1、高三數學第一輪復習：代數解答題選講人教實驗A版（文）【本講教育信息】一. 教學內容：代數解答題選講二. 重點、難點 1. 三角、向量、綜合2. 函數、導數、綜合3. 數列、綜合【典型例題】例1 在中， 所對邊分別為。已知，且。（I）求大小。（II）若求的面積S的大小。解：（I）， 0 （II） 中， 。 的面積 例 2 已知函數的導數為實數，。（I）若在區間上的最小值、最大值分別為、1，求、的值；（II）在（I）的條件下，求經過點且與曲線相切的直線的方程；（III）設函數，試判斷函數的極值點個數。解：（I）由已知得，由，得，。 ， 當時，遞增；當時，遞減。 在區間上的最大值為，。又， 。由題意

2、得，即，得。故，為所求。 （II）解：由（1）得，點在曲線上。（1）當切點為時，切線的斜率， 的方程為，即。 （2）當切點不是切點時，設切點為，切線的斜率， 的方程為 。又點在上， ， ， ， ，即，。 切線的方程為。故所求切線的方程為或。 （ 或者：由（1）知點A（0，1）為極大值點，所以曲線的點A處的切線為，恰好經過點，符合題意。）（）解： 。 。 二次函數的判別式為，令，得：令，得 ， 當時，函數為單調遞增，極值點個數為0；當時，此時方程有兩個不相等的實數根，根據極值點的定義，可知函數有兩個極值點。 例 3 數列中，其前項的和為。（）設，求證：數列是等差數列；（）求的表達式；（）求證：。

3、（I）證明： ，是首項為2，公差為1的等差數列。 （II）解：=， =。 （III）證明： ， 。 。例 4 中，角A、B、C所對的邊分別為、，已知（1）求的值；（2）求的面積。解：（1）由，得為銳角， （2） 又，得， （若通過得出，求出，未舍去，得兩解，扣2分。）例 5 數列滿足，（），且從第二項起是公差為的等差數列， 是的前項和。（1）當時，用與表示與； （2）若在與兩項中至少有一項是的最小值，試求的取值范圍；（3）若為正整數，在（2）的條件下，設取為最小值的概率是，取為最小值的概率是，比較與的大小。解：（1）由已知，當時，即。 。 （2）解法一：由已知，當時，是等差數列，公差為，數列遞

4、增。若是的最小值，則，即，得。 若是的最小值，則，即，得。 當與兩項中至少有一項是的最小值時，的取值范圍是。 （2）解法二：由（1），當時，且也滿足此式， 在與兩項中至少有一項是的最小值， ， 解得，從而的取值范圍是。 （3）由（2）知，26，若是的最小值，則，即 若是的最小值，即 。例 6 已知二次函數（）。（1）當時，（）的最大值為，求的最小值；（2）對于任意的，總有|。試求的取值范圍；（3）若當時，記，令，求證：成立。解：由知故當時取得最大值為，即，所以的最小值為； 對于任意的，總有|，令，則命題轉化為，不等式恒成立，當時，使成立； 當時，有 對于任意的恒成立；，則，故要使式成立，則有，

5、又，故要使式成立，則有，由題。綜上，為所求。 （3）由題意，令則在時單調遞增，。 又，綜上，原結論成立。 例 7 已知在ABC中，sinA（sinBcosB）sinC0，sinBcos2C0，求角A、B、C的大小解：解法一 由得所以即因為所以，從而由知 從而。由即由此得所以解法二：由由、，所以即由得 所以即 因為，所以由從而，知B+2C=不合要求。再由，得 所以例 8 在公差為d（d0）的等差數列an和公比為q的等比數列bn中，已知a1=b1=1，a2=b2，a8=b3。 （1）求數列an與bn的通項公式； （2）令，求數列cn的前n項和Tn。 解：（1）由條件得： （2） 6Tn=6+662

6、+1163+（5n4）6n ： 例 9 定義域為R的偶函數，方程在R上恰有5個不同的實數解。 （1）求x0時，函數的解析式； （2）求實數a的取值范圍。 解：（1）設x0為偶函數， （2）為偶函數，=0的根關于0對稱。 由=0恰有5個不同的實數解，知5個實根中有兩個正根，二個負根，一個零根。 且兩個正根和二個負根互為相反數 原命題圖像與x軸恰有兩個不同的交點下面研究x0時的情況 即 為單調增函數，故不可能有兩實根 a0 令當遞減， 處取到極大值 又當要使軸有兩個交點當且僅當0解得，故實數a的取值范圍（0，）方法二：（2）為偶函數， =0的根關于0對稱。 由=0恰有5個不同的實數解知5個實根中有

7、兩個正根，二個負根，一個零根。 且兩個正根和二個負根互為相反數 原命題圖像與x軸恰有兩個不同的交點下面研究x0時的情況與直線交點的個數。 當時，遞增與直線y=ax下降或是x國，故交點的個數為1，不合題意 a0由幾何意義知與直線y=ax交點的個數為2時，直線y=ax的變化應是從x軸到與相切之間的情形。 設切點 切線方為 由切線與y=ax重合知故實數a的取值范圍為（0，）例 10 已知函數，。（1）求函數在內的單調遞增區間；（2）若函數在處取到最大值，求的值；（3）若（），求證：方程在內沒有實數解。（參考數據：，）解：（1）， 令（）則，由于，則在內的單調遞增區間為和；（注：將單調遞增區間寫成的形

