第一講 坐標系與參數方程(選修44)考情分析坐標系與參數方程是高考的選考內容之一，高考考查的重點主要有兩個方面：一是簡單曲線的極坐標方程；二是參數方程、極坐標方程與曲線的綜合應用，由于本部分在高考中考查的知識點較為穩定，在備考時應重點關注極坐標系中直線的方程，或者求解極坐標系中曲線的某個特征值，及已知直線和圓的參數方程判斷直線和圓的位置關系，求最值問題等本部分內容在備考中應注意轉化思想的應用，抓住知識，少做難題.年份卷別考查角度及命題位置2017卷直線與橢圓的參數方程及應用T22卷極坐標方程及應用T22卷參數方程與極坐標方程的應用T222016卷參數方程與普通方程的互化、極坐標方程與直角坐標方程的互化及應用T23卷極坐標方程與直角坐標方程互化及應用、直線與圓的位置關系T23卷參數方程、極坐標方程及點到直線的距離、三角函數的最值T232015卷極坐標與直角坐標的互化以及極坐標方程的應用T23卷參數方程和普通方程的互化、三角函數的性質T23真題自檢1(2017高考全國卷)在直角坐標系xOy中，以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C1的極坐標方程為cos 4.(1)M為曲線C1上的動點，點P在線段OM上，且滿足|OM|OP|16，求點P的軌跡C2的直角坐標方程；(2)設點A的極坐標為(2，)，點B在曲線C2上，求OAB面積的最大值解：(1)設P的極坐標為(，)(0)，M的極坐標為(1，)(10)由題設知|OP|，|OM|1.由|OM|OP|16得C2的極坐標方程4cos (0)因此C2的直角坐標方程為(x2)2y24(x0)(2)設點B的極坐標為(B，)(B0)由題設知|OA|2，B4cos ，于是OAB面積S|OA|BsinAOB4cos |sin()|2|sin(2)|2.當時，S取得最大值2.所以OAB面積的最大值為2.2(2016高考全國卷)在直角坐標系xOy中，曲線C1的參數方程為(t為參數，a0)在以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸的極坐標系中，曲線C2：4cos .(1)說明C1是哪一種曲線，并將C1的方程化為極坐標方程；(2)直線C3的極坐標方程為0，其中 0滿足tan 02，若曲線C1與C2的公共點都在C3上，求a.解析：(1)消去參數t得到C1的普通方程為x2(y1)2a2，則C1是以(0,1)為圓心，a為半徑的圓將xcos ，ysin 代入C1的普通方程中，得到C1的極坐標方程為22sin 1a20.(2)曲線C1，C2的公共點的極坐標滿足方程組若0，由方程組得16 cos28sin cos 1a20，由已知tan 2，可得16cos28sin cos 0，從而1a20，解得a1(舍去)或a1.當a1時，極點也為C1，C2的公共點，且在C3上所以a1.3(2016高考全國卷)在直角坐標系xOy中，曲線C1的參數方程為(為參數)以坐標原點為極點，以x軸的正半軸為極軸，建立極坐標系，曲線C2的極坐標方程為sin2.(1)寫出C1的普通方程和C2的直角坐標方程；(2)設點P在C1上，點Q在C2上，求|PQ|的最小值及此時P的直角坐標解析：(1)C1的普通方程為y21，C2的直角坐標方程為xy40.(2)由題意，可設點P的直角坐標為(cos ，sin )因為C2是直線，所以|PQ|的最小值即為P到C2的距離d()的最小值，d()，當且僅當2k(kZ)時，d()取得最小值，最小值為，此時P的直角坐標為.簡單曲線的極坐標方程及應用方法結論1圓的極坐標方程若圓心為M(0，0)，半徑為r，則圓的方程為：220cos(0)r20.幾個特殊位置的圓的極坐標方程：(1)當圓心位于極點，半徑為r：r；(2)當圓心位于M(a,0)，半徑為a：2acos ；(3)當圓心位于M，半徑為a：2asin .2直線的極坐標方程若直線過點M(0，0)，且極軸與此直線所成的角為，則它的方程為：sin()0sin(0)幾個特殊位置的直線的極坐標方程：(1)直線過極點：0和0；(2)直線過點M(a,0)且垂直于極軸：cos a；(3)直線過M且平行于極軸：sin b.3極坐標與直角坐標的互化方法點M直角坐標(x，y)極坐標(，)互化公式題組突破1(2017太原模擬)在直角坐標系xOy中，以O為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系曲線C的極坐標方程為cos1，M，N分別為C與x軸，y軸的交點(1)寫出C的直角坐標方程，并求M，N的極坐標；(2)設MN的中點為P，求直線OP的極坐標方程解析：(1)由cos1，得1.