1數學論文的寫作序（我們要解決兩個問題，一是怎樣做出成果；二是做出了成果如何把它發表出來。）科學論文是科技信息交流和推廣的重要載體，它可以迅速快捷地反映最新的科研成果和動態。隨著科技的發展，科技論文的寫作更顯重要。數學論文不同于一般的科技論文，它一般不需要大量的實驗、照片、圖表，但更強調理論的嚴謹和邏輯的嚴密。另外，數學符號的繁雜更是特點之一，并且數學語言的正確使用并非一日之功。第一章概論數學科學的研究成果，是由數學論文反映出來的。即使高新科學技術，本質上也是一種數學技術。而數學論文的寫作卻是一個非常嚴謹的創作過程，怎樣熟練地掌握數學論文的寫作技法，創作出高水平的數學論文，是一個值得我們深入探索和研究的課題。第一節當代數學發展的趨勢經過20世紀的眾多數學家、科學家的努力，數學科學已經形成具有基礎數學、應用數學、計算數學和數學技術這幾大部門的科學體系。人們對“高新技術的基礎是應用科學，而應用科學的基礎是數學”這句話的含義有了新的認識。數學的對象、特點、方法、地位和作用，數學的認識觀、價值觀、真理觀，數學教育的目的、內容、方法、手段、體制和結構等，都隨著社會的演變，隨著生產力水平的提高和社會的進步而不斷發展、完善并日益現出本質特征，數學與其他科學并列叫數學科學。一、當代數學什么是數學？恩格斯說：“數學是研究現實中數量關系和空間形式的科學。”一百多年后的今天，應該把“數量”和“空間”作廣義的理解。數量不僅是實數，而是向量、張量，甚至是有代數結構的抽象集合中的元；而空間也不只是三維空間，還有n維、無窮維以及具有某種結構的抽象空間。這樣，恩格斯的名言，基本上包含了數學的主要內容。當然，還有的包含不進去，如數理邏輯等。1、數學的組成部分數學大體上可分為三大部分：基礎數學、應用數學和計算數學。基礎數學是數學中的核心，也是純粹、抽象的部分。它大致由三個分支：分析、代數和幾何組成。這三者相互交叉和滲透，從而產生解析幾何、解析數論、代數幾何等學科。另外，概率論、數理邏輯等也屬于基礎數學。應用數學是研究現實中具體的數學問題，它采用基礎數學的成果，同時2又反過來從實際中提煉問題，探討新思想、新方法，豐富了基礎數學。數學應用的領域雖無邊際，但大致可分為三個方面：經濟建設、科學技術、軍事與國防。運籌學、控制論、數理統計、經濟數學、生物數學等都屬于應用數學。計算數學偏重于計算。早期它致力于求出各種方程（代數方程、微分方程、積分方程等）的數值解。近40年以來，計算數學迅速發展，人們巳把計算機作為理論、實驗的科學方法引入科學界。（吳文俊的機器證明）當然，上述三部分中，有些學科還有子分支。基礎數學、應用數學、計算數學既有各自的特點，又相互聯系。一個重大的數學問題，特別是從實際中提出的數學問題，都需要上述三種數學的內容和方法，建立數學模型。尋求解題方法，需要基礎數學和應用數學，而使解題方法得以實現，則離不開計算數學。2、數學的新特點通常所說的數學特點是指內容的抽象性、應用的廣泛性、推理的嚴密性和結論的明確性。由于高新科學技術的發展，數學巳兼有科學與技術兩種性質，所以當代數學還具有新的特點，即數學內部各個分支間的相互滲透、數學與其它科學（如控制論）的相互滲透、電子計算機的計算。由于相互滲透、計算機的引入而導致許多新問題和古老難題的解決，促進了數學科學的發展。二、發展趨勢數學的貢獻在于對整個科學技術水平的推進與提高、對科技人才的培養、對促進經濟繁榮、對人們的創新思維、科學思維與文化素質教育等起著巨大作用，這是其它科學不能全面比擬的。今后數學的發展，會更迅速，成就更巨大。