中國 高考數學母題一千題 (第 0001 號 ) 愿與您共建真實的中國高考數學母題 (楊培明 長方體的模型功能之底面為菱形的四棱錐 模型解題法之 七 因為矩形四邊中點連線構成 菱形 ,所 以 ,底面為 菱形 的四棱錐是長方體的子體 ,長方體 模型可襯 托 該 子體的 結構特征 ;以 菱形 為底面的四棱錐是高考試題的 又一 重要載體 . 母題結構 :已知 在如圖所示的 長方體 中 ,A、 B、 C、 D、 方體 所在棱的 中點 ,試 在 以 菱形 底面 的四棱錐 ,分析其中的垂直關系 ; 母題 解 析 : 在 四棱錐 ,直線 直線 平面 面 平面 在 四棱錐 ,直線 直線 平面 面 平面 在 四棱錐 ,直線 平面 兩垂直 . 子題類型 :(2013年 安徽 高考試題 )如圖 ,四棱錐 的菱形 , B=, 6 . ( )證明 :( )若 E 為 中點 ,求三棱錐 體積 . 解析 :( )把 四棱錐 ,如圖 ,設 于點 O,則 C= 3 ,D=1, D 面 ( )由 三棱錐 三棱錐 三棱錐 41 D=2 3 ,又 6 面 四 棱錐 積 =2 三棱錐 體積 =21. 點評 :對 以菱形為底面的四棱錐 ,先把底面菱形放置于長方體的下底面上 ,然后在長方體的上底面內確定頂點 的位置 . 子題類型 :(2008 年 安徽 高考試題 )如圖 ,在四棱錐 ,底面 邊長為 1 的菱形 , ,面A=2,M 為 中點 . ( )求異面直線 D 所成角的大小 ; ( )求點 B 到平面 距離 . 解析 :( )把 四棱錐 ,如圖 ,由 異面直線 成的角 (或其補角 );由 底面 A , 2 ;作 ,由 2 6 3 直線 成角的大小 =3; ( )由 面 點 B 到平面 距離 =點 A 到平面 距離 =點 A 到 直線距離 d;由 d=23 d=22 2 d=32. 點評 :對以菱形為底面的四棱錐 問題 ,首先把它 放置于長方體 中 ,充分發揮 長方體 的襯 托 功能 ,把握其結構 ,解決問 題 . 法 子題類型 :(2015 年課標 高考試題 )如圖 ,四邊形 菱形 ,C 與 交點 ,面 ( )證明 :平面 面 ( )若 200,棱錐 體積為36, 求該三棱錐的側面積 . 解析 :( )由 面 在 菱形 平面 平面 面 ( )設 菱形 長為 a,由 200 C=23a,D=21a;由 13a 2a;由 三棱錐=3121466 a=2 21;由 ,6 ,6 面積 = 5 該三棱錐的側面積 =3+2 5 . 點評 :對以菱形為底面的四棱錐 問題 ,把它 放置于長方體 中 分析求解 ,是解該載體 問題 的 基本方法 . 1.(2014年 重慶 高考試題 )如圖 ,四棱錐 底面是以 底 面 B=2, ,C 上一點 ,且 1. ( )證明 :平面 ( )若 四棱錐 體積 . 2.(2004 年 湖南 高考試題 )如圖 ,在底面是菱形的四棱錐 , 00,C=a,D= 2 a,點 E 是 中點 . ( )證明 :面 B平面 ( )求以 棱 , 面的二面角的正切值 . 3.(2013 年 重慶 高考試題 )如 圖 ,四棱錐 ,面 A=2 3 ,D=2, , ( )求證 :面 ( )若側棱 的點 F 滿足 三棱錐 體積 . 4.(2013 年 浙江 高考試題 )如圖 ,在四棱錐 ,平面 B=,D= 7 , 3 , 200,G 為線段 的點 .( )證明 :平面 ( )若 G 為 中點 ,求 平面 成的角的正切值 ; ( )若 G 滿足 平面 ( )由 底面 由 3 , 00,3 平面 ( )由 3 四棱錐 體積 V=165. ( )由 A 面 于點 P,則 面 ( )分別取 中點 H、 F,則 1a,3a 32. ( )由 面 由