1第 1 章 習 題1、 求函數 的等值面方程。DCzByAxu1解：根據等值面的定義：標量場中場值相同的空間點組成的曲面稱為標量場的等值面，其方程為。)( ),(為 常 數czyx設常數 E，則， ，Ezyx即： 1zBA針對不同的常數 E（不為 0） ，對應不同的等值面。2、 已知標量場 ，求場中與直線 相切的等值線方程。xyu042yx解：根據等值線的定義可知：要求解標量場與直線相切的等值線方程，即是求解兩個方程存在單解的條件，由直線方程可得：，4yx代入標量場 ，得到：C，02滿足唯一解的條件： ，02416C得到： ，因此，滿足條件的等值線方程為： 2xy3、 求矢量場 的矢量線方程。zyxyA2解：由矢量線的微分方程： zyxAd本題中， ， ， ，2yx22則矢量線為：，22zydxd由此得到三個聯立方程：， ， ，解之，得到：xdyzzyx2， ， ，整理，2c1， ，yc3它們代表一簇經過坐標原點的直線。4、 求標量場 在點 M(2,0,-1)處沿 方向的方向導數。zyxu23 zyxt324解：由標量場方向導數的定義式：直角坐標系下，標量場 u 在可微點 M 處沿 l 方向的方向導數為 cosscoszuyxl 、 、 分別是 l 方向的方向角，即 l 方向與 的夾角。 、 、 分別是 l 方向的 yx、 coscos2方向余弦。， ，42Mxzu0Mzyu 1232Myzxu令： 842249)3()(zyx則： ， ， ，5cosM0cos2Mxy53cosM4651Mzuyuxtu5、 求標量場 在點 M(0,0,0) 、點 M(1,1,1)處的梯度，并找出場中梯度yxz6232為 0 的點。解：由梯度定義： zuyxu則： zyxyxzu )6()24()32( z6)0,(yxu)1,(若要梯度為零，則需使得梯度中各項分量為零，即： 0324xy6z解之，得到： 1,2zyx即，在點（-2，1，1）處，標量場的梯度為零。6、 設 ， ，n 為正整數。求 、 、 。xrrrnrf解：根據題意及梯度定義：3rzyxrzyxzyxr)(122)()( 2122rnn21rf)(7、 求矢量場 在點 M(1,0,-1)處的散度。zyxA33解：由題意及散度定義：，將 M(1,0,-1)代入：22得到： 630M8、 設 為常矢量， ， ，求 、 、 ，證明 azyxrrar2arnar)(解：由散度運算公式：1） rarr02） ar2023）4arnrraann2104）證明：因為： zyxazyxra )()(且： ， ， 均為常數，所以有：zyxraz)(得證。9、 設無限長細直導線與 z 軸重合，其上有沿正 z 軸方向流動的電流 I，導線周圍的磁場yxyxIH22計算 。解：由題意及散度的定義： yxyxI2222)(/yxIHx2)(/yxIy0yHx10、已知 ，求 。xu2u2解：由題意及散度運算性質： )(25yxyxzuu)2()2(0)所以： 2u11、計算下列矢量場的旋度：（1） ； （2） ；zxyzyxzA3232 zxyzyA22解：由矢量場旋度定義式，可得：1） zxyzxz zyAyAAyzyx xzxyz 3214 rot 222） zxyzxy yAAAzyx xzxyz 222 rot 12、已知 ， ，計算 。xeuzA Au解：由題意及矢量的旋度運算公式： )2()2(zxyzxyexx 13、已知 ， ， 為常矢量，求 、 、 。rrarrfrfa解：61） 0 z)-(y)-(x)-(rxzzy2） 0)()()(rfrffrfr3） arfrfaffrfa)(1)()(14、已知 ， ，求 。zxyyA23 zxB42BA解：由題意及運算規則，先求出 ，再求旋度：AxyzB2 304yzx ()()()yzyzxzxyxABABABz232 =81x()232()zxyxz232()1(8()(1)(8) xzxyzz y22(46)3xzyx715、已知位于坐標原點處電量為 q 的點電荷產生的電位移矢量 為 ，其中 ，D34rqzyxr，計算 和 。rD解：由題意：1） 34qr()3r 31()r4 q4r 02） 34qrD() 33()()rr4 q43 3r3 q0(0)r在 r=0 處， 無意義， 不存在。D16、證明 ， 。uA證明：1）由標量場梯度的定義式： zuyxu8)(zuyxu由 zyAxyAzxAy xzxyz 令： zuyxuA則： 0 )( 222 zyxuyzxuxyzuu由此得證。2）由旋度定義： zyAxyzAxyAxzxyz 則： 0 222 zyAxyzAxy zyxAyzxyxzxyz xzxz xzxyz由此得證。17、已知 ，求 ，并計算 。sinco,22zzuuAA解：由題意及柱坐標下梯度的計算公式： zu1zzu sin2cosincos222 zii1229zzuA sin2sico1cos222 由 zA11可得： zA sin2sicocos222siin122 zsicos42Ain32z18、已知 ，計算 、 。sico,A A解：由題意及柱坐標下散度、旋度的計算公式： zA11可得： )sin(cos2A12zAAzzAz 11 z)cos(1sin)cos()sin( 22 zA)sin(1si2zcoin19、已知 ，求 。cos2sin1,32raru u10解：由題意及球坐標下梯度的計算公式： sin1ururu可得：20、已知sin21sin2cos12coi)32( 444 rarara，計算 、 。sn,33rrA A解：由題意及球坐標下散度、旋度的計算公式： rrAr sin1siin112 332ico 322 1sini1s1rrrAcosi)(co422cs4r0A第 2 章 習 題1、 三個點電荷 q1=4C、 q2=2C、q 3=2C，分別放