1、土 體 本 構 模 型,河海大學 巖土工程科學研究所 朱俊高,本構關系：材料的應力應變(時間)關系 把本構關系寫成具體的數學表達形式就是本構方程。,本構模型(本構方程)：反映材料的應力應變(時間)關系的數學模型，即數學表達式。當然，這種數學表達式可能很復雜，而且包括一系列的數學表達式。,最簡單的本構模型：,1.應力和應變,(一）應力和應變分量的幾種表示方法,1.一般分量,土體中一點的應力狀態，可以用處于該點的正六面體單元的表面上的6個（9個）應力分量來表示，即3個正應力分量 ，3個剪應力分量 寫成矩陣形式為,應力偏量,（1）矩陣或向量表示法,偏應力,1.應力和應變,(一）應力和應變分量的幾種表

2、示方法,1.一般分量,圖51中表示了單元體上的這6個應力分量。相應地，也有6個應變分量，以矩陣表示為,（1）矩陣或向量表示法,1.應力和應變,圖5-1,（2）張量表示法 如果某些量依賴于坐標軸的選取，并且，當座標變換時，它們的變換具有某種指定的形式，則這些量總稱為張量。一點的應力分量就總稱為應力張量。,在進行公式推導時，一般盡量用一種表示方法：矩陣或張量，不宜混用,1.應力和應變,（2）張量表示法,注意：在進行公式推導時，一般盡量用一種表示方法：矩陣或張量，不宜混用,在彈性力學中，法向應力和應變以拉為正，壓為負；而土體一般不能受拉，土力學中討論的地基應力、土壓力等，都是以壓為正，拉為負。因此，

3、土力學中，應力應變分量的正負規定就與彈性力學相反，即正面上的負向應力為正，負面上的正向應力為正。不僅正應力如此，剪應力也如此，以保持一致，并能套用彈性力學公式。,注意：,1.應力和應變,商業程序中，多數拉為正,2. 主應力應變分量,在正六面體單元中可以找到3個互相垂直的面，其上剪應力為0，只作用有正應力。這樣的面叫正應力面，所作用的正應力叫主應力。3個面上的主應力按大小排列，分別為大主應力1、中主應力2 和小主應力3。,1.應力和應變,應力狀態表示方法之一：主應力方向余弦 主應力與坐標軸的選擇無關，,應變也可用三個主應變分量表示，矩陣形式,將坐標系的三個軸順著三個主應力方向放，分別以1，2，3

4、表示，如圖5-2所示。再對這個坐標系的8個掛限分別作等傾面。8個掛限的等傾面圍成了一個正八面體。這些等傾面叫八面體面。 根據力的平衡關系可以推得正八面體面上的正應力和剪應力分別為,3. 八面體應力和應變,圖5-2,1.應力和應變,剪應力OCT作用在八面體面上還有個方向問題。這決定于中主應力2接近大主應力1還是小主應力3。 與應力相應，還有八面體面上的應變，正應變和剪應變分別為,1.應力和應變,在土體本構模型理論中，常常也用球應力、偏應力以及或作為應力分量。 球應力也稱為平均正應力以p表示,4. 球應力、偏應力及相應應變,偏應力又叫廣義剪應力，以q表示,1.應力和應變,注意：這里的偏應力和Sij

5、的區別，建議這里不用偏應力,注意：此式也可用6個應力分量表示,p 和q也可以用八面體應力來表示，如下,另外,p,反映了復雜應力狀態下受剪的程度，因此常用來表示剪應力。當2=3 時，如軸對稱的三軸儀試樣受力情況， 1- 3,1.應力和應變,可以推知相應的應變分量,類比,體積應變：,偏應變：,其中 表示了復雜受力狀態下的剪切變形。對于軸對稱三軸試樣的變形，有,1.應力和應變,廣義剪應變,球應力和偏應力，以及相應的應變分量，實際上與八面體應力和應變是等效的，僅僅是系數不同。但在分析能量時，要簡單得多。可以推得：,延伸,體積變形能 ：,形變能 ：,1.應力和應變,對于一組確定的p和q，可以有許多種主應

6、力分量的組合，解是不確定的。因此，要有第三個分量。第三個分量常取應力羅德（Lode）參數,式中 ， ， 為三個應力摩爾圓的直徑，見圖5-3,1.應力和應變,1.應力和應變,還有一個參數b也反映了中主應力接近大主應力的程度。 若 ，b=1；若 ,b=0,相應地，也有應變羅德參數,1.應力和應變,5. 應力不變量,第一應力不變量：,第二應力不變量：,第三應力不變量：,1.應力和應變,不隨坐標軸的選取而改變,5. 應力不變量,此外，還有下面兩個偏應力不變量，它們須與第一應力不變量相結合形成三個獨立的應力分量：,1.應力和應變,第二偏應力不變量 ：,第三偏應力不變量 ：,不隨坐標軸的選取而改變,表示一

7、點應力狀態的方法？,（二）應力空間和應力路徑,1應力和應變空間,為了表示應力狀態，表示各應力分量的數值，常常以應力分量為坐標軸形成一個空間，叫做應力空間。該空間內的一點的幾個坐標值就是相應的應力分量。 如果應力分量取三個主應力 ， 和 ，以三個主應力分量為坐標軸構成一個直角坐標系，叫主應力空間。這個空間內一點有三個坐標值，就代表了實際土體中一點的某種應力狀態。圖5-4中的M點代表了應力狀態 ， 和 。,1.應力和應變,圖5-4,1.應力和應變,彈塑性力學： Pi平面為過原點與空間主對角線垂直的平面,平面,在主應力空間內，法線與空間主對角線重合的等傾面，被叫做 面。所謂空間主對角線，就是與3個坐

