1、第二章歸納總結知識結構知識梳理1.深化對正、余弦定理的理解正弦定理與余弦定理是三角形邊角關系的重要定理，要理解兩個定理及其變形.(1)正弦定理：在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等，即：在ABC中，.正弦定理有以下三種變形形式：a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC;sinA=;其中R是ABC外接圓的半徑.a：b：c=sinA：sinB：sinC.(2)余弦定理：三角形中任何一邊的平方等于其他兩邊的平方的和減去這兩邊與它們的夾角的余弦的積的兩倍.即：a2=b2+c2-2bccosA,b2=a2+c2-2accosB, c2=a2+b2-2abcosC.余弦定理的推論：co

2、sA=,cosB=,cosC=.2.剖析斜三角形的類型與解法正弦定理、余弦定理的每一個等式中都包含三角形的四個元素（三角形有三個角和三條邊，三角形的邊與角稱為三角形的元素），如果其中三個元素是已知的（至少要有一個元素是邊），那么這個三角形一定可解.關于斜三角形的解法，根據已知條件及適用的定理，可以歸納為以下四種類型（設三角形為ABC,A,B,C所對的邊分別為a,b,c）:已知條件應用定理一般解法一邊和兩角（如a,B,C）正弦定理由A+B+C=180,求角A；由正弦定理求出b與c，在有解時只有一解. 兩邊和夾角（如a,b,C）余弦定理正弦定理由余弦定理求第三邊c;由正弦定理求出一邊所對的角；再由

3、A+B+C=180求出另一角，在有解時只有一解. 三邊（a,b,c）余弦定理由余弦定理求出角A、B；再利用A+B+C=180,求出角C，在有解時只有一解. 兩邊和其中一邊的對角（如a,b,A）正弦定理余弦定理由正弦定理求出角B；由AB+C=180,求出角C；再利用正弦定理或余弦定理求c,可有兩解、一解或無解.3.解三角形常用的邊角關系及公式總結（1）三角形內角和等于180.(2)兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊.(3)三角形中大邊對大角，小邊對小角.(4)三角函數的恒等變形：sin(A+B)=sinC,cos(A+B)=-cosC,sin.(5)三角恒等變換公式，如和、差角公式，倍角公式

4、的正用與逆用等.4.解讀判斷三角形形狀的兩種方法判斷三角形的形狀，應圍繞三角形的邊角關系進行思考，此類題目一般采用以下兩種方法求解：（1）利用正弦定理化邊為角，通過三角運算判斷三角形的形狀.(2)利用余弦定理化角為邊，通過代數運算判斷三角形的形狀.注意：根據余弦定理判斷三角形的形狀時，當a2+b2c,b2+c2a2,c2+a2c2,b2+c2a2,c2+a2b2中有一個關系式成立時，并不能得出該三角形為銳角三角形的結論.5.常用三角形面積公式總結（1）SABC=aha=bhb=chc(ha,hb,hc分別為a,b,c邊上的高).（2）SABC=absinC=bcsinA=acsinB (R為A

5、BC的外接圓半徑).(3)SABC= (p=（a+b+c）).(4)SABC= (a+b+c)r(r為ABC的內切圓半徑).6.點擊正、余弦定理解幾何問題的注意點（1）幾何圖形中幾何性質的挖掘往往是解題的切入點，或是問題求解能否繼續的轉折點.(2)根據條件或圖形，找出已知，未知及求解中需要的三角形，用好三角恒等變形公式，正弦定理，余弦定理，或是綜合運用這兩個定理.(3)要有應用方程思想解題的意識，還要有引入參數，突出主元，簡化問題的解題意識.7.細解正、余弦定理解實際應用題的步驟實際應用題的本質就是解三角形，無論是什么類型的題目，都要先畫出三角形的模型，再通過正弦定理或余弦定理進行求解.解三角

6、形應用題的一般步驟是：（1）讀懂題意，理解問題的實際背景，明確已知和所求，理清量與量之間的關系（2）根據題意畫出示意圖，將實際問題抽象成解三角形模型.(3)選擇正弦定理或余弦定理求解.(4)將三角形的解還原為實際問題，注意實際問題中單位、近似計算要求.專題探究專題1正弦定理、余弦定理在解三角形中的應用應用正、余弦定理解題時，要熟練、準確地進行三角恒等變換，同時應注意三角形的一些隱含條件.例1在ABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c且4sin2 cos2B=.(1)求角B的度數；（2）若b=,a+c=3,且ac,求a,c的值.分析（1）將條件等式轉化為關于B的三角函數關系式，通過解方程求得

7、角B.（2）由余弦定理列出關于a,c的方程組即可求出a,c的值.解析（1）在ABC中，由A+B+C180,得sin=cos.又由4sin2-cos2B=，得4cos2-2cos2B+1=.即4cos2B-4cosB+1=0,cosB=,B=60.（2）由余弦定理，得b2=a2+c2-2accosB,又b=,a+c=3,3=(a+c) 2-2ac-2accosB,ac=2.a+c=3有ac=2ac解得a=2,c=1.說明ABC中的隱含條件有：A+B+C=,sin(A+B)=sinC,cos(A+B) =-cosC,sin等.變式應用1已知k是整數，鈍角三角形ABC的三個內角A,B,C所對的邊分別

