1、24.1.4 圓周角,復習舊知：請說說我們是如何給 圓心角下定義的，試回答？,頂點在圓心的角叫圓心角。,能仿照圓心角的定義， 給下圖中象ACB 這樣的角下個定義嗎？,頂點在圓上，并且兩邊都和圓相交的角叫做圓周角,問題探討：,判斷下列圖形中所畫的P是否為圓周角？并說明理由。,P,P,P,P,不是,是,不是,不是,頂點不在圓上。,頂點在圓上，兩邊和圓相交。,兩邊不和圓相交。,有一邊和圓不相交。,有沒有圓周角？,有沒有圓心角？,它們有什么共同的特點？,它們都對著同一條弧,當球員在B,D,E處射門時,他所處的位置對球門AC分別形成三個張角ABC, ADC,AEC.這三個角的大小有什么關系?.,你能發現

2、什么規律？,實踐活動,畫一個圓,再任意畫一個圓周角,看一下圓心在什么位置?,圓心在一邊上,圓心在角內,圓心在角外,如圖,觀察圓周角ABC與圓心角AOC,它們的大小有什么關系?,圓周角和圓心角的關系,1.首先考慮第一種情況： 當圓心O在圓周角(ABC)的一邊(BC)上時,圓周角ABC與圓心角AOC的大小關系.,AOC是ABO的外角，,AOC=B+A.,OA=OB，,A=B.,AOC=2B.,即 ABC = AOC.,你能寫出這個命題嗎?,同弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半.,期望:你可要理解并掌握這個模型.,第二種情況：如果圓心不在圓周角的一邊上,結果會怎樣? 2.當圓心O在圓周角(ABC

3、)的內部時,圓周角ABC與圓心角AOC的大小關系會怎樣?,提示:能否轉化為1的情況?,過點B作直徑BD.由1可得:, ABC = AOC.,能寫出這個命題嗎?,同弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半.,ABD = AOD, CBD = COD,第三種情況：如果圓心不在圓周角的一邊上,結果會怎樣? 3.當圓心O在圓周角(ABC)的外部時,圓周角ABC與圓心角AOC的大小關系會怎樣?,提示:能否也轉化為1的情況?,過點B作直徑BD.由1可得:, ABC = AOC.,你能寫出這個命題嗎?,同弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半.,ABD = AOD,CBD = COD,鞏固練習：,如圖，點A,

4、B,C,D在同一個圓上，四 邊形ABCD的對角線把4個內角分成 8個角，這些角中哪些是相等的角？,圓心角的度數和它所對的弧的度數的關系,我們把頂點在圓心的周角等分成360份時，每一份的圓心角是1的角。,在同圓或等圓中，圓心角的度數和它所對的弧的度數相等。,因為同圓中相等的圓心角所對的弧相等，所以整個圓也被等分成360份。我們把每一份這樣的弧叫做1的弧。,在同圓或等圓中，,D,A,B,C1,O,C2,C3,歸納：,練習：,2.如圖，圓心角AOB=100，則ACB=_。,1.求圓中角X的度數,C,C,D,B,在同圓或等圓中，如果兩個圓周角相等，它們所對弧一定相等嗎？為什么？,在同圓或等圓中，如果兩

5、個 圓周角相等，它們所對的弧 一定相等,當球員在B,D,E處射門時,他所處的位置對球門AC分別形成三個張角ABC, ADC,AEC.這三個角的大小有什么關系?.,規律：都相等，都等于圓心角AOC的一半,結論：同弧或等弧所對的圓周角相等。,A,B,C,D,在同圓或等圓中,相等的圓周角所對的弧相等.,則 D=A,ABCD,問題1：如圖，AB是O的直徑，請問： C1、C2、C3的度數是 。,推論：半圓（或直徑）所對的圓周角是直角；90的圓周角所對的弦是直徑。,問題2： 若C1、C2、C3是直角，那么AOB是 。,90,180,探究與思考：,練一練,1、如圖，在O中，ABC=50， 則AOC等于（ ）