8、標軸的夾角都相等的線。主應力空間中，在該線上有,區別,八面體面是幾何空間（長度坐標系）內的面，面是在應力空間內的面。兩者坐標系不同，物理概念不同。再者，八面體面在幾何空間內的八個掛限都有，而 面只存在于應力空間內的第一掛限和與其相對的掛限，其它掛限內的等傾面并不是面。空間主對角線也只存在于這兩個掛限。,1.應力和應變,利用面可以較好地反映應力狀態。圖5-4中點M的坐標代表主應力分量。通過M點作面。它到原點的距離為,在面上，M到空間主對角線的距離,它們分別與應力分量p和q有關。而點M在 面內的方位可反映第三個分量。將圖5-4中的三個主應力坐標軸，以及代表應力狀態的點M 投影到 面上，如圖5-5所

9、示。,1.應力和應變,在該面上放一個二維的直角坐標系，令Y軸與2軸重合，X軸在1 的那一側。定義到X軸的轉角叫應力羅德角。它就是與第三應力分量有關的參數。可以證明，它與羅德參數間的關系為：,1.應力和應變, =-30+30 X，Y軸方向也有另一種定義方式 =060,應力空間還可以用其他形式的應力分量為坐標。 如果以，和六個應力分量為坐標，則應力空間是六維空間，無法用圖形表示，僅可以作抽象的理解。 p-q 平面,1.應力和應變,第1次,如果忽略第三應力不變量或應力羅德角對變形的影響，可以只用、兩個分量來構成二維的應力空間，叫pq平面，如圖5-6所示。在后面的本構模型理論中，常常會用到這種平面。,

10、圖5-6,1.應力和應變,圖5-6,1.應力和應變,表示應力狀態或應力路徑也有優點 P204,二維問題中，,類比,與應力空間相應，以應變分量為坐標軸形成一個空間，叫做應變空間。該空間內的一點的幾個坐標值就是應變分量。圖5-8所示為主應變空間。它的三個坐標軸分別為 ， 和 。,圖5-8,1.應力和應變,2.應力路徑,在應力空間內，代表應力狀態的點移動的軌跡，叫應力路徑。它表示應力變化的過程，或者加荷的方式。,1.應力和應變,圖9,1.應力和應變,設土體中一點初始應力狀態如圖5-9應力空間內點所示，受力后變化到。從到，可以有各種方式，如、和按比例增加；初期增加得多，和增加得少，而后期反過來。對于某

11、種加荷方式，代表應力狀態的點將從沿某種軌跡移動到。加荷過程中，不同的加荷方式可以用不同的應力路徑來表示。,更常用的是用p-q平面的應力路徑,1.應力和應變,與其相應，當然也有應變路徑。,普通三軸應力狀態下 p q,O,A,B,（三）應力應變關系矩陣本構矩陣D,廣義虎克定律,增量形式,（三）應力應變關系矩陣,廣義虎克定律,D,D,D,張量表示,矩陣表示,（三）應力應變關系矩陣,復雜應力狀態下的應力應變關系是多元化的，要表示出多元素與多元素之間的關系，就要用張量或矩陣。常用到的增量形式的應力應變關系的矩陣為,式中D叫剛度矩陣，如果應力和應變分量取一般形式，各有6個分量，則矩陣D為66，共36個元素

12、。如果用主應力和主應變分量，則矩陣D為33，共9個元素。二維問題的應力分量為 ，應變分量為 ，因此其矩陣D也是3 3 的，將上式展開可寫成：,1.應力和應變,對于任一元素D i j，其意義為，要產生單位應變增量 而其它應變增量為0時，在應施加的應力增量 中的分量 即為Dij。顯然，D i j 的值愈大，材料愈難變形，表示材料剛度愈大。,1.應力和應變,平面條件下 應力應變關系,應力應變關系也可寫成相反的形式，即:,式中C叫柔度矩陣。對于二維問題，將其展開，可寫成,在復雜受力條件下，建立土的應力應變關系，實際上就是要給出矩陣C或D。 C或D互為逆矩陣,1.應力和應變,Cij越大，材料越軟,2.土

13、體三維變形的試驗,三軸儀應力變形試驗,三軸儀的構造示意如圖5-10所示。,圖5-10,儀器構造：,中間為圓柱形土樣。其下為透水石，透水石放在三軸儀底座上；試樣頂部也放有透水石再上面是金屬的試樣帽。 試驗時，土樣的上下兩端與透水石接觸處，分別放置濾紙。試樣外側包有薄橡皮膜，膜的下端扎緊于底座，上端扎緊于試樣帽。 所謂壓力室就是能夠施加水壓力或氣壓力的密室，側向為有機玻璃筒，上部為金屬頂蓋，下部固定于底座，其間設有密封圈防止漏水，頂蓋的中央為一金屬活塞桿傳遞豎向荷載。,2.土體三維變形試驗,實驗原理：,試驗時在壓力室中充水并加壓，這一壓力叫圍壓。圍壓通過橡皮膜從側向傳到試樣上，也通過試樣帽從豎向作

14、用給土樣，此時試樣受各向相等的壓力：小主應力。待固結穩定后再用加壓設備豎向加荷。土樣上增加的豎向應力叫偏應力q（軸向附件應力），此時豎向應力為大主應力，1+q。由于土樣是圓柱形的，故中主應力2 。在加豎向荷載時，可以用測微表量測試樣的豎向變形量，由此可推得軸向應變a /L0，式中L0為初始試樣高度。,2.土體三維變形試驗,三軸儀中的試樣是圓柱形的，其受力和變形是軸對稱的，它有兩個方向的應力 和 ，同時測得兩種應變 和 ，由它們可推出側向應變,2.土體三維變形試驗,缺陷,三軸儀試樣的應力變形狀態是軸對稱的，而實際工程問題中土體應力應變狀態往往并非軸對稱的，因此需要有相應的試驗設備來研究更加復雜的

15、應力狀態。,2.土體三維變形試驗,2.平面應變試驗,巖土工程許多問題可以簡化為平面應變問題平面問題 注意：（1）三個方向的尺寸；小主應力方向尺寸應較小，試樣才能達到破壞； （2）試驗儀器中難以處理的問題；不同方向的加荷板打架！,2.土體三維變形試驗,3.真三軸試驗,真三軸儀的試樣為立方體，從三個方向分別施加三個主應力分量。由于加荷方式的不同，產生了不同型式的真三軸儀：,（）三個方向全為剛性板加荷。,2.土體三維變形試驗,（） 方向為剛性板加荷，另兩方向為氣壓或液壓柔性加荷。,（） 方向柔性加荷，而 和 方向為剛性板。,圖5-12是河海大學的真三軸儀示意，屬于第（）種類型。,圖5-12,a.整體