數學科學的子學科繁多，而且不斷有新學科的誕生，每一個新學科的發展前途也是難以預料的。因此，對非線性數學、計算數學、計算機數學、離數學的某些方面，以及數學物理、數學的其他邊緣學科、概率統計、數學建模等都有待于開拓研究。從目前情況看，線性數學比較成熟，非線性數學是重要的發展方向。引人注目的沖擊波、孤立子、混沌現象、n體問題等，都是非線性的，不僅涉及面廣，而且難度大。除了非線性數學外，離散數學（涉及數論、抽象代數、數理邏輯、組合論、圖論、博奕論、規劃論）、概率論與數理統計、計算數學以及數學對生物學、經濟學、語言學、管理學、控制論等的滲透和應用，都會有更大的發展。與此同時，全國哲學社會科學青年社會科學基金項目課題組撰寫的21世紀中國數學教育展望論述了：讓數學為大眾所掌握，所利用。我們深信，在數學專業改革、數學發展的過程中，從當代數學發展趨勢上看，也許會出現新的大冷門，為未來的世界服務。第二節數學論文的含義及類型3什么是數學論文？論文的特點、寫作意義及論文的類型、撰寫的要求等到問題在本節加以探討。一、數學論文寫作意義1、學論文的含義數學論文的含義可以說成：由數學內容構成的，以議論的方式表達自己的見解和說理的文章，稱為數學論文。數學論文是描述數學科學中的研究成果的文章。如在數學教育、數學教學中的研究和探討；在數學科研中探索數學規律，在數學應用中分析、論證等方面的文章，都是數學論文。2、數學論文的特點及要求數學論文屬于議論文范疇，它與一般的議論文相比較，既有共同點，又有不同點。其共同點，都是直截了當地提出作者的見解、主張，闡述事理，揭示事物的本質和規律；在表述見解、主張時，都是運用概念、判斷、推理的邏輯方法；它們的功能特征都是以理服人；它們的構成要素都有判斷和證明；它們的篇章結構一般是三段式：緒論本論結論。除了共同點以外，還有不同點，這些不同點，就構成了數學論文本身的特點。這主要是：（1）科學性數學論文的科學性主要是指作者通用科學的思想方法、科學的研究方法進行論述，并得出科學的結論。主要體現在：邏輯的嚴謹性數學論文應按照邏輯嚴謹性的要求去寫，不然就不成其數學論文了。一篇數學論文要無懈可擊，要經得起推敲。就是說，概念要清楚，判斷、立論、推理要正確，絕對不能含糊、更不能臆造。語言的簡潔性數學論文要求語言，以恰到好處的語言，準確地表達數學概念和邏輯推理；以簡明的語言表達出最精湛的數學結果，反映出豐富的數學內容。例如，在推的過程中，并不是每一步都要寫出理論根據。數學論文不是教科書，它是給同行看的，推理過程以同行看懂為原則，證明步驟不需寫得過細，允許有較大的跳躍。特別是常見的推理步驟、明顯的推理過程、顯然的理論根據，可以一筆帶過；常用的概念、定理注明出處，盡量少作解釋；不使用文學性的修飾和夸張性及含義模糊的語言。這樣才能更好地體現出論文的特點。（Lebesgue1903年的一篇論文充實成了實變函數這門課程，斯普林格出版的許多教科書都是一些難讀的數學論文充實成的，）在數學論文中，廣泛地使用數學符號組成的式子，形成了一套數學符號系統，它與自然語（漢語敘述）一樣承擔著儲存和傳遞數學信息的職能。使用數學符號時必須規范、準確，國內外通用，不能臆造，否則就違背了論文的科學性。（2）創見性創見性是衡量數學論文價值大小和水平高低的主要標準。因為科研的意4義就在于創造、發明、創新。這就要求作者具有自己獨立見解，善于發現新問題、新規律、新方法。主要體現在：開拓未知領域（一般屬專題研究）具有創造性的數學論文，它要求作者在某個領域、某個方向或某個專門技術上有明顯的突破性的研究，從中發現別人沒有發現或沒有涉及的問題，取得了創造性的成果。