第03講分式方程和實際應用【題型1分式方程定義】【題型2解分式方程】【題型3分式方程的解綜合】【題型4分式方程應用-工程問題】【題型5分式方程應用-行程問題】

【題型6分式方程應用-銷售問題】【題型7分式方程應用-方案問題】知識點1：分式方程的概念分母中含有未知數的方程叫分式方程.注意：分式方程的重要特征：①是等式；②方程里含有分母；③分母中含有未知數.分式方程和整式方程的區別就在于分母中是否有未知數（不是一般的字母系數）.分母中含有未知數的方程是分式方程，分母中不含有未知數的方程是整式方程.（3）分式方程和整式方程的聯系：分式方程可以轉化為整式方程.【題型1分式方程定義】【典例1】（2022秋?九龍坡區校級月考）下列式子中是分式方程的是（）A． B． C． D．x2+1＝0【答案】B【解答】解：A、不是方程，故本選項不符合題意；B、是分式方程，故本選項符合題意；C、是整式方程，故本選項不符合題意；D、是整式方程，故本選項不符合題意．故選：B．【變式1-1】（2022秋?泰山區校級月考）下列方程不是分式方程的是（）A．+x＝2+3x B．＝ C．﹣＝4 D．+＝1【答案】C【解答】解：A、方程分母中含未知數x，故A是分式方程；B、方程分母中含未知數x，故B是分式方程；C、方程分母中不含未知數，故C不是分式方程；D、方程分母中含未知數x，故D是分式方程；故選：C．【變式1-2】（2023春?蘇家屯區期中）在①x2﹣x+，②﹣3＝a+4，③+5x＝6，④＝1中，其中關于x的分式方程的個數為（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【解答】解：①x2﹣x+是分式，不是分式方程；②﹣3＝a+4是關于a的分式方程；③+5x＝6是一元一次方程；④＝1是關于x的分式方程，故關于x的分式方程只有一個．故選：A

知識點2：分式方程的解法解分式方程的一般步驟：（1）方程兩邊都乘以最簡公分母，去掉分母，化成整式方程（注意：當分母是多項式時，先分解因式，再找出最簡公分母）；（2）解這個整式方程，求出整式方程的解；（3）檢驗：將求得的解代入最簡公分母，若最簡公分母不等于0，則這個解是原分式方程的解，若最簡公分母等于0，則這個解不是原分式方程的解，原分式方程無解.【題型2解分式方程】【典例1】（2023秋?岱岳區期中）解方程：（1）；（2）．【答案】（1）x＝2；（2）無解．【解答】解：（1）去分母得：2x+1＝5x﹣5，解得：x＝2，經檢驗x＝2是分式方程的解；（2）去分母得：16+x2﹣4＝x2+4x+4，解得：x＝2，經檢驗x＝2是增根，分式方程無解．【變式2-1】（2022秋?漢陽區校級期末）解分式方程：（1）；（2）+1．【答案】（1）x＝；（2）無解．【解答】解：（1）原方程去分母得：（x+1）2＝x2﹣1+5，整理得：x2+2x+1＝x2﹣1+5，移項，合并同類項得：2x＝3，系數化為1得：x＝，經檢驗，x＝是分式方程的解，故原方程的解為x＝；（2）原方程去分母得：3x＝2x﹣1+3x+3，移項，合并同類項得：﹣2x＝2，系數化為1得：x＝﹣1，經檢驗，x＝﹣1是分式方程的增根，故原方程無解．【變式2-2】（2023春?歷下區期中）解方程：（1）．（2）．【答案】（1）x＝4；（2）原方程無解．