16、結構,b.加荷與變形示意,2.土體三維變形試驗,實驗原理,2方向的傳力塊B是由多層金屬板與橡皮相間復合而成。在豎向該傳力塊可與試樣同步壓縮，而在2向靠金屬板傳力保持剛性。豎向荷載由試樣和傳力塊共同承擔，但荷載,2.土體三維變形試驗,傳感器只量測試樣上的荷載，從而可算得 1。傳壓塊B上下有滾輪，可適應試樣在2向的變形。這樣2方向的加荷板不要予留空隙，可使2均勻作用于試樣，且試樣自始至終規整。小主應力則用氣壓施加。,4.空心扭剪儀,a.空心圓柱試樣,b.扭剪儀整體結構,圖5-13,2.土體三維變形試驗,外室,為什么是空心而不用實心？,4.空心扭剪儀,a.空心圓柱試樣,2.土體三維變形試驗,儀器所用

17、的試樣為空心的圓柱體，如圖13(a)所示，儀器的整體結構如圖13(b)所示。試樣被包在內外橡皮膜之中。該儀器可以對試樣施加種荷載，徑向內壓力r1、徑向外壓力r2、豎向壓力z和環向扭剪應力tz ，根據內外徑向應力可以推算出環向應力 。,2.土體三維變形試驗,注意：研究變形與研究強度的土工儀器各有哪些？,3.土體三向變形的主要規律,利用前面所講的一些土體應力變形試驗的儀器進行試驗研究可以揭示土體變形的許多規律。這是建立本構模型的依據。,1. 非線性和非彈性,圖5-15(a)是金屬和混凝土等堅硬材料的軸向拉壓曲線，圖5-15(b)為土的三軸試驗得出的軸向應力 與軸向應變 之間的關系曲線。與金屬材料不

18、同的是，初始的直線階段很短，對于松砂和正常固結粘土，幾乎沒有直線階段，加荷一開始就呈非線性。,這種非線性變化的產生，是因為除彈性變形以外還出現了不可恢復的塑性變形。土體是松散介質，受力后顆粒之間的位置調整，在荷載卸除后，不能恢復，形成較大的塑性變形。,圖15,a.金屬,b.土體,3.土體三向變形的主要規律,如果加荷到某一應力后再卸荷，曲線將如圖16所示。為加荷段，為卸荷段。卸荷后能恢復的應變即彈性應變。不可恢復的那部分應變為塑性應變。,圖16,3.土體三向變形的主要規律,經過一個加荷退荷循環后，再加荷，將如圖16中的段所示，它并不與線重合，而存在一個環，叫回滯環。回滯環的存在表示退荷再加荷過程

19、中能量消耗了，要給以能量的補充。再加荷還會產生新的不可恢復的變形，不過同一荷載多次重復后塑性變形逐漸減小。,非線性和非彈性是土體變形的突出特點。 彈性、塑性、粘性（流變性）,3.土體三向變形的主要規律,彈性、塑性、粘性 能夠恢復的變形； 不能恢復的變形； 狀態隨時間而變化的性質:黏度是指液體受外力作用移動時，分子間產生的內摩擦力的量度。,3.土體三向變形的主要規律,第2次,剪脹性和塑性體積應變,土體受力后會有明顯的塑性體積變形。圖17為土樣在三軸儀中逐步施加各向相等的壓力后，再卸除所得到的與體積應變之間的關系曲線,圖17,3.土體三向變形的主要規律,可見存在不可恢復的塑性體積應變 ，而且它往往

20、比彈性體積應變更大。這一點與金屬不同，金屬塑性變形是由于晶格之間的錯動滑移而造成的，只有形狀改變，不產生體積變化。金屬是很密實的材料，晶格間沒有可壓縮的孔隙，因此被認為是沒有塑性體積變形的。 土體的塑性變形也與顆粒的錯位滑移有關。這種錯動滑移不僅在受剪時發生，受壓時也存在。在各向相等的壓力作用下，從宏觀上來說，是不受剪切的；但在微觀上，顆粒間有錯動。,3.土體三向變形的主要規律,剪切也會引起塑性體積變形,在三軸儀中對土樣施加偏壓力1-3的同時，減小圍壓3 ，并令 ，使球應力保持不變，所得出的應力應變曲線將如圖19所示。盡管體積應力不變，但圖中仍有體積應變，此時測得的體積應變完全是剪切造成的。在

21、圖19（）中，體積應變v隨偏應力1-3增大而增大。剪切引起的體積收縮，叫剪縮。軟土和松砂常表現為剪縮。,3.土體三向變形的主要規律,圖5-19,a,b,3.土體三向變形的主要規律,在圖19（）中，開始階段為剪縮，以后曲線向上彎曲，為負的體積應變，即體積膨脹，這種現象叫做剪脹。緊密砂土，超固結粘土，常表現為剪脹。,3.土體三向變形的主要規律,a.松砂,b.密砂,圖5-20,3.土體三向變形的主要規律,砂土受剪所產生體積變形可用圖20來說明。假定土體沿水平向受剪切。對于松砂，受剪后某些顆粒填入原來的孔隙，體積減小；對于密砂，原來的孔隙體積較小，受剪時一些顆粒必須上抬才能繞過前面的顆粒產生錯動滑移，