確立的課題新（一般屬交叉學科，小交叉在學科內部，大交叉跨學科。）具有創見性的數學論文是指作者利用己有的理論和方法解決了新的問題，取得新的研究成果；或將其它學科理論、方法引入本學科，解決了本學科中有價值的問題；或從不同角度上揭示出某種新規律、新方法。（3）實用性數學論文是數學工作者深入研究的結晶，不僅具有一定的學術水平，還具有理論上的價值和實用上的價值。高水平的數學論文既豐富了數學科學的理論，又能解決高新科學技術的問題，轉化為社會生產力。數學論文的實用性還在于理論上的價值，能夠指導實踐，使廣大數學工作者進一步認識數學教育、數學教學的本質、把握其規律、為進一步提高教學質量起到“引導”、“幫助”、“提供”的作用。3、撰寫數學論文的意義國內外對數學論文寫作十分重視，把論文寫作作為“信息傳遞”的基礎科學，列為大學必修課。其意義是不言而喻的，主要體現在以下幾個方面：（1）交流、傳播科研成果早在1950年，美國就開始在理工大學里開設科學技術寫作課，并設立了博士、碩士學位，寫學位論文；近期美國社會學家約翰奈斯比特在大趨勢一書中，論及工業社會向信息社會過渡時指出：有五種最重要的事情應該牢記，其中之一就是“在文字密集的社會里，我們比以往更需要具備基本的讀寫技巧”；日本的一個研究生院院長在著作中寫到：經過調查，許多理工科畢業生認為，對他們最有用的且需要加強的課程中有“寫作”。我國也越來越重視理工科畢業生的畢業設計、畢業論文寫作、學位論文寫作，要求他們是文理兼優的“通才”。高新技術的本質是數學技術，它是由數學論文反映出來的。通過論文的交流、傳播，能反映出一個國家、一所學校的“水平”。（2）提高數學工作者自身素質和能力數學論文的寫作，對于數學工作者是必須具備的最基本的能力之一，它是構成數學教育、數學教學和科研工作者合理的智能結構的必要條件。中國科學院前院長盧嘉錫曾說過：“一個只會創造不會表達的人，不能算一個合格的科學工作者。”因此，作為數學工作者，應該把撰寫數學論文視為必備的科研能力。在撰寫數學論文的過程中，會使自己不斷提高教學和科研能力。（做科研的標志就是看寫沒寫出論文，科研成果可豐富教學內容，同時以科研探索的觀點從事5教學與一味地以傳授知識的觀點從事教學，對學生的素質培養效果大不一樣，例如把數分看成是基礎理論，后面看成是應用）（3）培養教學、科研人才數學工作者高水平的數學論文，在國內外引起人們的關注，解決了高新技術問題，為國爭光，對指導、培養年輕一代發揮了巨大作用。我國教育界不少工作在第一線的教師之所以能在全省或全國具有很高的知名度，這不但與他們積極從事教育有強烈的事業心相關，也與他們發表的數學論文，取得的科研成果有一定關系。也可以這樣說，他們結合教學、科研不斷探索、創作，滲透著自己的心血，是自我培養、自我提高的過程，他們刻苦創作的精神，教育、激勵著年輕一代，他們的論文豐富了基礎數學內容，為提高教學質量，提高科研水平，培養人才做出貢獻。（4）為職務晉升創造條件在有關職稱評定、職務晉升的文件中，明確規定了發表論文的數量和刊物級別，即科研成果是晉升的重要依據之一。所以撰寫數學論文應該是每一位數學工作者必須具備的一項基本功。（當今世界的競爭實質上是高科技的競爭，而高科技的競爭是高新人才的競爭，高新人才的競爭實質是創新思維的競爭，數學論文是數學人才的創新思維的記錄，也是創新思維的訓練）二、數學論文的類型數學論文的范圍是廣泛的。從發表形式上看，數學論文可以分為兩大類：一類是內部交流的論文，一類是刊物上公開發表的論文。