2017年課標高考 母題 備戰高考數學的一條捷徑 565 中國 高考數學母題 (第 166 號 ) 立體幾何解題策略之二面角 求法 用 平面的 法向量求二面角或求二面角 的余弦值 時 ,涉及到 判斷二面角是銳角還是鈍角 ,如何判斷二面角是銳角還是鈍角？ 求二面角或求二面角 的余弦值 還有無其它方法 ？ 母題結構 :( )(判定方法 )若 二面角 平面 角 是 ,在半平 面 內取點 P,則 : 是銳角 點 P 在 平面 內 的 射影點在 半平 面 內 ; 是鈍角 點 P 在 平面 內的 射影點不在 半平 面 內 ; ( )(方向關系 )若 二面角 平面 角是 , 的法向量 ,平面 的法向量 ,則 : 兩個 法向量 的方向一個向二 面角 的 內 部 ,另一個向二 面角 的外部 , ; 兩個法向量 的方向 均 向二 面角 的 內 部 ,或均 向二 面角 的外部 設 ( )(另類求法 )設點 A,C 分別是二面角 棱 l 上的兩點 ,點 B,D 分別在半平面 , 內 ,且 l,l,則 夾的角就是二面角 平面 角 . 母題 解 析 :略 . 子題類型 :(2016 年 高考 全國 乙 卷 試題 )如圖 ,在以 A,B,C,D,E,F 為頂點的五面體中 , 面 正方形 , 00,且二面角 二面角 是 600. ( )證明 :平面 平面 ( )求二面角 余弦值 . 解析 :( )由 正方形 由 00 平面 平面 平面 ( )以 E 為原點 ,建立坐標系 如圖 ,設 a,則 B(0,4a,0),C(a,0, 3 a),A(4a,4a,0) (0,4a,0),(a,3 a),(,0);設平面 法向量 m=(x,y,z),由 m 0, m 0 m=( 3 ,0,同理可得 :平面 法向量 n=(0, 3 ,4) (點 E 在 平面 的 射影點不在 半平 面 )二面角 余弦值 =-|點評 :若二面角 則 : 當是銳角時 ,|當是鈍角時 ,-| 同 類 試題 : 1.(2014 年課標 高考試題 )如圖 ,三棱柱 側面 菱形 , )證明 :( )若 00,C,求二面角 弦值 . 2.(2011 年課標高考試題 )如圖 ,四棱錐 ,底面 00,D底面 ( )證明 : ( )若 D,求二面角 余 弦值 . 系 子題類型 :(2015 年 浙 江高考試題 )如 圖 ,在三棱柱 00,C=2,射影為 中點 ,D 是 中點 .( )證明 :平面 )求二面角 解析 :( )設 中點 為 O,則 C 平面 面 平面 ( )在長方體中作出 三棱柱 以直線 x、 y、 z 軸 ,建立空間直角坐標系 ,如圖 ,則B( 2 ,0,0),0, 14 ),2 , 2 , 14 ),D(0, 2 , 14 );則 平面 法向量 m=( 7 ,0,1)(向二 面角 的 內 部 ),平面 法向量 n=(0, 7 ,向二 面角 的外部 ) 81 二面角 F 566 備戰高考數學的一條捷徑 2017年課標高考 母題 點評 :利用平面法向量的方向與二面角的大小關系 ,求二面角的平面角的余弦值 ,關鍵是判 斷 平面法向量的方向 ,平移向量是判 斷 平面法向量方向的有力手段 . 同 類 試題 : 3.(2010 年 重慶 高考試題 )如 圖 ,四棱錐 底面 底 面 A=6 ,點 E 是棱 中點 . ( )求直線 平面 距離 ; ( )若 3 ,求二面角 平面角的余弦值 . 4.(2011 年 遼 寧高考試題 )如圖 ,四邊形 正方形 ,平面 DB=21( )證明 :平面 平面 ( )求二面角 余弦值 . 子題類型 :(2013 年 大綱 高考試題 )如圖 ,四棱錐 , 00, 是等邊三角形 . ( )證明 : ( )求二面角 大小 . 解析 :( )取 中點 E,連結 正方形 ,過 P 作 平面 足為 O; 由 是等邊三角形 B=B=點 O 為正方形 角線的 交點 D 的中點 E 是 中點 ( )以 O 為坐標原點 ,方向為 x 軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標系 設 且 0,則 成的角就是二面角 平面角 ;由 且 0 =1 二面角 余弦值 =點評 :這種方法就是要分別過兩個半平面內的點 (兩點在棱上時可以重合 )作與棱垂直的向量 ,這兩個向量所成的角就是二面角的平面角 . 同 類 試題 : 5.