22、于是體積膨脹。,塑性剪應變,土體受剪發生剪應變。剪應變的一部分與骨架的輕度偏斜相對應，荷載卸除后能恢復，是彈性剪應變。另一部分則與顆粒之間的相對錯動滑移相聯系，荷載卸除后不能恢復，為塑性剪應變。不僅剪應力能引起剪應變，體積應力也會引起剪應變。三軸儀中的土樣在應力 和 下變形穩定后，保持 不變而降低 ,見圖21（a），則會發現，隨著 減小，軸向應變不斷增大，直至最后達到破壞。,3.土體三向變形的主要規律,a.單元體應力變化,c.應力路徑,3.土體三向變形的主要規律,b.摩爾圓變化,d.剪應變,等q試驗,在這一應力變化過程中，應力摩爾圓直徑不變，位置不斷向左移動，如圖21（b），摩爾圓從移動到。當

23、圍壓降到一定值，摩爾圓與庫侖破裂線相切，土樣剪壞，這時剪應變已發展到很大數值。 由此可見，球應力的變化確實引起了不可恢復的剪應變。這種應力變化可以用圖21（c）中坐標系中的線段來表示。還可點繪出剪應變 s隨球應力減小而增加的關系曲線，如圖21（d）中的段。,3.土體三向變形的主要規律,硬化和軟化,三軸試驗測得的軸向應力與軸向應變的關系曲線有兩種形態。圖22（）所示曲線有一直上升的趨勢直至破壞，這種形狀的應力應變關系叫硬化型,軟土和松砂表現為這種形態,圖22(a),3.土體三向變形的主要規律,圖22（）所示曲線前面部分是上升的，應力達到某一峰值后轉為下降曲線，即應力在降低，而應變卻在增加，這種形

24、態叫做軟化型。緊密砂和超壓密粘土表現為這種形態。,圖22(b),3.土體三向變形的主要規律,將轉換為，點繪曲線，其形式與圖22也相似，存在硬化和軟化兩種形式。 對于其他剪切試驗（如直剪、單剪），得出的關系曲線也有硬化和軟化的區別。,3.土體三向變形的主要規律,應力路徑對變形的影響,巖土材料存在較大的塑性變形。沿不同的應力路徑加荷，各階段的塑性變形增量不同，累積起來，就有不同的應變總量。這就是應力路徑對變形的影響。,圖23,a,b,3.土體三向變形的主要規律,虛線表示排水試驗的有效應力路徑。實線表示先做不排水試驗，其有效應力路徑為，達到接近破壞的點后，排水固結，保持不變而增加，應力路徑為。 兩種

25、應力路徑初始和終了應力狀態相同，兩種路徑所對的軸向應變大不同。 實線，因點接近破壞線，必然產生較大的軸向應變，最終必然較大如圖23（）中的線所示。 虛線遠離破壞線，其軸向應變必然較小，如圖23（）中的1線所示。,3.土體三向變形的主要規律,應力歷史對變形的影響,應力歷史指歷史上的應力路徑。由于塑性變形不可恢復，歷史上發生的變形將保存和積累起來。它無疑會影響今后的變形。 圖24中，、兩點具有相同的應力，然而點處于初始加荷曲線上，點處于再加荷曲線上，兩點對應不同的，它們所處應力應變關系曲線的斜率也不同。如果施加同樣的荷載增量，則對應狀態的土體應變增量大，而對應狀態的土體應變增量小。因、兩點有著不同

26、的應力歷史，加荷后就有不同的變形。超固結土比正常固結土變形小，也是這個緣故。,3.土體三向變形的主要規律,圖24,3.土體三向變形的主要規律,又如，壓縮試驗中，Pc的影響,圖24中，、兩點具有相同的應力，然而點處于初始加荷曲線上，點處于再加荷曲線上，兩點對應不同的，它們所處應力應變關系曲線的斜率也不同。,如果施加同樣的荷載增量，則對應狀態的土體應變增量大，而對應狀態的土體應變增量小。因、兩點有著不同的應力歷史，加荷后就有不同的變形。超固結土比正常固結土變形小，也是這個緣故。,各向異性,地基土一般是水平向成層。由于土沉積過程中水平和豎直方向條件不同，土的結構存在著差異，使土體在許多方面表現為各向

27、異性。應力應變關系也不例外，這種叫原生各向異性。 此外，各向應力狀態不同，還能引起新的各向異性。重塑土本來不存在土體結構上的兩向差異，但只要各向應力不等，在應力應變關系上就會表現為各向異性，稱為應力引起的各向異性。-次生各向異性,3.土體三向變形的主要規律,a,b,圖25 應力引起的各向異性,3.土體三向變形的主要規律,平面應變條件下，從大主應力和小主應力方向分別加載,剛度矩陣或柔度矩陣為非對稱：C12C21; C11=C22,3.土體三向變形的主要規律,真三軸試驗，單向加載時，泊松比的規律,3.土體三向變形的主要規律,8、固結應力對變形的影響,高壓三軸試驗資料表明，土體在高圍壓（固結應力）下

28、的變形性狀與低圍壓情況下有所不同。主要有如下三個方面：,（1）強度包線不呈直線，而是呈向下微彎的曲線，如圖28（a）所示。這表示有效強度指標 隨著固結壓力的增加而降低了。為了反映這種變化，可以用折線來代替曲線，也就是在不同的壓力范圍用不同的強度指標。如圖28（b）所示，壓力低于 A，用 1，壓力高于 A，用 2。,3.土體三向變形的主要規律,8、固結應力對變形的影響,3.土體三向變形的主要規律,f0 Df如何確定？,（2）有些土，如緊密砂，在低壓力下受剪時體積會發生膨脹。而在高壓力下，所有土都表現為剪縮，如圖29中所示的v-a曲線。,（3）軟化現象一般也是在低壓力下表現出來的。在高壓下，通常（

29、1-3）- a曲線是硬化型的，如圖29所示。,3.土體三向變形的主要規律,圖29 不同圍壓下的應力應變曲線,3.土體三向變形的主要規律,3.土體三向變形的主要規律,9、中主應力對變形的影響,中主應力對強度影響 平面應變條件下測定的摩擦角比軸對稱條件下大35度； 中主應力對應力應變曲線有影響,b=0; b=0.5; b=1.0,4.彈性非線性模型,引言,實際工程中的初始應力狀態、應力增量和應力路徑是千變萬化的，試驗無法模擬這種復雜的變化。因此，必須通過假定、推理、驗證，建立某種符合實際變形規律的數學計算方法數學模型，將少量的特定條件下試驗得出的結果推廣到一般，運用于工程。這種數學模型就是本構模型