【解答】解：（1），方程兩邊都乘x（x+2），得2（x+2）＝3x，解得：x＝4，檢驗：當x＝4時，x（x+2）≠0，所以x＝4是原方程的解，即原方程的解是x＝4；（2），方程兩邊都乘x﹣2，得1＝﹣（1﹣x）﹣3（x﹣2），解得：x＝2，檢驗：當x＝2時，x﹣2＝0，所以x＝2是增根，即原方程無解．【變式2-3】（2023秋?東營區期中）解分式方程．（1）；（2）．【答案】（1）x＝3；（2）無解．【解答】解：（1），解：方程兩邊同乘（4﹣x），得x﹣3﹣4+x＝﹣1，移項、合并同類項得2x＝6，解得x＝3，檢驗：當x＝3時，4﹣x＝4﹣3＝1≠0，所以x＝3是原分式方程的解．（2），解：方程兩邊同乘x（x﹣1），得3（x﹣1）+6x＝x+5，去括號得3x﹣3+6x＝x+5，移項、合并同類項得8x＝8，解得x＝1，檢驗：當x＝1時，x（x﹣1）＝0，所以x＝1是增根，原分式方程無解．【題型3分式方程的解綜合】【典例3】（2023?棗莊模擬）若關于x的方程＝1的解是正數，則a的取值范圍是（）A．a＞﹣1 B．a＜﹣1 C．a＜﹣1且a≠﹣2 D．a＞﹣1且a≠0【答案】C【解答】解：解方程＝1，得x＝﹣a﹣1，∵關于x的方程＝1的解是正數，∴x＞0，即﹣a﹣1＞0，當x﹣1＝0時，x＝1，代入得：a＝﹣2．此為增根，∴a≠﹣2，解得：a＜﹣1．則a的取值范圍是：a＜﹣1且a≠﹣2．故選：C．【變式3-1】（2023?槐蔭區模擬）若關于x的方程+＝2的解為正數，則m的取值范圍是（）A．m＜6 B．m＞6 C．m＜6且m≠0 D．m＞6且m≠8【答案】C【解答】解：原方程化為整式方程得：2﹣x﹣m＝2（x﹣2），解得：x＝2﹣，因為關于x的方程+＝2的解為正數，可得：，解得：m＜6，因為x＝2時原方程無解，所以可得，解得：m≠0．故選：C．【變式3-2】（2022秋?朔城區期末）若關于x的分式方程無解，則n＝（）A．﹣1 B．0 C．1 D．【答案】A【解答】解：，去分母，得x+x+2＝n﹣1，合并同類項、系數化為1，得，由題意可知，分式方程的增根為x＝﹣2，即有，解得n＝﹣1．故選：A．【變式3-3】（2023?槐蔭區模擬）若關于x的方程+＝2的解為正數，則m的取值范圍是（）A．m＜6 B．m＞6 C．m＜6且m≠0 D．m＞6且m≠8【答案】C【解答】解：原方程化為整式方程得：2﹣x﹣m＝2（x﹣2），解得：x＝2﹣，因為關于x的方程+＝2的解為正數，可得：，解得：m＜6，因為x＝2時原方程無解，所以可得，解得：m≠0．故選：C．【變式3-4】（2022秋?朔城區期末）若關于x的分式方程無解，則n＝（）A．﹣1 B．0 C．1 D．【答案】A【解答】解：，去分母，得x+x+2＝n﹣1，合并同類項、系數化為1，得，由題意可知，分式方程的增根為x＝﹣2，即有，解得n＝﹣1．故選：A．知識點3：列分式方程解應用題的一般步驟：（1）審：即審題：根據題意找出已知量和未知量，并找出等量關系.（2）設：即設未知數，設未知數的方法有直接設和間接設，注意單位要統一，選擇一個未知量用未知數表示，并用含未知數的代數式表示相關量.（3）列：即列方程，根據等量關系列出分式方程.（4）解：即解所列的分式方程，求出未知數的值.（5）驗：即驗根，要檢驗所求的未知數的值是否適合分式方程，還要檢驗此解是否符合實際意義.（6）答：即寫出答案，注意答案完整.【題型4分式方程應用-工程問題】【典例4】（2023春?句容市期末）隨著快遞業務的不斷增加，分揀快件是一項重要工作，某快遞公司為了提高分揀效率，引進智能分揀機，每臺機器每小時分揀的快件量是人工每人每小時分揀快件數量的20倍，經過測試，由5臺機器分揀6000件快件的時間，比20個人工分揀同樣數量的快件節省4小時．