公開發表的數學論文，按論文的內容、水平、價值、創作新意等因素進行分類，可以分為以下幾種類型：數學教學研究論文；數學思想方法論文；數學應用論文；數學專題研究論文；數學學位論文；研究簡報。第三節數學論文創作的思考方法數學論文的創作必須做到兩點：第一要認真的搜集整理資料，積累知識，了解他人在該領域己有哪些發現、哪些成果，當前巳研究到了何等程度；第二是要積極思考，根據自己研究的內容，在前人巳有的觀點中接受啟發，靈活地運用科學的思維方法進行創造性的思考，以實現新的創造。（創作的過程就是科研的過程）一、資料的搜集整理材料是構成文章的基本要素之一，是論文創作的前提和基礎，俗話說，“巧婦難為無米之炊”，沒有材料，就寫不成文章。數學文獻資料是人們從事數學教育和數學研究，從事生產斗爭和科學實驗所積累的智慧的結晶。善于搜集資料是撰寫論文必備的基本能力之一。（首先要解決的是搜集哪些資料，再是如何搜集，前者就是要確定科研方向，這是非常重要的，沒有科研方向或是科研方向選得不對是做不出好的成果的，揚振林先生曾有過專門的論述，而科研方向的選定大多數是靠導師）61、資料的搜集（圍繞自己的科研方向）作者應平時留心各種文獻資料，建立自己的資料庫。資料是多種多樣的，諸如：教科書、教學參考書、數學分支論著、數學刊物、大學學報、學術會議論文集、數學專業手冊等。自備資料是有限的，還要充分利用圖書館的藏書。要經常翻閱圖書及期刊，它可以幫助你了解國內外數學教育、數學研究動態，獲得新的信息例如，學術界公認的定論性的學術觀點及尚未定論的學術觀點，這類材料可以從專著、辭典、文摘、教科書、學報中查找。通過查閱文獻資料，可以獲得前人積累的知識以及成功的經驗和失敗的教訓，作為自己研究的依據，獲得創作線索和靈感。概念性材料，即定義、公式、定理、術語、數據、圖表等，可以從綜述性文章、辭典、專業手冊中查找。在搜集資料、學習資料的過程中獲得創作啟迪。有的同志不善于搜集資料，除了課本，兩手空空，教了一輩子書，雖說教書有經驗，但很少發表論文。一般來說，博士生的學位論文，要在某個學科或某個專題項目有重要的突破，有創造，要參考幾十種，甚至上百種資料，屬于自己突破的東西僅占10左右。可見，占有大量資料確實是創作的前提和基礎。2、資料的閱讀有了資料，還要刻苦研讀，才能讀出新意，讀出成績，才能為己手所用。中國自然辯證法研究會副理事長、知名哲學家李慶臻教授還強調：讀書科學地讀，在讀中用，在用中讀，用要在創造中用。對于學術價值高、難度大的書和文章，先“正讀”，盡量從正面領會，盡量吸收，繼而“反讀”，適當從反面理解，大膽揚棄。然后“全讀”棄其糟粕，吸其精華，營養自己，發展自己。要拜人為師，也要拜書為師。拜人為師，目的解惑；拜書為師，目的也是解惑。首先弄明白問題是什么，然后去尋找解答問題的鑰匙，不斷積累知識，尋找方法，知識積累到一定程度，難開的鎖也就打開了。讀書時，要精研細讀，一方面深鉆其理，另一方面細察其實，即不僅要弄清其內容實質，同時也還要研究其論證手段、論證方法。從多方面吸取營養，提高自己對問題的認識能力和表達能力。讀書時，要善于發現問題、提出問題，認真探索、研究，不放過每一個思維的火花。（如在教學中我寫出了不少教學論文）3、資料的整理通過搜集、閱讀、記錄，所得的資料結合教學、科研的實際，對資料進行綜合分析、比較、鑒別，作統一整理，為寫作時使用和參考提供方便。事實上，隨著對資料進行概括、分析、整理，進行開拓性、創造性的思考，所要寫的東西也就孕育產生了。二、創造性的思維7創造性思維是人類高級的思維活動。它不僅能揭露事物的本質及內在聯系，而且可以產生出新穎、獨特的思想和成果。在數學論文創作過程中，直接依賴于數學思維能力的提高，借助靈感思維來實現。