacacbcba|,|,|中必有兩個同號，即其值為兩個1，一個1或兩個1，一個1,1|bacacbcba.1|bacacbcbax因此，20009919xx.19022000991例5已知a、b、c為實數，且514131accacbbcbaab，求cabcababc的值。(第8屆希望杯試題)分析：直接對已知條件式進行處理有點困難，根據已知條件式的結構特征，可以將它們兩邊取倒數。解：由已知條件可知a0，b0，c0，對已知三式取倒數得：511411311accbba，三式相加除以2得：6111cba因為6111cbaabccabcab，所以cabcababc=61例6求方程132xx的實數解的個數。(1991年祖沖之杯數學邀請賽試題)分析：1可以化成：32xx，于是32xx32xx由絕對值的性質：若ab0，則baba可得(x-2)(x-3)0從而求得x解：原方程可化為：32xx32xx則(x-2)(x-3)0，所以03020302xxxx或，所以2x3因此原方程有無數多個解。評注：本題很巧妙地將“1”代換成32xx，然后可利用絕對值的性質來解題。在解數學競賽題時，常常要用到“1”的代換。例7求關于x的方程1)a(0012ax的所有解的和。解：由原方程得ax12，ax120a1，ax12，即x-2=(1a),x=2(1a),從而，x1=3+a，x2=3-a，x3=1+a，x4=1-ax1+x2+x3+x4=8，即原方程所有解的和為8例8已知：的值，求，且1012422xxxaaxxx。分析：直接求值有困難，但我們發現將已知式和待求式倒過來能產生xx1，通過將xx1整體處理來求值。解：axxxaaxxx110122，且即aaaxxaxx1111111而22222224211111111aaaaxxxxxxxaaxxx2112242評注：本題通過將xx1整體處理來解決問題，整體處理思想是一種常用的數學思想。例9解方程組222222121212yyzxxyzzx(1984年江蘇省蘇州市初中數學競賽試題)解：觀察得，x=y=z=0為方程組的一組解。當xyz0時，將原方程組各方程兩邊取倒數得：)3(112)2(112)1(112222yzxyzx(1)+(2)+(3)得：2221113222yxzzyx01111113222111222222zyxzyxzyx0111111zyxx=y=z=1故原方程組的解為：111000zyxzyx或評注：本題在對方程組中的方程兩邊取倒數時，不能忘了x=y=z=0這組解。否則就會產生漏解。三、三、鞏固練習選擇題1、若的值是，則aaa12()A、1B、-1C、1或-1D、以上都不對2、方程132xx的解的個數是()(第四屆祖沖之杯數學邀請賽試題)A、0B、1C、2D、3E、多于3個3、下面有4個命題：存在并且只存在一個正整數和它的相反數相同。存在并且只存在一個有理數和它的相反數相同。存在并且只存在一個正整數和它的倒數相同。存在并且只存在一個有理數和它的倒數相同。其中正確的命題是：（）（A）和（B）和（C）和（D）和4、兩個質數的和是49，則這兩個質數的倒數和是()A、4994B、9449C、4586D、86455、設y=ax15+bx13+cx11-5(a、b、c為常數)，已知當x=7時，y=7，則x=-7時，y的值等于()A、-7B、-17C、17D、不確定6、若a、c、d是整數，b是正整數，且滿足a+b=c，b+c=d，c+d=a，則a+b+c+d的最大值是()A、-1B、0C、1D、-5填空題7、設a0，且x21,xxaa則=8、a、b是數軸上兩個點，且滿足ab。點x到a的距離是x到b的距離的2倍，則x=9、若236ma與互為相反數，則ma10、計算：10032113211321121111、若a是有理數，則|)|(|)(aaaa的最小值是.12、有理數cba,在數軸上的位置如圖所示，化簡._|1|1|ccabba解答題13、化簡：325xx14、已知200222110112baba，求15、若abc0，求ccbb