山東輕工業學院2011屆本科生畢業論文0摘要.1第一章微元法理論.11.1選題意義及微元法的產生背景.11.2微元法理論簡介.21.2.1預備知識-定積分的定義.21.2.2微元法的引入.31.2.3微元法的實質及解題步驟.4第二章微元法的應用.52.1微元法在幾何中的應用.52.1.1微元法證明一類積分學公式.52.1.2微元法在幾何學中的具體應用.82.2微元法在物理學中的應用.132.2.1概述微元法在物理中的應用.132.2.2微元法在大學物理中的應用.13山東輕工業學院2011屆本科生畢業論文1摘要微元法是處理微積分問題的重要方法,微元法的使用使原本復雜的積分問題變得容易處理。本文將給出微元法的原理、使用方法及使用條件，使對微元法有更深刻的認識,然后介紹微元法在幾何學、物理上的應用，解決一些具體的實際問題，并研究如何使用微元法更加簡單、高效。關鍵詞：微元法微元法幾何應用物理應用ABSTRACTMicro-elementmethodisanimportanttreatmentmethodforcalculusproblems.TheuseofMicroelementmethodmakeoriginallycomplexintegralproblembecomeseasytodealwith.Thispaperwillgivetheprincipleofmicro-elementmethod,theuseofmethodsandconditionsofuseofmicro-elementmethodtogainadeeperunderstanding.Thenintroduceapplicationsofmicroelementmethodingeometryandphysicstosolvespecificpracticalproblemsandlearnhowtousemicro-elementmethodismoresimpleandefficient.Keywords:micro-elementmethod；micro-element；geometricapplications；physicsapplication；第一章微元法理論1.1選題意義及微元法的產生背景數學的思想、精神、文化對于人類歷史文化變革有著重要的影響。數學文化價值的研究有利于促進社會的發展,有利于加強對自然科學的認識，有利于提高山東輕工業學院2011屆本科生畢業論文2素質教育水平。數學：打開科學大門的鑰匙，科學史表明，一些劃時代的科學理論成就的出現，無一不借助于數學的力量。早在古代，希臘的畢達哥拉斯（Pythagoras）學派就把數看作萬物之本源。享有“近代自然科學之父”尊稱的伽利略（G.Galileo）認為，展現在我們眼前的宇宙像一本用數學語言寫成的大書，如不掌握數學的符號語言，就像在黑暗的迷宮里游蕩，什么也認識不清。沒有數學就沒有自然科學的發展；沒有數學就沒有現代科學技術的發展；沒有數學，哲學就會失去支撐，人類就會處于原始生活狀態。因此，沒有數學，人類將無法實現全面發展，素質教育也將面臨極大挑戰，數學文化價值的研究將有利于全面提高個人整體素質。由于函數概念的產生和運用的加深，也由于科學技術發展的需要，一門新的數學分支就繼解析幾何之后產生了，這就是微積分學。微積分學是微分學和積分學的統稱，微積分是與應用聯系發展起來的，它是數學的一個重要的分支，其應用與發展已廣泛的滲透到了物理學，化學，經濟學等各個自然科學之中，是我們學習各門學科的重要工具。它的創立，被譽為“人類精神的最高勝利”。在數學史上，它的發展為現代數學做出了不朽的功績。恩格斯曾經指出：微積分是變量數學最重要的部分，是數學的一個重要的分支，它實現帶科學技術以及自然科學的各個分支中被廣泛應用的最重要的數學工具。凡是復雜圖形的研究，化學反映過程的分析，物理方面的應用，以及彈道氣象的計算，人造衛星軌跡的計算，運動狀態的分析等等，都要用得到，微積分學這門學科在數學發展中的地位是舉足輕重的，可以說它是繼歐式幾何后，全部數學中最大的一個創造。微積分學的應用幫助社會學、心理學、商學和經濟學等許多領域取得巨大的進步,這其中最重要的事情就是微元分析法幫助我們建立了各種紛繁復雜的實際問題的數學模型。微元法是伴隨著微積分的產生而產生的，隨著對微積分研究的不斷深入，微元法在積分學中的地位越來越重要,微元法的使用使原本復雜的微積分問題變得容易處理，微元法的應用十分廣泛，幾何圖形的體積，表面積，弧長；物理中做功，流體，電場問題都可用微元法處理。1.2微元法理論簡介1.2.1預備知識-定積分的定義應用定積分解決實際問題時，通常并不是通過定積分定義中的四步曲“分割，取近似，求和，取極限”得到定積分表達式的，而是利用步驟更簡單的微元法（又稱元素法）得到定積分表達式微元法思想是微積分的主要思想，它在處理各類積分的應用問題中是一脈相通的，也是學好各類積分的理論依據，微元法理論是通過定積分的定義演化而來的要想深刻理解微元法需要先了解定積分的定義設函數()fx在,ab上有界，若,ab對任意分法012.naxxxxb，令山東輕工業學院2011屆本科生畢業論文31iiixxx，任取1,iiixx，只要1max0iinx時，1()niiifx趨于確定的值I,則稱此極限值I為函數()fx在區間,ab上的定積分,記作()bafxdx，即01()lim()bniiiafxdxfx，此時稱()fx在,ab上可積。