8.4 線性多步法,8.4.2 基于Taylor展開的方法,8.4.2 基于Taylor展開的方法,8.4.1 基于數值積分的方法,8.4 線性多步法,常微分方程初值問題（8.1.1）的數值解法中，除了Runge-Kutta型公式等單步法之外，還有另一種類型的解法，即某一步的公式不僅與前一步解的值有關，而且與前若干步解的值有關，利用前面多步的信息預測下一步的值，這就是多步法的基本思想，可以期望獲得較高的精度。構造多步法有多種途徑，下面先討論基于數值積分的方法。,8.4.1 基于數值積分的方法,如推導Newton-Cotes求積公式一樣，用等距節點的插值多項式來替代被積函 數，再對插值多項式積分，這樣就得到一系列求積公式。 例如，用梯形方法計算積分項,代入（8.4.1）式有,據此即可導出公式（8.1.4）。 一般地，設由 個數據點 構造插值多項式 ，這里， 。運用插值 公式有,將（8.4.1）離散化即得下列計算公式,（8.4.2）,其中,由此可得（8.4.2）中的系數，其具體數值見表8-6。公式（8.4.2）是一個r+1 步的顯式公式，稱為Adams顯式公式。r=0時，即為Euler公式。,應用實例： 考慮跳傘員的下落速度。 自由落體運動可用牛頓第二定律描述：F=ma。實驗表明，空氣阻力模型 為 ，其中 ，比例系數 k 依賴于物體的大小、形狀，空氣 的密度和粘度。跳傘員下落的速度可描述為下列模型：,負號表示下降。顯然，當 1 p 2 時，適合于數值方法求解。 設 k / m =1.5，g=32，先用中點法提供開始值，再用下列兩步而階方法,求其他需要計算的值。當 p=1 時，取 h=0.2 有,可見，三秒末跳傘員的末速度約有 21 。 若將模型修改為 p=1.1，取 h=0.2，則有計算結果：,可見三秒末跳傘員的末速度減慢了。計算結果如下圖所示,+ 表示 p=1時的解，* 表示 p=1.1時的解,在上述Adams顯式公式的推導中，選用了 作為插值 節點。這樣的插值多項式 在求積區間 上逼近 是一 個外推結果。為了改善逼近效果，我們變外推為內推，即改用 為插值節點，用數據點 構造插值 多項式 ，則有,于是我們有如下的計算公式,（8.4.3）,其中,其具體數值見表 8-7。公式（8.4.3）是隱式公式，稱為 Adams隱式公式。 r=0，1時分別為隱式 Euler公式和梯形公式。,對于隱式公式（8.4.3），需要用迭代求解。確定 的迭代公式為,迭代收斂條件為 ，其中 的Lipschitz常數 利用插值多項式的余項，可以求出 Adams方法的局部截斷誤差。當然 也可以從得到的顯式和隱式 Adama公式，有局部截斷誤差的定義來求出方 法的局部截斷誤差。表 8-8中列出了它們的局部截斷誤差的主項，有表 8-8 可以看出，Adams隱式方法的局部截斷誤差要小。,8.4.2 基于Taylor展開的方法,當 時，則（8.4.4）為顯式多步式。當 時，（8.4.4）為隱式多 步式。它們的局部截斷誤差為,現利用Taylor展開定理，確定線性多步公式（8.4.4）中的待定參數 ， 使她達到 階精度，即 。 對（8.4.5）式的右端各項在 點處作Taylor展開有,將它們代入（8.4.5）式整理后得,而且得到線性多步法的局部截斷誤差,由于 r=3，p=4 ，由（8.4.6）得到5個方程，而（8.4.7）中有9個為知量， 因此，（8.4.7）中有4個自由度。 若取 ，由（8.4.6）式得到其他5個待定參數的 方程組，解之得,若 取 ，由（8.4.6）式得到其他5個待定參數的 方程組，解之得,由此構造成著名的四步四階顯式Milne公式和它的余項,若取 ，求解（8.4.6）得著名的三步四階隱式 Hamming公式及其余項：,若取 ，求解（8.4.6）得到隱式Simpson公式及其 余項：,例8.5 分別取 h=0.2，2，用四階顯式 Milne公式和四階隱式 Hamming公式 求解例8.4所給的初值問題。 解 我們用單步法提供多步法的初值。由4階經典R-K公式為Milne公式提 供初值 ，為 Hamming公式提供 。h=0.2和h=2時的 計算結果及準確解之間的誤差分別列于表8-9和表8-10。 從表8-9看出，兩種多步法的計算精度都很高，Hamming公式化比 Milne公 式更精確。這是因為 Hamming公式的截斷誤差主項的系數比 Milne公式小。從 表8-10看到，當計算步長變大后，顯式多步法 Milne公式的計算結果誤差增大， 不穩定，而隱式多步法 Hamming公式的計算結果仍然是穩定的，這說明隱式公 式的穩定性比同階的顯式公式好。,表8-9,表 8-10,經典R-K法和上述四階線性多步法公式都是四階精度，但每前進一步，前 者要計算4次微分方程右端方程，而后者只要計算一次新的右端函數值，計算 量減小了。,8.4.3 預估-校正算法 顯式多步法容易計算，但其精度和穩定性沒有相應的隱式方法好。然而， 隱式多步法需解方程，如果初值選得不當，則計算量較大。因此，設法選取好 的迭代初值是必要的。初值的自然選取是采用同階顯式多步法計算得到的解作 為隱式方法迭代的初值。這樣，迭代次數不會多。若只迭代一次，則這樣的算 法就是預估-校正算法。對于線性多步法，常用的預估校正方法有四階 Admas 顯隱式預估-校公式和 Milne-Hamming 方法。,1.Adams 預估-校正公式 由（8.4.9）式作為預估公式，由（8.4.13）式作為校正公式，構成 Adams 預估- 校正公式：,若需作進一步的修正，則記上式所得的 ，由（8.4.10）和 （8.4.14）式有,于是得到,由此可見，若記,則 分別比 更好。但注意到， 的表達式中， 是未知的，因此改為,在計算時，可調節計算步長 h ，使 ，其中 是 要求達到的計算精度。初值 由同階單步法提供，當計算 時， 可取 。,2. 修正Hamming公式 將 Milne 公式（8.4.11）和 Hamming 公式（8.4.15）結合，構成 Milne- Hamming 預估-校正公式：,若需作進一步的修正，則記上式所得的 ，由（8.4.12）和（8.4.16） 有,從而構成如下的修正 Hamming 公式：,在計算時，可調節計算步長 h ，使 。初值 由同階單步法提供，當計算 時，可取 。,例8.6 取 h=0.2，用 Milne-Hamming 預估-校正公式和修正 Hamming 公 式求解例8.4所給的初值問題。 解 用經典 R-K