30、。 按照變形彈性或塑性的假定，本構模型分：線彈性模型、非線性彈性模型和彈塑性模型；,4.彈性非線性模型,引言,線性彈性模型（廣義虎克定律）,4.彈性非線性模型,線性彈性模型（廣義虎克定律）,用E、v，v0.5,不能反映剪脹,用K、G，其取值基本沒有限制,能反映剪脹,4.彈性非線性模型,線性彈性模型（廣義虎克定律）,用E、v，v0.5,不能反映剪脹,實際土體的泊松比會不會0.5 0.5意味著什么？0.5?,4.彈性非線性模型,引言,線性彈性模型（廣義虎克定律）,4.彈性非線性模型,引言,4.彈性非線性模型,引言,假定土體為線彈性材料會有較大誤差，因此提出非線性彈性模型。式中只含有兩個參數：彈性模

31、量E和泊松比，它隨應力狀態變化, 通過試驗得出彈性參數隨應力而變化的規律，從而建立相應公式。,4.彈性非線性模型,彈性模量E和泊松比，體積變形模量K和剪切模量G 它隨應力狀態變化, 通過試驗得出彈性參數隨應力而變化的規律，從而建立相應公式。,4.彈性非線性模型,。,4.彈性非線性模型,。,4.彈性非線性模型,。,4.彈性非線性模型,。,4.彈性非線性模型,。,4.彈性非線性模型,。,4.彈性非線性模型,。,4.彈性非線性模型,。,（三）應力應變關系矩陣,2個獨立參數,（一）彈性參數的確定,1、彈性模型E,由應力應變全量的廣義虎克定律，當2 =3 = 0時， ，因此， 。,4.彈性非線性模型,（

32、一）彈性參數的確定,1、彈性模型E,對于粘性土，做無側限壓縮試驗，此時，2 =3=0 ，加豎向應力，測相應的應變 ，見圖32（a）。點繪出軸向應力與軸向應變 的關系曲線，如圖32（b）所示；曲線上的點A所對應的大主應力1 =，大主應變 = ，故彈性模量,它是曲線在點A 處的割線的斜率，故稱割線模量，以Es表示。,4.彈性非線性模型,4.彈性非線性模型,b：割線模量,a,圖32,c：泊松比,對于增量廣義虎克定律，用Et和 t分別表示模量和泊松比，則 無側限壓縮試驗時， , 自然有 。因此， 曲線的切線斜率，就等于增量關系中的彈性模量，稱切線模量，,4.彈性非線性模型,2、泊松比,寫出廣義虎克定律

33、的另一個式子,做無側限壓縮試驗，,，而,故,量測側向膨脹應變 ,它就是 。點繪 關系曲線，見圖32（c），則線上一點割線的斜率就等于全量的泊松比，叫割線泊松比，以 s表示， . 。自然，曲線的切線斜率具有切線泊松比的意義，以 t 表示,4.彈性非線性模型,它用于反映增量的應力應變關系。,圖32 (c),4.彈性非線性模型,復雜應力狀態下E、v的定義？,3、體積模量B,在三軸儀中對土樣施加各向相等的壓力3，也就是球應力p，逐步增大，測相應的體積應變 可點繪出 關系曲線，如圖5-34 所示，其割線斜率為割線體積模量,圖5-34,切線的斜率為切線體積模量,4.彈性非線性模型,4、剪切模量G,在三軸儀

34、試驗中對土樣逐級施加偏應力 測相應的軸向應變 ，可求得偏應變為,八面體剪應力 ：,八面體剪應變：,利用八面體面上的剪應力剪應變間的關系可確定剪切模量,4.彈性非線性模型,點繪 關系曲線，可得割線剪切模量Gs 和切線剪切模量G t 如圖35所示。,圖35,4.彈性非線性模型,(二)、雙曲線模型(鄧肯-張模型),一.切線彈性模量,康納等人發現，在加荷時， 關系曲線可以用雙曲線來擬合，如圖5-36（）所示。對于某一小主應力 來說，可以用下式表示,式中，和為試驗常數。上式也可寫成,4.彈性非線性模型,若以 為縱坐標， 為橫坐標，構成新的坐標系，則雙曲線轉換成直線，見圖36（），其斜率為，截距為。,a,

35、b,圖5-36,4.彈性非線性模型,鄧肯和張利用上述關系推導出了彈性模量公式。在 不變條件下，由式 得增量的彈性模量,將式 代入上式得,由式 得,4.彈性非線性模型,代入式 得,4.彈性非線性模型,現在來研究和的意義以及它們隨應力的變化。由式 可見，當 時,4.彈性非線性模型,而 是曲線 的初始切線斜率，其意義為初始切線模量，用Ei來表示，見圖5-36（）。因此,這表示是初始切線模量的倒數。試驗表明， 隨3 變化。如果在雙對數紙上點繪 和 的關系，,則近似地為一直線，如圖5-37所示。,4.彈性非線性模型,圖5-37,這里 為大氣壓力。引入 是為了使縱橫坐標化為無因次量。直線的截距為 ，斜率為

36、 。于是有 ， ,由此得 ，,4.彈性非線性模型,由式 還可見，當 時,這里用 表示當 時 的值，也就是 的漸近值。實際上， 不可能趨向無窮大，在達到一定值后試樣就破壞了，這時的偏應力為 ，它總是小于,叫破壞比。將式 和式 代入式 ，并利用上式，得,4.彈性非線性模型,令,4.彈性非線性模型,叫應力水平。它表示當前應力圓直徑與相同小主應力 條件下破壞應力圓直徑之比，反映了強度發揮程度。式（5-43）也可寫成,令,4.彈性非線性模型,破壞偏應力與固結壓力有關，由下圖中的幾何關系不難推出 將上式和式（5-40）代入式（5-43），得 ,Et隨應力水平增加而降低，隨固結壓力增加而增加。 包含個參數，