因為所以C的直角坐標方程為xy1，即xy2.當0時，2，所以M(2,0)當時，所以N.(2)由(1)可知M點的直角坐標為(2,0)，N點的直角坐標為.所以P點的直角坐標為，則P點的極坐標為.所以直線OP的極坐標方程為，(，)2(2017西安模擬)已知曲線C：，直線l：(cos sin )12.(1)求直線l和曲線C的直角坐標方程；(2)設點P在曲線C上，求到直線l的距離最小的點P的坐標解析：(1)由，得82sin2227,8y2x2y227，即1.由(cos sin )12，得cos sin 120，即xy120.(2)設點P(3cos ，sin )，點P到直線l的距離d3，若點P到直線l的距離最小，則，此時點P.誤區警示1極坐標方程與直角坐標方程互化時注意等價性2在極坐標系中，若極角R，則任一點的極坐標不唯一參數方程方法結論幾種常見曲線的參數方程(1)圓以O(a，b)為圓心，r為半徑的圓的參數方程是其中是參數當圓心在(0,0)時，方程為其中是參數(2)橢圓橢圓1(ab0)的參數方程是其中是參數橢圓1(ab0)的參數方程是其中是參數(3)直線經過點P0(x0，y0)，傾斜角為的直線的參數方程是其中t是參數題組突破1(2016高考全國卷)在直角坐標系xOy中，圓C的方程為(x6)2y225.(1)以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，求C的極坐標方程；(2)直線l的參數方程是(t為參數)，l與C交于A，B兩點，|AB|，求l的斜率解析：(1)由xcos ，ysin 可得圓C的極坐標方程為212cos 110.(2)由直線l的參數方程(t為參數)，消去參數得yxtan .設直線l的斜率為k，則直線l的方程為kxy0.由圓C的方程(x6)2y225知，圓心坐標為(6,0)，半徑為5.又|AB|，由垂徑定理及點到直線的距離公式得，即，整理得k2，解得k，即l的斜率為.2(2017惠州模擬)已知曲線C的極坐標方程是4cos .以極點為平面直角坐標系的原點，極軸為x軸的正半軸，建立平面直角坐標系，直線l的參數方程是(t為參數)(1)將曲線C的極坐標方程化為直角坐標方程；(2)若直線l與曲線C相交于A，B兩點，且|AB|，求直線l的傾斜角的值解析：(1)由4cos 得24cos .x2y22，xcos ，ysin ，曲線C的直角坐標方程為x2y24x0，即(x2)2y24.(2)將代入曲線C的方程得(tcos 1)2(tsin )24，化簡得t22tcos 30.設A，B兩點對應的參數分別為t1，t2，則.|AB|t1t2|，4cos22，cos ，或.誤區警示對于直線l的參數方程(t為參數)易忽視只有滿足a2b21時t才有幾何意義極坐標方程與參數方程的綜合應用典例(2017貴陽模擬)在直角坐標系xOy中，曲線C1的參數方程為(其中t為參數)，以坐標原點O為極點，x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，曲線C2的極坐標方程為2sin .(1)求曲線C1的普通方程和C2的直角坐標方程；(2)若A，B分別為曲線C1，C2上的動點，求當AB取最小值時AOB的面積解析：(1)由得C1的普通方程為(x4)2(y5)29，由2sin 得22sin ，將x2y22，ysin 代入上式得C2的直角坐標方程為x2(y1)21.(2)如圖，當A，B，C1，C2四點共線，且A，B在線段C1C2上時，|AB|取得最小值，由(1)得C1(4,5)，C2(0,1)，kC1C21，則直線C1C2的方程為xy10，點O到直線C1C2的距離d，又|AB|C1C2|13444，SAOBd|AB|(44)2.類題通法化參數方程為普通方程的基本思路是消去參數，常用的消參方法有代入消參法、加減消參法、恒等式(三角的或代數的)消參法；極坐標方程與直角坐標方程的互化主要是用好“公式”一般與極坐標方程和參數方程有關的問題多采用化為直角坐標方程的方法，結合圖形，合理轉化，加以求解演練沖關(2017沈陽模擬)在直角坐標系xOy中，直線l：yx，圓C：(為參數)，以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