8、為a,b,c.(1)若方程x2-2kx+3k2-7k+3=0有實根，求k的值；（2）對于（1）中的k值，若sinC=,且有關系式（c-b）sin2A+bsin2B=csin2C,試求角A,B，C的度數.解析 (1)方程x2-2kx+3k2-7k+3=0有實根，=4k2-4(3k2-7k+3)0，即2k2-7k+30.k3,又k為整數，k=1,2,3.(2)在鈍角三角形ABC中，0sinC1,k=1,sinC=.C=45或C=135.(c-b)sin2A+bsin2B=csin2C,由正弦定理a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC,得(c-b)a2+b3-c3=0，即(b-c)(b

9、2+c2-a2+bc)=0,b=c或b2+c2-a2+bc=0.當b=c時，B=45或135，與ABC為鈍角三角形矛盾.b2+c2-a2+bc=0,由余弦定理，得cosA=-,A=120,C=45,B=15.專題三角形中的幾何計算三角形中的幾何計算實際體現了三角形的幾何性質的應用.我們在利用正、余弦定理求解三角形問題時，是通過代數運算去判斷三角形的邊角關系.數形結合思想是通常情況下解決數學問題的途徑，如果我們能從圖形中尋找其幾何關系，并構造相應的三角形，則幾何圖形之間的關系就可以轉化為解三角形的問題解決.例2如圖所示，已知MON=60,Q是MON內一點，它到兩邊的距離分別為2和11，求OQ的長

10、.分析由Q點向MON的兩邊作垂線，則垂足與O,Q四點共圓，且OQ為圓的直徑，由此可得OQ的長.解析作QAOM于A,QBON于B，連結AB,則QA=2,QB=11,且O,A,Q,B都在以OQ為直徑的圓上.AOB和AQB為同一弦AB所對的圓周角，且兩角互補.AOB=60,AQB=120.在AQB中，由余弦定理，得AB2=AQ2+BQ2-2AQBQcosAQB=22+112-2211cos120=147,AB=7.在RtOBQ中，OQ=.又在AOB中，,OQ=14.說明與多邊形問題一樣，其他的幾何問題也可以轉化為三角形問題，關鍵在于構造三角形（一般可以構造直角三角形）求解.本題的關鍵是通過過一點作角

11、兩邊的垂線所圍成四邊形的對角互補，可知此四邊形內接于一圓，OQ為圓的直徑.變式應用2如圖，已知在梯形ABCD中，CD=2,AC=,BAD=60,求梯形的高.解析BAD=60,ADC=180-BAD=120.CD=2，AC=，根據正弦定理，得，sinCAD=.cosCAD=,sinACD=sin(60-CAD)=sin60cosACD-cos60sinCAD=.AD=3.h=ADsin60=專題3判斷三角形的形狀例3在ABC中，若B=60,2b=a+c,試判斷ABC的形狀.分析解決本題有兩種方法：一是將角化成邊，一是將邊化成角.解析解法一：由正弦定理，得2sinB=sinA+sinC.又B=60

12、,A+C=120.即A=120-C,代入上式，得2sin60=sin(120-C)+sinC.整理，得.sin(C+30)=1,C+30=90,C=60,A=60.ABC為正三角形.解法二：由余弦定理，得b2=a2+c2-2accosB.B=60且b=,（）2=a2+c2-2accos60.整理，得(a-c) 2=0,a=c,a=b=c,ABC為正三角形.說明在邊角混合條件下判斷三角形的形狀時，可考慮將邊化角，從角的關系判斷；也可考慮將角化邊，從邊的關系判斷.變式應用3ABC中，若b2sin2C+c2sin2B=2bccosBcosC,試判斷三角形的形狀.解析解法一：將已知等式變形為b(1-c

13、os2C)+c2(1-cos2B)=2bccosBcosC,即有b2+c2-b2（）2-c2（）2=2bc,即b2+c2=a2.所以A=90,所以ABC為直角三角形.解法二：由=2R,則條件可化為4R2sin2Csin2B+4R2sin2Csin2B=8R2sinBsinCcosBcosC.又sinBsinC0,所以sinBsinC=cosBcosC，即cos（B+C）=0.又0B+C180,所以B+C=90,所以A=90.故ABC為直角三角形.命題方向正、余弦定理的實際應用例4在某海濱城市附近海面有一臺風，據監測，當前臺風中心位于城市O的南偏東方向300km的海面P處，并且以20km/h的速

14、度向西偏北45的方向移動.臺風侵襲的范圍為圓形區域，當前半徑為60km，并以10km/h的速度不斷增大.問幾小時后該城市開始受到臺風的侵襲？分析本題需要解決兩個問題：一是t h后臺風侵襲的半徑大小；二是t h后城市到臺風中心Q的距離，若t時該城市受到侵襲，則此時OQ的大小應不大于臺風侵襲的半徑.解析設t h臺風中心為Q，此時臺風侵襲的圓形區域半徑為（10t+60）km,若在t時刻城市O受到臺風的侵襲，則OQ10t+60.由余弦定理，知OQ2=PQ2+PO2-2PQPOcosOPQ，由于PO=300，PQ=20t，cosOPQ=cos(-45)=coscos45+sinsin45=.OQ2=202t2-9600t+3002，因此202t2-9600t+3002(10t+60) 2,即t2-36t+2880,解得