37、、為強度指標，另外三個數K、和Rf,4.彈性非線性模型,個參數確定： 、為強度指標， 另外三個數K、和 Rf的確定方法在推導中已作說明 Rf對不同的s3會有不同的值，取平均值,二、切線泊松比,圖5-35中所示為三軸試驗測得的 關系曲線。利用式（5-21）可由體積應變推出側向應變 。普通三軸儀豎向加荷，側向為膨脹應變，故 為負值。點繪 關系曲線，如圖5-41（）所示。庫哈威和鄧肯也用雙曲線來擬合，與式（5-34）相似，將有,式中和為兩個參數。將上式轉換成,4.彈性非線性模型,a,b,圖41,它表示，若以 為縱坐標， 為橫坐標，則試驗關系將為一直線，如圖41（）所示,4.彈性非線性模型,由上式可得

38、,如果將圖5-41（a）縱橫坐標交換，就成為 曲線。其斜率為增量泊松比,將式（5-49）代入上式，并利用式（5-35a）把所含 用應力來代替可得,4.彈性非線性模型,（5-49）,其中,4.彈性非線性模型,4.彈性非線性模型,由式（5-47），當（- ）時， 。可見是 漸近值的倒數。當（- ）時 式中，為初始切線泊松比，即各向等壓狀態下的泊松比。對于不同的，有不同的 值，在半對數紙上點繪 與 關系曲線，近似為一直線，如圖5-42所示。其截距為，斜率為。于是有初始切線泊松比為,4.彈性非線性模型,圖5-42,最后得切線泊松比公式為,4.彈性非線性模型,上式算得的 有時可能大于.，在試驗中測得的值

39、也確有可能超過.，這是由于土體存在剪脹性。然而，有限元計算中，若大于或等于.，勁度矩陣就出現異常。因此，實際計算中，當.時，令. 參數G、F、D。,三、切線體積模量,鄧肯等人還提出了一種確定切線體積模量t的方法，并在有限元計算中使用Et和Bt兩參數。這習慣上被稱做模型，而計算中使用Et和vt者被稱作模型。對于E-B模型，二維問題的剛度矩陣可表示為,在三軸試驗中施加偏應力 ，則平均正應力的變化為 。因此,4.彈性非線性模型,鄧肯等人假定，與應力水平無關，或者說與偏應力 無關，它僅僅隨固結壓力而變。對于同一， 為常量。由上式可見，這相當于假定 與 成比例關系。根據這種假定，對同一，如果點繪 /3

40、關系曲線，應為一直線，如圖5-43所示。,4.彈性非線性模型,圖5-43,4.彈性非線性模型,鄧肯等人取與應力水平.相應的點與原點連線的斜率作為平均斜率，即,4.彈性非線性模型,對于不同的， 也不同。在雙對數紙上點繪 與 關系曲線，可得一直線，如圖5-44所示，其截距為 ，斜率為，則,四、回彈模量,對卸荷和再加荷的情況，試驗表明應力應變關系曲線與加荷是不一樣的，應該由回彈試驗測定彈性模量。,圖39,4.彈性非線性模型,在圖5-39中，為加荷狀態的應力應變關系曲線，其斜率為t；而卸荷與再加荷的曲線之間略有差異，中間本應存在一個回滯環，這里近似假定它們一致，且為一直線，如AB所示，其斜率為Eur。

41、它具有卸荷再加荷情況下彈性模量的物理意義，叫回彈模量。,在曲線的不同位置卸荷，回彈模量略有不同。鄧肯等人認為可以忽略這種差異，假定 不隨 變化。但對于不同的圍壓 ，可測出顯著不同的 , 即 須隨而 變。,4.彈性非線性模型,在雙對數紙上點繪 與 關系曲線，可得一直線，如圖5-40所示，其截距為 ，斜率為。這樣回彈模量可由下式計算,圖5-40,4.彈性非線性模型,回彈標準：,4.彈性非線性模型,且SS0時，用Eur；否則，用Et,加荷函數：,fl0.75(fl)max：Eur,0.75(fl)maxfl(fl)max,（四）參數的確定及參數的變化范圍,v模型： 、C、Rf、K、n、G、F、D、

42、模型：用， Rf、 K，K和共個參數 作三軸固結排水試驗測軸向應變a和體積應變v。 點繪應力應變關系曲線。按以下方法確定參數：,（）在坐標系中繪不同3時的極限摩爾圓。如圖5-38所示。,4.彈性非線性模型,如圖5-38,（）對每一個3，點繪 - 關系曲線，近似取為直線，如圖5-36（）所示。,4.彈性非線性模型,圖5-36（）,（3）點繪 與 關系曲線，如圖5-35所示。,（）對各用式（5-42）計算。,4.彈性非線性模型,（3）點繪 與 關系曲線，如圖5-35所示。,若f值小，則曲線在高應力水平下仍然挺拔，坡度較大。,（）由試驗關系，利用式（5-21）轉換為關系。,4.彈性非線性模型,（）如

43、果要確定體積模量有關參數，可從 - - 關系曲線上，找出應力水平.時的 值近似地令,然后點繪 與 關系曲線，如圖5-42所示從擬合的直線可定K和。,4.彈性非線性模型,圖5-42,（五）對雙曲線模型的討論,1. n 模型和模型的差異,兩種模型采用了相同的彈性模量，無論加荷還是卸荷。它們的差異僅在于泊松比n 和體積模量。 在有限元計算中所得結果差異比較大； E-B模型實際上用了兩種泊松比 nt 和 nur 。這一點與v模型無論加荷還是卸荷都取一種泊松比是不同的。? 宜：nm,4.彈性非線性模型,（五）對雙曲線模型的討論,1. n 模型和模型的差異,E-B模型泊松比 大多小于 v模型泊松比,4.彈