計算曲邊梯形面積的具體步驟：1）分割在區間,ab中任意插入1n個分點，012.naxxxxb，用直線ixx將曲邊梯形分成n個小曲邊梯形；2）局部近似在第i個窄曲邊梯形上任取1,iiixx，作以1,iixx為底，以()if為高的窄矩形,并以此窄矩形面積近似代替相應窄曲邊梯形面積iA，得()iiiAfx1(,1,2.)iiixxxin。3）求和11()nniiiiiAxfxxabyO1xix1ix4）取極限令1maxiinx，則有01lim()niiiAfx1.2.2微元法的引入我們從計算曲邊梯形面積等問題來導出定積分概念時,是通過“分割、近似代替、求和、取極限”這樣四個步驟把所求量（曲邊梯形面積等表示為一個定積分,從而求出其值的因為能用定積分表示和計算的實際問題非常廣泛,所以我們希望簡化上述求值過程的四個步驟,而得出一種簡便、實用、迅速、有效的方法和模式。定積分是分布在區間上的整體量因為整體是由局部組成的，所以將實際問題山東輕工業學院2011屆本科生畢業論文4抽象為定積分必須從整體著眼，從局部入手具體做法是：首先將區間上的整體量化成區間上每一點的微分，亦稱微元，這是“化整為零”其次對區間上每一點的微分無限累加，連續作和，這是“積零為整”，從而得到了欲求的定積分這種方法稱為微元法。一般地，若某一實際問題中的所求量U符合下列條件，便可以考慮用定積分來表示這個量U（1）U是與一個變量的變化區間,ab有關的量；（2）U對于區間,ab具有可加性,就是說如果把區間,ab分成許多部分區間，U相應地分成許多部分量,U而等于所有部分量之和；（3）U在,ab中任一微小區間xx上的分量()Ufxx，誤差是x的高階無窮小，即當0x時，()Ufxx。那么就可以考慮通過微元法用定積分來表示這個量。1.2.3微元法的實質及解題步驟微元法實質是把求累加量問題轉化為定積分計算的簡化,它省卻了分微段、近似求和等過程,直接由微元累積導出積分。微元法是指通過從分析事物的極小部分入手,達到使事物的整體問題得以解決的一種方法.運用微元法,在一定的條件下可以把變化的、運動的、物理規律不適用的整體對象或整體過程轉化為不變的、靜止的、物理規律適用的元對象或元過程,即變為理想的對象或過程.微元法可以是把研究物體取微元部分進行分析,也可以是把研究過程取微元階段進行分析.微元法的基本數學工具是有關近似、極限、數列知識以及幾何、三角中的知識。一般情況下，應用問題的變化是非均勻的，但在局部變化的一瞬間，改變量可近似地看成是均勻變化的，這一瞬間的改變量往往正是dU。但注意，用()dUfxdx近似代替U時，要求誤差是x的高階無窮，即()0()Ufxxx成立。對某些特殊問題，憑借直觀圖形得出的dU有時是錯誤的，所以使用微元法應注意。用微元法求定積分表達式的具體步驟是：微元法示意圖山東輕工業學院2011屆本科生畢業論文5（1）根據問題，選取一個變量如x為積分變量，并確定它的變化區間,ab；（2）設想把區間,ab分成n個小區間，取其中任一個小區間記,xxx，求出相應的部分量U的近似值：Ufxx，稱fxx為量U的元素或微元，記為dufxx；（3）以U的元素dU為被積表達式，在區間,ab上作定積分，則得baUfxx第二章微元法的應用2.1微元法在幾何中的應用2.1.1微元法證明一類積分學公式1）平面曲線弧長計算公式定理1設平面曲線:L()xxt，()yyt()t,為光滑曲線(即()xt與()yt在,上連續且22()()0xtyt,則曲線L的弧長為22()()sxtytdt證明取參數t為積分變量,它的變化區間為,相應于,上任一小區間的小弧段,ttt，22()()sxy()()()xxtdtxtxtdt()()()yytdtytytdt22()()sxtytt22()()dsxtytdt即22()()sxtytdt2）旋轉曲面面積計算公式定理2設平面光滑曲線L的方程為()yfx,xab(0()fx,則由曲線L繞x軸旋轉一周所得曲面面積為山東輕工業學院2011屆本科生畢業論文622()1()basfxfxdx證明在點,xxx分別作垂直于x軸的平面,它們在旋轉曲面上截下一條狹帶。當x很小時,此狹帶的面積近似于一圓臺的側面積,即22()()()()sfxfxxxy22()1()xfxyxy其中()()yfxxfx由于0lim0xy220lim1()1()xxfxy因此由()fx的連續性有222()1()2()1()xfxyxfxfxy其中()xx故22()1()dsfxfx則22()1()basfxfxdx3）曲面面積計算公式定理3設D為可求面積的平面有界區域,函數(,)fxy在D上具有連續的一階偏導數,則由方程(,)zfxy，(,)xyD所確定的曲面S的面積221(,)(,)xyDSfxyfxyd