(2013 年 山東 高考試題 )如圖所示 ,在三棱錐 ,平面 A=,C,E,F 分別是 Q,中點 ,D 與 于點 G,Q 交于 點 H,連接 )求證 : ( )求二面角 余弦值 . 6.(2012 年浙江高考試題 )如圖 ,在四棱錐 ,底面是邊長為 2 3 的菱形 ,且 200,且 平面 A= 2 6 ,M,N 分別為 D 的中點 . ( )證明 :平面 ( )過點 Q 足為點 Q,求二面角 平面角的余弦值 . 7.(2015 年 重慶 高考試題 )如圖 ,三棱錐 ,面 C=3, ,D,E 分別為線段 且 E= 2 ,. ( )證明 :面 ( )求二面角 余弦值 . 8.(2007 年 安徽 高考試題 )如圖 ,在六面體 四邊形 邊長為 2 的正方形 ,四邊形 的正方形 ,平面 平面 . ( )求證 :C 共面 ,D 共面 ; ( )求證 :平面 平面 ( )求二面角 大小 (用反三角函數值 表 示 ). 9.(2005 年 全國 高考試題 )已知四棱錐 底面為直角梯形 , 00, 底面 D=1,M 是 中點 .( )證明 :面 ( )求 B 所成的角 ; ( )求面 面 成二面角的大小 . ( )設 1,在 菱形 平面 2017年課標高考 母題 備戰高考數學的一條捷徑 567 由 O 是 ( )由 C,由 C 在直線分別為 x,y,z 軸 ,建立空間直角坐標如圖 ,不妨設 ,則 ,由 600 3 A(0,0,1),B( 3 ,0,0),1,0), 3 ,0,0) 11(- 3 ,0,1);設平面 m= (x,y,z),由 m 110,m 110 m=(1,- 3 , 3 );同理可得 :平面 n=(1, 3 , 3 ) 1 二面角 弦值 =71. ( )在 , 00, 面 面 ( )不妨設 D=1,由 3 ;以 D 為坐標原點 ,B,x, y,z 軸 ,建立空間直角坐標如圖 ,則 A(1,0,0),B(0, 3 ,0),C(3 ,0),P(0,0,1);設平 面 m=(x,y,z),由 m 0,m 0 m=(0,1, 3 );同理可得 :平面 n=(- 3 , 3 ) 二面角 余弦值 =772. ( )以 A 為坐標原點 ,射線 別為 x 軸、 z 軸 正半軸 ,建立空間直角坐標系 如圖 ,設 AD=a,則 (26,0,26),(- 6 ,0, 6 ) 0 平面 直線 平面 距離 =|= 3 ; ( )由 3 D(0, 3 ,0),C( 6 , 3 ,0);設平面 法向量 m=(x,y,z),由 m 0,m 0 m=(1,- 2 ,(向外部 );同理可得 平面 法向量 n=(0,1, 2 )(向外部 ) 33 二面角 余弦值 =33. ( )在長方體中作出幾何體 ,并分別以直 線 x、 y、 z 軸正方向 ,建立空間直角 坐標系 ,如圖 ,不妨設 ,則 (1,),(1,1,0),(0,0,1) 0, =0 Q 平面 平面 平面 ( )設 平面 m=(x,y,z),由 m 0,m 0 ,令 y=1得 m=(1,1,1)(向二 面角 的外部 ),同理可得 平面 法向量 n=(0,1,2)(向二 面角 的外部 ) 15 二面角 余弦值 =( )由 別為 中位線 C 面 ( )在 ,D= B 為坐標原點 ,分別以 Q,在直線為 x 軸 , y 軸 ,z 軸，建立如圖所示的空間直角坐標系 ,設 P=,則 是二面角 平 面角 二面角 余弦值 =( )由 M,N 分別為 D 的中點 平面 ( )建立如圖所示的空間直角坐標系 ,則 中點 H(23,0, 6 );由 Q(334,0,362) (0,- 6 ),( 635 ,0,- 36 ),又 (0,3,0) 0, 0 568 備戰高考數學的一條捷徑 2017年課標高考 母題 二面角 平面 角 ;由 333 二面角 平面角的余弦值 =3333. 分別以直線 x、 y、 z 軸 ,建立空間直角坐標系 ,如圖 ,則 P(0,0,3); 由 E= 2 , (0,2,0),B(0,3,0),D(1,1,0) A(23,0,0); ( )由 (,0),(1,1,0),(0,0,3) 0, 0 E 平面 ( )平面 法向量 m=(2,1,1),法向量 (,0) 63 二面角 余弦值 =63. ( )由 平面 平面 平面 平面 E 行且等于 理可得 :行且等于 行且等于 C 共面 ,同理可 證 : ( )由 平面 由 平面 平面 ( )以 D 為原點 ,C,x