6、 A、50； B、80； C、90； D、100,D,2、如圖，ABC是等邊三角形， 動點P在圓周的劣弧AB上，且不 與A、B重合，則BPC等于（ ） A、30； B、60； C、90； D、45,B,練一練,3、如圖，A=50， AOC=60 BD是O的直徑，則AEB等于（ ） A、70； B、110； C、90； D、120,B,4、如圖，ABC的頂點A、B、C 都在O上，C30 ，AB2， 則O的半徑是 。,解：連接OA、OB,C=30 ，AOB=60 ,又OA=OB ，AOB是等邊三角形,OA=OB=AB=2，即半徑為2。,2,3：已知O中弦AB的等于半徑， 求弦AB所對的圓心角和圓周

7、角的度數。,圓心角為60度,圓周角為 30 度,或 150 度。,在O中，CBD=30 ,BDC=20,求A,在O中，CBD=30 ,BDC=20,求A,2、如圖，在O中，AB為直徑，CB = CF, 弦CGAB，交AB于D，交BF于E 求證：BE=EC,例: 如圖，AB是O的直徑AB=10cm, 弦AC=6cm,ACB的平分線交O于點D . 求 BC, AD ,BD 的長.,10,6,練習:如圖 AB是O的直徑, C ,D是圓上的兩點,若ABD=40,則BCD=.,40,5.如圖，你能設法確定一個圓形紙片的圓心嗎？你有多少種方法？與同學交流一下,D,O,O,O,方法一,方法二,方法三,方法四

8、,A,B,練 習,例2 在足球比賽場上，甲、乙兩名隊員互相配合向對方球門MN進攻，當甲帶球沖到A點時，乙已跟隨沖到B點(如圖2)此時甲是自己直接射門好，還是迅速將球回傳給乙，讓乙射門好？,分析 在真正的足球比賽中情況會很復雜，這里僅用數學方法從兩點的靜止狀態加以考慮，如果兩個點到球門的距離相差不大，要確定較好的射門位置，關鍵看這兩個點分別對球門MN的張角大小，當張角較小時，則球容易被對方守門員攔截.怎樣比較A、B兩點對MN張角的大小呢？,解 考慮過M、N以及A、B中的任一點作一圓，這里不妨作出BMN，顯然，A點在BMN外，設MA交圓于C，則 MANMCN，而MCN=MBN， 所以MANMBN

9、因此，甲應將球回傳給乙，讓乙射門.,如圖所示，已知ABC的三個頂點都在O上，AD是ABC的高，AE是O的直徑. 求證：BAECAD,第二課時應用,回顧：圓周角定理及推論？ 思考：判斷正誤： 1.同弧或等弧所對的圓周角相等（） 2.相等的圓周角所對的弧相等（） 3.90角所對的弦是直徑（） 4.直徑所對的角等于90（ ） 5.長等于半徑的弦所對的圓周角等于30（ ）,例 如圖，O直徑AB為10cm，弦AC為6cm，ACB的平分線交O于D，求BC、AD、BD的長,又在RtABD中，AD2+BD2=AB2，,解：AB是直徑，, ACB= ADB=90,在RtABC中，,CD平分ACB，,AD=BD.

10、,例題,3.求證：如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個三角形是直角三角形（提示：作出以這條邊為直徑的圓.）,A,B,C,O,求證： ABC 為直角三角形.,證明：,CO= AB,以AB為直徑作O，,AO=BO，,AO=BO=CO.,點C在O上.,又AB為直徑,ACB= 180= 90., ABC 為直角三角形.,課本練 習,課堂練習,1.如圖，OA、OB、OC都是O的半徑，AOB=2BOC，ACB與BAC的大小有什么關系？為什么？,2.如圖，A、B、C、D是O上的四個點，且 BCD=100，求BOD（ 所對的圓心角） 和BAD的大小。,探究,3、如圖，AB是O的直徑，BD是O的弦，延長BD到點C，使DC=BD，連接AC交O于點F，點F不與點A重合。 （1）AB與AC的大小有什么關系？為什么？ （2）按角的大小分類，請你判斷ABC屬于哪一類三角形，并說明理由。,ABC是銳角三角形,解：（1）AB=AC。,證明：連接AD,又DC=BD，AB=AC。,（2）ABC是銳角三角形。,由（1）知，B=C90 ,連接BF，則AFB=90 ，A90 ,AB是直徑，ADB=90，,1.AB、AC為O的兩條弦，延長CA到D，使 AD=AB，如果ADB=35 ， 求BOC的度數。,BOC =140,A=21,