1、第二章 復變函數的積分,21 復變函數的積分,一、定義,L,二、計算,1、復變函數積分歸結為兩個實變函數線積分,3、實變函數線積分的性質對路積分也成立,4、長大不等式,故，對上面不等式兩邊取極限即得。,估值定理,例1,被積函數相同、起終點相同,積分路徑不同，結果不同。,例2,例3,是以a(x0,y0)點為中心,R為半徑的圓,在圓周上:,單通區域與復通區域,定義 復平面上的一個區域 B ，如果B內的任何簡單閉曲線的內部總在B內，就稱 B為單通區域；非單通區域稱為復通區域。,單通區域：如果在區域B中作任一簡單閉合 曲線，該閉合曲線內的每一點都屬于B，則 該區域為單通區域。,一、單通區域中的柯西定理

2、,22 柯西定理,復通區域：在區域B中，如果有一簡單閉合 曲線，該閉合曲線內有不屬于區域B的點， 則該區域為復通區域。,例如 |z|0）是單通區域； 0r|z|R是復通區域。,復通區域,單通區域,單通區域中的柯西定理,定理 若函數 在閉單通區域 上解析, 則沿 上任一分段光滑閉合曲線 (也可以 是 的邊界)有:,證明,應用格林公式:,柯西-黎曼方程成立,推論 若函數 在單通區域 上解析, 在閉單通區域 上連續，則沿 上任一分 段光滑閉合曲線 (也可以是 的邊界)有:,推論 若函數 在單通區域 上解析, 是 上任一閉合曲線 (也可以是非簡單閉 合曲線)則有:,推論 若函數 在單通區域 上解析,

3、是 上任一起始于 點，終止于 點的簡單 曲線 ，則積分 的值不依賴于積分路 徑 ，而只由始點 和終點 的位置決定。,證明,二、復通區域中的柯西定理,境界線正方向：沿曲線進行時 區域總在行者左側。,外境界線正方向：逆時針方向,內境界線正方向：順時針方向,證明,作割線連接內外境界線將復通區域變 成單通區域,推論 閉復通區域 上的單值解析函數，沿 外境界線逆時針方向的積分等于沿所有內 境界線逆時針方向的積分之和。,若 是以a點為中心的圓,解,則：,在 內以a點為中心作圓 ，構成以 為外境 界線， 為內境界線的復通區域。,23 原函數和不定積分,一、原函數（定義）,二、不定積分,若 在單通區域B內解析

4、，依柯西定理 其沿B內任一路徑的積分只與起點、終點 有關。當起點 固定，不同終點的變上 限不定積分定義了一個單值函數,三、定理,推論 若 在單通區域B內解析，則,路積分的值等于原函數的改變量 （牛頓-萊布尼茲公式）,例,解,24 柯西公式,證明,所以只要證明：,是被積函數奇點。,以 為圓心， 為半徑作小圓 ，構成以 為外境界線， 為內境界線的復通區域。在該區域內被積函數解析。,？,由柯西定理：,由長大不等式：,柯西公式將解析函數在閉單通區域內任一點上的函數值用沿境界線的回路積分表示出來。,此時,對所有內、外境界線正向積分,注意：此時積分回路沿順時針,推論3 解析函數在一個圓周上的平均值等 于它

5、在該圓周圓心上的值。,證明,！,！,柯西公式的應用,例,解,例,閉合曲線 為：,解,（1）封閉曲線為圓,例,閉合曲線 為：,解,（2）封閉曲線為圓,例,閉合曲線 為：,解,（3）封閉曲線為圓,第三章 復變函數的冪級數展開,31 復數項級數,一、復數項級數及其斂散性,推論 若級數 絕對收斂，則一定收斂。,注意：條件收斂的級數未必絕對收斂； 絕對收斂的級數一定收斂。,可將級數斂散性判斷轉化成對正項級數斂 散性判斷。,例 判別級數 的斂散性。,解,發散,發散,二、復變項級數及其斂散性,復變項級數的斂散性與復變數 的取值有關,定義（收斂點、發散點）,定義（收斂域）,復變項級數和 是收斂域上的一個復 變

6、函數，稱為和函數。,定理（收斂判據）,一致收斂的復變項級數性質,絕對且一致收斂判定定理,32 冪級數,（各項都是冪函數的復變項級數）,二、冪級數的斂散性定理,證明,冪級數在 z1 點收斂,一定存在常數M，使,即：冪級數絕對一致收斂。,則有,定理1指出：冪級數存在一個收斂半徑 R,推論 如果冪級數收斂半徑為 R ，則：,證明,絕對收斂，由達朗貝爾判別法,冪級數發散！,是其收斂半徑。,又,絕對收斂，由科西判別法,冪級數發散！,是其收斂半徑。,解,解,它們收斂半徑相同,存在,三、冪級數的性質,1冪級數在收斂圓內絕對一致收斂。,2冪級數可進行加、減、乘、除運算。,設,（收斂半徑R1）,（收斂半徑R2）