44、性非線性模型,2.雙曲線模型反映的變形特征,（3）模型將回彈模量與加荷模量區別開來近似反映應力歷史影響。,（4）由于模型用于增量法有限元計算，故能在一定程度上反映應力路徑對變形的影響。圖5-46中有兩條應力路徑:起點A，終點B；ADB變形要大于ACB。,4.彈性非線性模型,（）通過，或隨應力的變化反映了非線性變形特性 ；實際計算結構時，各單元的E用Ev和E-B模型計算是不同的,（）模型較恰當地反映了剪切變形隨應力水平的增加而增加，隨圍壓的增加而減小；體積變形隨圍壓的增加而減小。,4.彈性非線性模型,圖5-46,（4）應力路徑對變形的影響：圖5-46中有兩條應力路徑:起點A，終點B；ADB變形要

45、大于ACB。,3.雙曲線模型的存在問題,（）不能反映剪脹剪縮性,（）不能反映軟化特性,（）不能反映各向異性，模型的建立和參數的確定完全依據大主應力方向加荷的試驗結果。,4.彈性非線性模型,（4） 模型對卸荷狀態取回彈模量，以便區別加荷模量。但沒有提出卸荷時的泊松比和卸荷時的體積模量。,4.雙曲線模型實用性,4.彈性非線性模型,首先因為它能反映土體變形的主要特點，盡管還存在許多問題。,第三，在廣泛應用中逐漸積累了使用它的經驗。,其次，該模型有一個重要特點就是簡單。,KG模型,4.彈性非線性模型,(二)、其它非線性模型,可由各向等壓固結試驗的曲線確定，由等p的三軸固結排水剪切試驗確定。,矩陣不對稱

46、,1. Naylor KG模型,4.彈性非線性模型,(二)、其它非線性模型,式中， 是非線性KG模型的五個參數。 一般地，0，0，0。 可由各向等壓固結試驗的曲線確定，由等p的三軸固結排水剪切試驗確定。,1. Naylor KG模型,4.彈性非線性模型,(二)、其它非線性模型,Kt：由各向等壓固結試驗曲線確定,積分,（1）非線性擬合；（2）圖解法+線性擬合,(a),p曲線 (b),p曲線,1. Naylor KG模型,4.彈性非線性模型,(二)、其它非線性模型,（2）圖解法+線性擬合,Kt為切線斜率,1. Naylor KG模型,4.彈性非線性模型,(二)、其它非線性模型,（1）非線性擬合 （

47、2）數值解：,由等p(即p保持不變)三軸固結排水剪試驗，得到不同等p條件下的qes曲線 Gt為切線斜率,5.彈塑性模型,彈塑性模型把在荷載作用下所發生的變形分成兩部分：一是彈性變形，即可恢復的變形；另一是塑性變形，即不可恢復的變形。,引言,彈性變形可以用廣義虎克定律來求解， 塑性變形則要用塑性力學的方法來建立應力應變關系。,破壞準則和屈服準則,硬化規律,流動法則,三大假定：,5.彈塑性模型,為了建立塑性變形的關系式，須要給出三個條件，即三方面的假定。 對這三個假定采用的具體形式不同就形成了不同的彈塑性模型。,一、屈服準則和破壞準則,塑性變形并不是任何荷載下都發生，而是加到一定的荷載時才發生。究

48、竟達到什么應力狀態才發生，就要有一個判別標準，這個標準叫做屈服準則 。,荷載逐步增加，變形逐步發展，達到某種應力狀態時，土體破壞。這種應力狀態是一種極限應力狀態。判斷是否達到這一狀態的標準，叫破壞準則。,屈服是發生塑性變形的下限應力狀態，破壞則是其上限應力狀態。因此討論塑性變形不能不明確其上下限。,5.彈塑性模型,一、屈服準則和破壞準則,屈服-準則,破壞-準則,5.彈塑性模型,（一）破壞準則,土體的破壞決定于應力狀態，故破壞準則可寫成,其中， 是應力分量的某種函數，叫破壞函數；k f是試驗確定的常數。,破壞函數在主應力空間內代表一曲面，叫破壞面。若表示應力狀態的點落在破壞面以內，材料不破壞；若

49、落在破壞面上，材料破壞。應力狀態永遠不能超出破壞面。,5.彈塑性模型,土體的破壞有兩種型式：剪切破壞和拉裂破壞。但由于土的抗拉強度小，往往假定為0，不考慮拉裂破壞。下面所講的破壞準則主要指剪切破壞準則。 建立破壞準則，其實就是將抗剪強度以某種應力分量的形式表達出來。 莫爾-庫倫破壞準則：,5.彈塑性模型,破壞準則主要有以下幾種：,1、屈雷斯卡 準則,這一準則是假定最大剪應力達到某一數值時破壞，即,如果主應力的大小不確定，可寫成,5.彈塑性模型,它在主應力空間內是以空間主對角線為中心軸的正六角柱面，見圖5-48（a）。上式也可用應力不變量來表示，即,5.彈塑性模型,圖5-48,平面形狀？,屈雷斯

50、卡 準則: 破壞與球應力無關,屈雷斯卡 準則包含了破壞與球應力無關的假定； 對巖土體，破壞與球應力有關，故,5.彈塑性模型,圖5-48,廣義屈雷斯卡 準則,平面形狀？,飽和土不排水剪強度為,其摩爾圖包線如圖5-48（b）所示，Cu為不排水粘聚力，與式（5-54）相比可見，kfCu，屈雷斯卡準則很好地體現了飽和土不排水條件下的強度特征。,5.彈塑性模型,2、米塞斯 準則,該準則是假定偏應力q達到一定值時破壞，即,它在主應力空間為圓柱面如圖5-49（a）所示。,5.彈塑性模型,平面形狀？,子午面上破壞曲線的形狀？,屈雷斯卡 準則: 破壞與球應力無關,b,5.彈塑性模型,廣義米塞斯準則,考慮球應力對