（1）求人工每人每小時分揀多少件？（2）若該快遞公司每天需要分揀10萬件快件，機器每天工作時間為16小時，則至少需要安排臺這樣的分揀機．【答案】見試題解答內容【解答】解：（1）設人工每人每小時分揀x件，則每臺機器每小時分揀20x件，根據題意得，，30000﹣6000＝400x，x＝60，檢驗：當x＝60時，100x≠0，∴x＝60是方程的解，且符合題意，答：人工每人每小時分揀60件．（2）設需要安排y臺分揀機，則16×20×60y≥100000，19200y≥100000，，∵y為正整數，∴y的最小值為6，答：至少需要安排6臺這樣的分揀機．【變式4-1】（2023春?錦州期末）為了改善錦州的交通狀況，政府投資修建北外環公路．某筑路工程公司中標了一段3000m公路的路基工程，計劃在規定時間完成．為了向“七，一”獻禮，公司決定加快工程進度實際平均每天完成的工程量是原計劃的1.2倍，結果提前10天完成任務，那么該筑路工程公司實際每天完成路基多少米？（要求用方程求解）【答案】60米．【解答】解：設該筑路工程公司實際每天完成路基x米，由題意得：，解得x＝60，經檢驗：x＝60是分式方程的解，答：設該筑路工程公司實際每天完成路基60米．【變式4-2】（2023秋?南崗區校級月考）六年1班承擔了學校操場的清掃工作，計劃每天清掃200平方米，30天可以清掃完．（1）若學校要求25天清掃完，每天應清掃多少平方米？（2）若實際每天清掃的面積比計劃每天清掃的面積提高了，實際多少天能清掃完整個學校操場？（3）若六年1班按照（2）的速度完成一半時，學校要求此計劃提前8天完成，提速后每天清掃面積是多少平方米？【答案】（1）若學校要求25天清掃完，每天應清掃240平方米；（2）實際24天能清掃完整個學校操場；（3）提速后每天清掃面積是300平方米．【解答】解：（1）設若學校要求25天清掃完，每天應清掃x平方米，由題意可得：25x＝30×200，解得x＝240，答：若學校要求25天清掃完，每天應清掃240平方米；（2）設實際y天能清掃完整個學校操場，由題意可得：200（1+）y＝30×200，解得y＝24，答：實際24天能清掃完整個學校操場；（3）設提速后每天清掃面積是m平方米，由題意可得：+＝30﹣8，解得m＝300，經檢驗：m＝300是原分式方程的解，答：提速后每天清掃面積是300平方米．【變式4-3】（2023?南崗區模擬）盛夏來臨之際，服裝加工廠甲、乙兩個車間共同加工一款亞麻休閑裝，且每人每天加工的件數相同，甲車間比乙車間少10人，甲車間每天加工服裝400件，乙車間每天加工服裝600件．（1）求甲、乙兩車間各有多少人；（2）甲車間更新了設備，平均每人每天加工的件數比原來多了10件，乙車間的加工效率不變，在兩個車間總人數不變的情況下，加工廠計劃從乙車間調出一部分人到甲車間，使每天兩個車間加工的總數不少于1300件，求至少要從乙車間調出多少人到甲車間？【答案】見試題解答內容【解答】解：（1）設甲車間有x人，乙車間有（x+10）人，由題意得＝，解得：x＝20，經檢驗：x＝20是原分式方程的解，且符合題意，則x+10＝30，答：甲車間有20人，乙車間有30人；（2）設要從乙車間調出y人到甲車間，由題意得（20+y）（+10）+（30﹣y）≥1300，解得：y≥10．答：至少要從乙車間調出10人到甲車間．