7、,（2）,（3）,3冪級數在收斂圓內可逐項求導任意多階而 不改變所得新級數的收斂半徑。,設,4冪級數在收斂圓內可逐項積分而不改變 所得新級數的收斂半徑。,設,驗證,證明,取,取,取,證明,設,由柯西公式得,33 解析函數的泰勒(Taylor)級數展開,證明,在圓 內作包含 z 且與 同心的小圓,由柯西公式：,推論 函數 以它任一解析點 z0 為中 心的泰勒級數展開是唯一的。,推論 函數 在區域B內解析的充要條件 是: 在區域B內任一點 z0 處可以展 開成以 z0 為中心的泰勒級數。,顯然,若,則:,是唯一的。,例1 在 z0=0 鄰域上展開,解,例2 在 z0=0 鄰域上展開,解,例3 在

8、z0=0 鄰域上展開 和,解,解,例4 在 z0=1 鄰域上展開,解,z0=1不是支點 ，按單值函數展開,例5 在 z0=0 鄰域上展開,解,z0=0不是支點（-1），按單值函數展開,泰勒級數展開基本方法：,定理 若 在 內解析，且在實軸 （-R，R）上取實值；則 在 z0=0點 的冪級數的系數一定是實數。,證明,當 ak（z）中 z 沿實軸方向趨于0時：ak=bk,基本初等函數 均滿足條件（在實軸上取實值）。,泰勒級數展開的其它方法：可以通過已知冪級數的運算及性質得到f（z）的泰勒級數。,例6 在 z0=i 鄰域上展開,解,解,34 解析延拓,一、解析函數四個等價條件,若函數f（z）在區域B

9、內滿足下面條件之一，函數f（z）就是區域B內的一個解析函數。,（1）f（z）在區域B內確定，且處處可導。,（2）f（z）= u + iv 在區域B內連續，u，v 對x、y 有連續偏導數，且滿足C-R方程：,（3）f（z）在區域B內連續，且對B內任一 逐段光滑閉合曲線C都有,（4）對區域B內任一點，都存在一個鄰域， 在此鄰域內f（z）可展為泰勒級數。,二、解析延拓（定義）,設復變函數f（z）是區域 b 上的解析函 數，而復變函數F（z）在區域 B上解析。 若（1）b 是被B所包含的B的子區域， （2）在子區域 b 內f（z）= F（z）； 則稱F（z）是f（z）的解析延拓。,例,F（z）是 f（

10、z）的解析延拓,在,三、解析延拓的唯一性定理,定理 設 f(z)是區域 b 上的解析函數，則 用任何一種方法將f(z)延拓到含有b的較大 區域 B上所得到的解析函數F(z)是唯一的 。,35 洛朗(Laurent)級數展開,函數 f(z) 在區域 B上有奇點時,不能展為泰勒 級數;可在除去奇點的環域上展為洛朗級數。,一、洛朗級數,二、洛朗級數的收斂域、收斂環,洛朗級數處處發散,收斂:,收斂域:,三、洛朗級數展開,證明,對C1：,對C2：,代入積分,令：,第二項 變為：,根據柯西定理,說明,（1）f（z）在 z0 點可以展成洛朗級數的條件是 在以z0 為中心的環域 中單值解析。 z0 可以是f（

11、z）的奇點，也可以不是f（z）的奇點。,（2）展開系數,四、在孤立奇點上的洛朗級數展開,定義（孤立奇點） 若 f（z）在點 z0 的去 心鄰域 內解析，但在z0點不解析， 則稱z0為 f（z）的孤立奇點。,五、洛朗級數展開方法（舉例）,例1 在 z = 0 的鄰域展開,解,解,例2 求 （1）在 z = 1鄰域；,（2）在 環域內的洛朗級數展開。,有二個孤立奇點：,（1）在 z = 1鄰域,（2）在 環域內：,函數無奇點,解,例3 求 （1）在 z = 1鄰域；,（2）在 環域內的洛朗級數展開。,有二個孤立奇點：,（1）在 z = 1鄰域,（2）在 環域內,函數無奇點,例4 在 z = 0 鄰

12、域展開,解,將,例5 在 z = 1 鄰域展開,解,例6 設 x 是實參數， 在 z = 0 鄰域展開,解,改寫求和指標,m階貝塞爾函數,36 孤立奇點的分類,一、有限孤立奇點的分類,根據主要部分可能出現的情況，將孤 立奇點分成三類：,（1）可去奇點：沒有主要部分,例,z=0 為f（z）的可去奇點。,就可去掉奇點。,只要重新定義f（z）,對可去奇點有：,（2）極點：主要部分中只有有限項負冪項,例,z0=1 是f（z）的一階極點（單極點）,（3）本性奇點：主要部分有無限多項負冪項,z0 稱為f（z）的本性奇點。,例,z0=0 是f（z）的本性奇點。,二、各類奇點的判定,（1）可去奇點的判定,定理 f（z）的孤立奇點 z0是可去奇點的充 要條件是：,z0是f（z）的可去奇點,例,z=0 為f（z）的可去奇點,（2）極點的判定,定理 f（z）的孤立奇點 z0是極點的充要 條件是：,z0是f（z）的極點,z0是f（z）的m階極點,在z0點解析,z0是f（z）的m階極點,推論 f（z）的孤立奇點 z0是m階極點的 充要條件是：,定理 f（z）的孤立奇點 z0是本性奇點的 充要條件是： 不存在。,（3）本性奇點的判定,例,不存在,z0=0是 的本性奇點,解,是f（z）的奇點,解,無限多項負冪項,三、