8、式扣1分）（2）依題意，（），由周期性，；（3）函數（）為單調增函數，且當時，此時有；當時，由于，而， 則有，即，即，而函數的最大值為，且（）為單調增函數，則當時，恒有，綜上，在恒有，即方程在內沒有實數解。 例 11 已知函數（）的圖象為曲線。（1）求過曲線上任意一點的切線斜率的取值范圍；（2）若在曲線上存在兩條相互垂直的切線，求其中一條切線與曲線的切點的橫坐標的取值范圍；（3）試問：是否存在一條直線與曲線C同時切于兩個不同點？如果存在，求出符合條件的所有直線方程；若不存在，說明理由。解：（1），則，即過曲線上任意一點的切線斜率的取值范圍是；（2）由（1）可知，解得或，由或得：；（3）設存在過

9、點A的切線曲線C同時切于兩點，另一切點為B，則切線方程是：， 化簡得：， 而過B的切線方程是， 由于兩切線是同一直線， 則有：，得， 又由， 即 ，即 即， 得，但當時，由得，這與矛盾。 所以不存在一條直線與曲線C同時切于兩點。-例12 已知數列的通項公式是，數列是等差數列，令集合，。將集合中的元素按從小到大的順序排列構成的數列記為。（1）若，求數列的通項公式；（2）若，且數列的前5項成等比數列，求滿足的正整數的個數。解：（1）若，因為5，6，7 ，則5，6，7，由此可見，等差數列的公差為1，而3是數列中的項，所以3只可能是數列中的第1，2，3項， 若，則， 若，則，若，則；（注：寫出一個或兩

10、個通項公式得2分，全部寫出得4分）（2）首先對元素2進行分類討論： 若2是數列的第2項，由的前5項成等比數列，得，這顯然不可能； 若2是數列的第3項，由的前5項成等比數列，得，因為數列是將集合中的元素按從小到大的順序排列構成的，所以，則，因此數列的前5項分別為1，2，4，這樣，則數列的前9項分別為1，2，4，8，上述數列符合要求； 若2是數列的第項（），則，即數列的公差，所以，1，2，4，所以1，2，4在數列的前8項中，由于，這樣，以及1，2，4共9項，它們均小于8，即數列的前9項均小于8，這與矛盾。綜上所述，其次，當時， ， ，當時， ，因為是公差為的等差數列，所以，所以，此時的不符合要求。

11、所以符合要求的一共有5個。【模擬試題】（答題時間：50分鐘）1. 已知銳角三角形的三邊為連續整數，且角、滿足。（1） 求角的取值范圍及三邊的長；（2） 求的面積。（1） 設的三邊為，（，），由題設，2. 已知函數，且。（1）求實數的值；（2）判斷函數在區間上的單調性，并用函數單調性的定義證明；（3）求實數的取值范圍，使得關于的方程分別為： 有且僅有一個實數解； 有兩個不同的實數解； 有三個不同的實數解。3. 已知向量，若，且。（）試求出和的值； （）求的值。4. 已知數列的前n項和滿足，又（）求k的值； （）求；（）是否存在正整數m，n，使成立？若存在求出這樣的正整數；若不存在，請說明理由。5

12、. 已知，求函數的單調區間。6. 數列滿足遞推式，其中，（1）求； （2）若存在一個實數，使得為等差數列，求值； （3）求數列的前項之和。7. 已知函數（1）上存在單調遞增區間，求的取值范圍。（2）若存在實數，是否存在實數處的切線斜率為0，若存在，求出一組實數a， b， c，若不存在，說明理由。8. 已知，且，數列的前項和為，它滿足條件。數列中，。（1）求數列的前項和；（2）若對一切都有，求的取值范圍。9. 設數列的前n項和為Sn=2n2，為等比數列，且（1）求數列和的通項公式；（2）設，求數列的前n項和。試題答案1. 解：由題意，即，得。 當時，得，故角所對的邊為，角所對的邊為，于是有，得，

13、又，得，解得，舍去； 當時，得，故角所對的邊為，角所對的邊為，于是有，得，又，得，解得，故的三邊長為，。2. 解：（1）由，得， ， 。 （2）由（1），從而，只需研究在上的單調性。當時，。設，且，則， ， ， ，即。 函數在區間上是單調遞增函數。 （3）原方程即為 恒為方程的一個解。 若時方程有解，則，解得，由，得 ； 若且時方程有解，則，解得， 由且，得或。 綜上可得，當時，方程有且僅有一個解； 當時，方程有兩個不同解； 當時，方程有三個不同解。 3. 解：（I） 即 （II）又4. 解：（I） 又 （II）由（I）知 當時， 得 又，且， 于是是等比數列，公比為 所以 （III）由（II）知不等式 整理得 假設存在正整數m，n，使成立，由于為偶數，為整數 所以只能有 因此存在正整數；或，使成立5. 解：=。記只需討論的正負即可。（1）當當（2）當，當在此區間上是增函數；在區間在此區間上是減函數；當在區間在此區間上是減函數；在區間在此區間上是增函數；當處連續， 在上是減函數；當，在區間在此區間上是減函數； 在區間在此區間上是增函數。6. 解：（1）由，知 （2） （3）由（2）得先求由上兩式相減7. 解：（1）當 上存在單調遞增區間，即上存在子區間使 （i）當是開口向上的拋物線