【題型5分式方程應用-行程問題】【典例5】（2023?沙坪壩區自主招生）為深入學習二十大重要講話精神，落實立德樹人根本任務，沙坪壩區中小學開展了“校村共育”研學項目．某中學七年級參加了“尋根?行走的青春”研學活動，一班選擇A研學線路，二班選擇B研學線路．已知A研學線路的路程比B多3公里，A、B研學線路的路程和為27公里．（1）求A、B兩研學線路的路程分別是多少公里？（2）兩個班同時出發，結果一班比二班晚0.2小時走完研學路程．已知一班的行進速度是二班行進速度的1.2倍，求二班的行進速度．【答案】（1）A、B兩研學線路的路程分別是15公里和12公里；（2）2.5公里/時．【解答】解：（1）設A研學線路的路程為x公里，B研學線路的路程為y公里．由題意，得，解這個方程，得，答：A、B兩研學線路的路程分別是15公里和12公里．（2）設二班的行進速度為m公里/時，則一班的行進速度為1.2m公里/時，由題意，得，解這個方程，得m＝2.5，經檢驗，m＝2.5是原方程的解且符合題意，答：二班的行進速度為2.5公里/時．【變式5-1】（2023秋?延慶區期中）列方程解應用題：小東一家自駕車去某地旅游，手機導航系統為他們推薦了兩條路線方案，方案一全程75km，方案二全程90km．汽車在方案二行駛的平均速度是在方案一行駛的平均速度的1.8倍，預計在方案二行駛的時間比方案一行駛的時間少半小時，求汽車在方案一行駛的平均速度．【答案】汽車在方案一行駛的平均速度為50km/h．【解答】解：設汽車在方案一行駛的平均速度為xkm/h，則在方案二行駛的平均速度為1.8xkm/h，由題意得：＝+，解得x＝50，經檢驗，x＝50是原方程的根，答：汽車在方案一行駛的平均速度為50km/h．【變式5-2】（2023?邗江區一模）學校組織學生到距離為15千米的公園參加露營活動，一部分同學騎自行車先走，40分鐘后其余同學乘坐大巴前往，結果他們同時到達，如果大巴士的平均速度是自行車平均速度的3倍，問：大巴士與自行車的平均速度分別是每小時多少千米？【答案】自行車的平均速度是每小時15千米，大巴士的平均速度是每小時45千米．【解答】解：設自行車的平均速度是每小時x千米．則大巴士的平均速度是每小時3x千米．由題意：﹣＝，解得：x＝15，經檢驗，x＝15是原方程的解，且符合題意，∴3x＝3×15＝45，答：自行車的平均速度是每小時15千米，大巴士的平均速度是每小時45千米．【變式5-3】（2023秋?延慶區期中）列方程解應用題：小東一家自駕車去某地旅游，手機導航系統為他們推薦了兩條路線方案，方案一全程75km，方案二全程90km．汽車在方案二行駛的平均速度是在方案一行駛的平均速度的1.8倍，預計在方案二行駛的時間比方案一行駛的時間少半小時，求汽車在方案一行駛的平均速度．【答案】汽車在方案一行駛的平均速度為50km/h．【解答】解：設汽車在方案一行駛的平均速度為xkm/h，則在方案二行駛的平均速度為1.8xkm/h，由題意得：＝+，解得x＝50，經檢驗，x＝50是原方程的根，答：汽車在方案一行駛的平均速度為50km/h．【題型6分式方程應用-銷售問題】【典例6】（2023春?舞鋼市期末）某服裝店老板到廠家選購甲、乙兩種品牌的童裝準備進行銷售．每套甲品牌的童裝比乙品牌的童裝進價多25元，用2000元購進甲種品牌的童裝數量是用750元購進的乙種品牌的童裝數量的2倍．（1）求甲、乙兩種品牌的童裝每套進價分別是多少元？