1、數學概括數學概括是指在思想上把具有相同的本質特性的事物聯系起來，把被研究對象的本質特性推廣為范圍更廣的包含這個對象的同類事物的本質特性。數學概括，可分為完全性概括和非完全性概括，前者起到“整理”作用；而后者是由特殊到一般和未知的概括，具有產生新的認識作用，具有創造性因素。要寫出好的文章，作者應具備形成數學概括能力和形成數學通則、通法的概括能力。（如定理的形成，各數學分支的產生）形成數學通則、通法的概括，即在思維活動中，依據實踐材料和背景知識，對事物的屬性進行分析，抽象出本質屬性并上升為概念。形成數學通則、通法的概括，即在思維活動中，注意教學科研中數學知識的運用規律，對其中的一些普通的準則、方法進行總結、提煉，形成數學通則和通法2、數學抽象數學的特點之一，就是內容的抽象性。（從實數的絕對值抽象出了點集拓撲，從實數的代數運算抽象出了群、環、域）根據某問題的特點，對某一數學對象進行屬性、特性的抽象，具有這種能力稱為發現屬性能力；對資料系統進行各種關系的抽象，具有這種能力稱為發現關系的能力；對兩類不同材料中的共性進行抽象，具有這種能力稱為發現相似性能力。要寫出好文章，作者應具備上述抽象能力，掌握由具體到抽象，再由抽象到具體的思維辯證方法。3、數學推理推理就是根據判斷間的關系，以一個或幾個巳有的判斷，作出一個新的判斷的思維形式。一般分為兩類：一類是推理的前提與結論之間有必然性聯系的推理，即當前提為真時，結論必為真的推理，稱為演繹推理；另一類是前提與結論之間有或然性聯系的推理，即當前提為真時，結論只有或然為真的推理，稱為歸納推理。簡言之，演繹是從一般到特殊的方法；歸納是特殊到一般的方法。即由資料，經過歸納產生出某個結論的方法。在思維活動中，歸納以演繹為前導，演繹以歸納為基礎，相互為前提，相互促進。4、數學化歸數學化緊就是將待解決或未解決的問題，通過轉化歸結為一個已經能解決的問題；或歸結為一個巳知的，具有既定解決方法和程序的問題，求得原問題解決的思想方法。8結合教學、科研，思維的過程框圖如下數學材料抽象-數學模式意義-數學問題識別模式-解由此可見，要寫出好文章，作者應具備數學化歸能力，即數學轉化能力、識別模式能力、數學變式能力，從而達到問題的解決。5、發散思維與收斂思維發散思維是一種取得合理設想或猜想的思維形式，它包括聯想、想象、模擬、類推和直觀推理。簡言之，發散思維是抓到一個問題或圍繞一個中心，以聯想思維的方法，盡可能廣泛地從頭腦中探索與其它相關的問題。發散思維是一種開拓性、創新型的思維。其思維靈敏迅速，能在短時間內考慮較多的概念，能隨機應變、觸類旁通，能從新的角度、以新觀點去認識問題、反映問題，對問題表現出超常的獨特見解。收斂思維是在發散思維之后，把聯想思維得到的許多思想加以集中、收集，在它們彼此的相互作用中“創造”出一個新的、合理的邏輯思維。數學創造性思維的過程，即邏輯思維與非邏輯思維的統一，發散思維與收斂思維的統一，在這樣的交互作用下，在創造性思維的前期，為了盡可能獲得各種設想，需要進行發散思維，這時需要掌握較多的思維方式與構造技法；而在創造思維的后期，由于設想巳出現，就需要進行收斂思維加以篩選與驗證。著名數學家徐利治教授指出：數學上的新思想、新概念、新方法往往來源于發散思維，而繼之以嚴格的邏輯思維，即收斂思維。他概括出創造能力公式：創造能力=知識量發散思維能力由此可見，知識量越大，則聯想、類比、想象的空間就越廣，從而撰寫的數學論文就越富有創造性。（從函數的值域進行分割就產生了Lebesgue積分，而它的成功關鍵在把長度推廣到一般點集去