51、強度的影響，將kf用I1 （I1=1+2+3）的函數代替，則成為廣義米塞斯準則，在主應力空間為圓錐面，如圖5-49（b）所示。,b,圖5-49,5.彈塑性模型,廣義米塞斯準則,在qp二維應力空間為一傾斜直線如圖5-49（c）所示。 劍橋模型中破壞準則為q=Mp,q=M（p+pr）,子午面上破壞曲線的形狀？,5.彈塑性模型,DruckerPrager準則,3、摩爾庫侖 準則,對土體，摩爾庫侖強度理論已將某一面上的抗剪強度轉換為達到破壞時單元體主應力之間的關系，它是現成的破壞準則。其表達式為,或,5.彈塑性模型,在保持 相同的情況下，按摩爾庫倉準則，三軸壓縮和拉伸具有相同強度（不受 影響）。而實際

52、試驗結果，在相同情況下，拉伸試驗所得的強度常高于壓縮試驗測得的強度。,它表示破壞與2無關，在主應力空間破壞面是2軸平行的面，且投影到1軸與3軸構成的平面內，是一直線。如果1、2、3的大小不確定，則為6個面，它們在主應力空間構成不等角的六角錐面，如圖5-50所示,圖5-50,5.彈塑性模型,PI平面內是一等邊不等角的六邊形。 b=0 三軸壓縮 b=1三軸伸長,圖5-50,5.彈塑性模型,b0,b1,q0,q1,4、拉德鄧肯 準則,拉德和鄧肯根據砂土真三軸試驗提出,這一破壞準則的破壞面是曲邊三角形。見圖5-51,5.彈塑性模型,5、松岡元中井 準則,6、畢肖普準則,7、方開澤準則,5.彈塑性模型,

53、8、德洛克普拉格 準則（一種廣義米塞斯準則）,上述各破壞準則之間的主要差別在于反映中主應力對強度的影響不同。,5.彈塑性模型,8、德洛克普拉格 準則（一種廣義米塞斯準則）,5.彈塑性模型,（二）屈服準則,實際土體中的受力情況是復雜的，往往不是單向加載，而是三個方向都有應力作用。若存在側向壓力，土體強度會提高，荷載要更大才會屈服。屈服要將三個方向的應力綜合起來考慮，這就要根據三軸試驗，乃至真三軸試驗建立綜合的屈服準則，它可表示為,5.彈塑性模型,荷載加到什么程度材料才會屈服呢，就要根據力學性試驗給出一個屈服的準則。,上式意味著各應力分量的某種函數組合達到一個臨界值k時，材料才會屈服。f 叫屈服函

54、數。與坐標軸方向的選取無關，故可將取某種與坐標方向無關的應力不變量。,k是與應力歷史有關的常數。對某一k值，f(sij)在應力空間對應一確定的曲面，叫屈服面，如圖5-54所示。當k值變化時， f(sij)對應一系列的屈服面。,圖5-54,5.彈塑性模型,5.彈塑性模型,理想彈塑性材料在未屈服時，只有彈性變形，一旦屈服，就產生塑性變形，且塑性變形不斷發展直至破壞，破壞準則也就是屈服準則。Kf 是一不變的常數，屈服面是一固定的曲面，即破壞面。 對于巖土類材料，屈服和破壞是不同的。,在運用屈服準則時，由當前應力各分量計算f值。若fK，則材料處于彈性變形階段，在應力空間內相應的點落在屈服面以內；當 f

55、=K 時材料屈服。f也有可能超過原有的K。但此時Kf提高了，且仍然保持 f=K。這是由于屈服后材料硬化的緣故。,5.彈塑性模型,5.彈塑性模型,在圖5-55（a）中，初始加荷時，在應力應變曲線的A點材料屈服。超過A點，譬如達到B點退荷，再加荷，則當應力達到 A 時并不屈服，而是達到 B時才屈服。可見屈服的標準改變了，也就是材料硬化了，K改變了。 K如何變化的規律，叫硬化規律。,由于加荷過程中K變化，f值也變化，在應力空間對應一系列互不相交的屈服面，如圖5-55（b）所示。,5.彈塑性模型,對于處于屈服狀態的體系，即當前應力處于屈服面上，施加一新的應力增量，將有如下三種可能。 （1） 的方向指向

56、屈服面內部。這將使 也就是 ，可見應力增加后進入彈性狀態，這叫卸載。,5.彈塑性模型,（2） 指向屈服面外部。新的應力狀態到了原屈服面的外部，轉入新的屈服面上，這時 。同時，k增加，發生塑性變形。 （3） 沿著屈服面的切線方向，則df=0，顯然有 。應力狀態改變后仍處于同一屈服面上，不引起新的塑性變形，這叫中性加載，或中性變載。,5.彈塑性模型,5.彈塑性模型,屈服函數一般地是三個應力不變量的函數，如1、2、3或I1、I2、I3，或I1、J2、J3。 不少模型假定f僅僅是第一和第二應力不變量的函數，或者說是p和q的函數，寫成f(p,q)，而忽略第三應力不變量的影響。這樣函數f(p,q)就和廣義

57、米塞斯破壞準則一樣，在主應力空間對應著以空間對角線為軸的回轉面。由于自變量只有兩個，便可在以p、q為坐標軸的平面標系里表示屈服函數。屈服面就成了屈服曲線，或者叫屈服軌跡。,5.彈塑性模型,金屬材料沒有塑性體積應變，屈服僅僅被看作發生塑性剪切應變。屈服函數與破壞函數形式一樣，屈服面即破壞面。,5.彈塑性模型,土體有體積變形。 在p-q平面內是向上傾斜的曲線，除原點以外不與p軸相交，如圖5-57（a）所示。,5.彈塑性模型,巖土類材料的顯著特點就是存在塑性體積應變，即使q=0，p也會引起塑性體積應變，會發生屈服。因此屈服面應該與p軸相交，如圖5-57（b）所示。彈性區不再是開口的，而是被“帽子”封閉起來，采用這類屈服面的模型叫“帽子”類模型。只有“帽子”類的模型才能較好地反映土的體積變形特性,5.彈塑性模型,考慮到開口的錐形屈服面主要反映塑性剪切變形，而帽蓋形屈服面主要反映塑性體積變形， 因此人們提出將兩者結合起來的雙屈服面模型，甚至多屈服面模型。 這種雙屈服面模型可以克服單屈服面模型的一些缺點，但其參數常