（2）若甲品牌童裝每套的售價為130元，乙品牌童裝每套售價為95元，服裝店老板去進貨時決定購進甲品牌的童裝數量是乙品牌童裝數量的2倍還多4套，兩種童裝全部售出后要使總利潤不少于1230元，至少購進甲品牌的童裝多少套？【答案】（1）甲品牌每套進價是100元，乙品牌每套進價75元；（2）至少購進甲品牌的童裝32套．【解答】解：（1）設甲品牌每套進價是x元，乙品牌每套進價（x﹣25）元，根據題意得，，解得x＝100，經檢驗，x＝100是原方程的解，100﹣25＝75（元），答：甲品牌每套進價是100元，乙品牌每套進價75元；（2）設購進甲品牌童裝a套，則購進乙品牌童裝套，根據題意得，（130﹣100）a+（95﹣75）×≥1230，解得a≥31.75，答：至少購進甲品牌的童裝32套．【變式6-1】（2023秋?沙坪壩區校級月考）成都大運會期間，某網店直接從工廠購進A、B兩款文創紀念品，已知A、B兩款紀念品的進價分別為30元/個、25元/個．（1）網店第一次用1400元購進A、B兩款紀念品共50個，求A款紀念品購進的個數；（2）大運會臨近結束時，網店打算把A款紀念品降價20%銷售，則降價后銷售A款紀念品要獲得銷售額800元，比按照原價銷售要多賣4個才能獲得同樣多的銷售額，求A款紀念品降價以前的售價．【答案】（1）30個；（2）50元．【解答】解：（1）設網店第一次購進x個A款紀念品，則購進（50﹣x）個B款紀念品，根據題意得：30x+25（50﹣x）＝1400，解得：x＝30．答：網店第一次購進30個A款紀念品；（2）設A款紀念品降價以前的售價為y元，則降價后的售價為（1﹣20%）y元，根據題意得：﹣＝4，解得：y＝50，經檢驗，y＝50是所列方程的解，且符合題意．答：A款紀念品降價以前的售價為50元．【變式6-2】（2023春?高陵區月考）教育部印發的《義務教育課程方案（2022年版）》，將勞動從原來的綜合實踐活動課程中獨立出來，某中學為了讓學生體驗農耕勞動，開辟了一處耕種園，需要采購一批菜苗開展種植活動．據了解，市場上每捆A種菜苗的價格是菜苗基地的1.5倍，用300元在市場上購買的A種菜苗比在菜苗基地購買的少5捆．（1）求菜苗基地每捆A種菜苗的價格．（2）菜苗基地每捆B種菜苗的價格是30元，學校決定在菜苗基地購買A，B兩種菜苗共100捆，所花的費用不超過2400元，求在菜苗基地購買A種菜苗至少多少捆．【答案】（1）20元；（2）60捆．【解答】解：（1）設菜苗基地每捆A種菜苗的價格是x元，根據題意得：﹣＝5，解得x＝20，經檢驗，x＝20是原方程的解，答：菜苗基地每捆A種菜苗的價格是20元；（2）設購買A種菜苗m捆，則購買B種菜苗（100﹣m）捆，20m+30（100﹣m）≤2400，解得：m≥60，∴所花的費用不超過2400元，在菜苗基地購買A種菜苗至少60捆．答：菜苗基地購買A種菜苗至少60捆．【變式6-3】（2023秋?靈寶市期末）某商廈進貨員預測一種應季襯衫能暢銷市場，就用8萬元購進這種襯衫，面市后果然供不應求．商廈又用17.6萬元購進了第二批這種襯衫，所購數量是第一批購進量的2倍，但單價貴了4元．（1）求兩次所購數量分別是多少？（列分式方程求解）（2）商廈銷售這種襯衫時每件定價都是60元，最后剩下150件按8折銷售，很快售完．在這兩筆生意中，商廈共盈利多少元？【答案】（1）第一批購進襯衫2000件，第二批購進了4000件；（2）在這兩筆生意中，商廈共盈利102200元．