1、教學(xué)研究案例開放題教學(xué)研究課題：面積相等的多邊形1. 課題及其說(shuō)明（1）課題 作與下面四邊形（如圖1）相等面積的多邊形。（2）關(guān)于本課題 在教學(xué)中，在66格子點(diǎn)的板子上作四邊形ABCD，并提示問(wèn)題。該問(wèn)題有多種答案。作為“具有相等面積的多邊形”，可以考慮到三角形、四邊形、五邊形、六邊形。在四邊形中也有正方形、長(zhǎng)方形、梯形、平行四邊形。 圖1如果將連結(jié)格子點(diǎn)的最小的正方形看作單位1的話，就考慮到如下的各種情形。根據(jù)四邊形ABCD面積為10的條件來(lái)解決問(wèn)題。如果考慮面積為10的多邊形的話，可以想到底邊為5高，為4的三角形、寬為2長(zhǎng)，為5的長(zhǎng)方形、底邊為5，高為2的平行四邊形、組合圖形等多種情形。先

2、不求四邊形ABCD的面積，例如，把以四邊形的對(duì)角線為一邊作2個(gè)三角形，在與對(duì)角線平行的直線上移動(dòng)三角形的頂點(diǎn)，采用等積變形的方法。改變四邊形ABCD（梯形）面積公式中的數(shù)值，作新的表達(dá)式，制作符合該表達(dá)式的圖形的方法。例如，用公式（3+2）42可以求出給定圖形的面積。將該式改變?yōu)?0+5)42,并作符合該式的圖形，就得到三角形。如果關(guān)注該過(guò)程就能夠整體上看到圖形的面積公式。進(jìn)而，如果再考慮該問(wèn)題的發(fā)展的話，例如，根據(jù)格子點(diǎn)數(shù)目的變化，可以得到更多的解答。另外，如果把制作圖形限定在三角形和四邊形的話，還能夠進(jìn)行不同目標(biāo)的教學(xué)。另外，根據(jù)學(xué)年，可以論及皮克定理，并更好地引起學(xué)生學(xué)習(xí)算數(shù)的興趣。2.

3、預(yù)想到的反應(yīng)及其考察（1）預(yù)想到的反應(yīng) 當(dāng)解決該問(wèn)題時(shí)，預(yù)想到2種解決方法。其一，根據(jù)面積為10的條件，可以作面積為10的多邊形。首先，作長(zhǎng)方形。能夠作如圖2的長(zhǎng)方形。再靈活地思考后可以作右邊的長(zhǎng)方形。 圖2其次，作平行四邊形。如果根據(jù)底邊和高相應(yīng)相等的平行四邊形的面積相等的事實(shí)，能夠構(gòu)造如圖3的平行四邊形。 圖3作梯形。例如，如圖4的梯形。圖4作組合圖形。例如，如圖5。 圖5作正方形。由于在教學(xué)中沒(méi)有a=10的a，有不少學(xué)生想不能制作正方形。但是，提出“究竟能否制作正方形呢？”這個(gè)問(wèn)題的時(shí)候，可以去考慮如圖6的正方形。即使是不求面積，從圖形性質(zhì)出發(fā)，可以制作相等面積的圖形。 圖6把最初的四邊

4、形看做長(zhǎng)方形、三角形和被分成兩個(gè)三角形來(lái)考慮。從如果兩個(gè)三角形的底邊和高分別相等的話面積相等出發(fā)，如圖7，可以作各種多邊形。 圖7利用面積公式，建立新的表達(dá)式后，將改變?cè)摫磉_(dá)式中的數(shù)值，建立新的表達(dá)式，考慮作符合該表達(dá)式的圖形。四邊形ABCD為梯形，因此用下面的表達(dá)式求出它的面積：（3+2）42=10改變其中的數(shù)值后得到以下表達(dá)式。a.(2+3)42=10b.(1+4)42=10c.(0+5)42=10把b和c用圖形表示后得到如圖8的結(jié)果。 圖8（2）關(guān)于反應(yīng)例的考察 首先，根據(jù)面積為10的條件來(lái)考察作多邊形的情形。學(xué)生對(duì)的作長(zhǎng)方形的反應(yīng)最多。但是，作在傾斜位置上作長(zhǎng)方形的學(xué)生較少。66格子點(diǎn)

5、的板子上，只能作一種圖形。但是增加格子點(diǎn)的話，也可以作別的傾斜的長(zhǎng)方形。的平行四邊形被容易發(fā)現(xiàn)。面積為10的平行四邊形就是底邊為5高為2或者底邊為2高為5的平行四邊形。但是，在66的格子點(diǎn)中只限于圖形中的那個(gè)平行四邊形。當(dāng)格子點(diǎn)為7的時(shí)候可以作兩個(gè)平行四邊形。的梯形中的作圖有兩種情形，即考慮梯形面積公式作圖和數(shù)方格數(shù)作圖。根據(jù)公式來(lái)作圖時(shí)，不改變高，上底和下底之和為5的情形和高為5而上下底之和為4的情形。的組合圖形中，數(shù)方格的數(shù)來(lái)作圖。例如，首先作面積為10的十字形的圖形。學(xué)生將這個(gè)圖形進(jìn)行改變來(lái)作各種各樣圖形。專注于增減部分圖形來(lái)開展作各種形狀的活動(dòng)。的正方形的構(gòu)造者很少。但是，介紹之后，能

6、夠啟發(fā)學(xué)生的轉(zhuǎn)換思維。上述作面積為10的多邊形的活動(dòng)，能夠培養(yǎng)學(xué)生動(dòng)態(tài)地思考圖形的能力，同時(shí)也能夠加深對(duì)面積概念的意義的理解。其次，不求面積來(lái)考慮作相等面積的多邊形的情形。的情形，無(wú)論是哪個(gè)反應(yīng)例，都是從給定圖形的一部分的三角形出發(fā)。由于等底等高的三角形的面積相等，因此一般與底邊平行的直線上取頂點(diǎn)來(lái)構(gòu)造多邊形。在所構(gòu)造的圖形中，也有凹形的五邊形和六邊形，由于頂點(diǎn)的位置的不同而能夠制作三角形，這為讓人驚奇。的情形，從求面積的表達(dá)式出發(fā)，也許提出“改變這個(gè)表達(dá)式的一部分，不考慮符合這個(gè)表達(dá)式的圖形是不可以吧？”的質(zhì)問(wèn)。由于這個(gè)質(zhì)問(wèn)的提出，能夠培養(yǎng)學(xué)生整體上思考面積公式的能力。作為發(fā)展性問(wèn)題，可以考慮到皮克定理的介紹。在這種情形下，給出公式“（周上的點(diǎn)數(shù)）2+（內(nèi)部的點(diǎn)數(shù)）1”，對(duì)于