【解答】解：（1）設第一批購進x件襯衫，則第二批購進了2x件，依題意可得：﹣＝4，解得x＝2000．經檢驗x＝2000是方程的解，答：第一批購進襯衫2000件，第二批購進了4000件；（2）設這筆生意盈利y元，可列方程為：y+80000+176000＝60（2000+4000﹣150）+80%×60×150，解得y＝102200．答：在這兩筆生意中，商廈共盈利102200元．【題型7分式方程應用-方案問題】【典例7】（2023春?花都區期末）為了貫徹雙減要求，豐富校園文化生活，增強班級團隊凝聚力，某校八年級今年計劃舉辦一場主題為“繽紛六月，籃出夢想”的首屆“校BA“班際籃球賽．該校計劃為班際籃球賽購置若干個籃球，經過與某體育用品店經銷商溝通，A型號籃球的單價比B型號的籃球單價多40元，且用1200元購買A型號籃球個數與用600元購買B型號籃球的個數相等．（1）求A型號籃球和B型號籃球的單價分別是多少元？（2）該體育用品店給出了兩種讓利活動，購買時只能選擇其中一種方案；方案一：所有商品打9折銷售；方案二：買3個A型號籃球，免費贈送1個B型號籃球（不足3個不贈送）；若該校需要購買15個A型號籃球和x（x≥5）個B型號籃球，則上述兩種購買方案中，哪一種方案更省錢，并說明理由．【答案】（1）A型號籃球單價為80元，B型號籃球的單價為40元；（2）當x＞20時，方案一更省錢；當x＝20時，兩種方案費用相同；當x＜20時，方案二更省錢．【解答】解：（1）設A型號籃球單價為m元，則B型號籃球的單價為（m﹣40）元，根據題意得：＝，解得m＝80，經檢驗，m＝80是原方程的解，也符合題意，∴m﹣40＝80﹣40＝40，∴A型號籃球單價為80元，B型號籃球的單價為40元；（2）設購買所需費用為y元，方案一：y＝80×0.9×15+40×0.9x＝36x+1080，方案二：y＝80×15+40（x﹣）＝40x+1000；①當36x+1080＜40x+1000時，解得x＞20，∴當x＞20時，方案一更省錢；②當36x+1080＝40x+1000時，解得x＝20，∴當x＝20時，兩種方案費用相同；③當36x+1080＞40x+1000時，解得x＜20，∴當x＜20時，方案二更省錢；綜上所述，當x＞20時，方案一更省錢；當x＝20時，兩種方案費用相同；當x＜20時，方案二更省錢．【變式7-1】（2023?通遼）某搬運公司計劃購買A，B兩種型號的機器搬運貨物，每臺A型機器比每臺B型機器每天少搬運10噸貨物，且每臺A型機器搬運450噸貨物與每臺B型機器搬運500噸貨物所需天數相同．（1）求每臺A型機器，B型機器每天分別搬運貨物多少噸？（2）每臺A型機器售價1.5萬元，每臺B型機器售價2萬元，該公司計劃采購兩種型號機器共30臺，滿足每天搬運貨物不低于2880噸，購買金額不超過55萬元，請幫助公司求出最省錢的采購方案．【答案】（1）每臺A型機器每天搬運貨物90噸，每臺B型機器每天搬運貨物100噸；（2）購買A型機器12臺，B型機器18臺時，購買總金額最低是54萬元．【解答】解：（1）設每臺A型機器每天搬運貨物x噸，則每臺B型機器每天搬運貨物（x+10）噸，由題意得：，解得：x＝90，當x＝90時，x（x+10）≠0，∴x＝90是分式方程的根，∴x+10＝90+10＝100，答：每臺A型機器每天搬運貨物90噸，每臺B型機器每天搬運貨物100噸；（2）設購買A型機器m臺，購買總金額為w萬元，由題意得：，解得：10≤m≤12，w＝1.5m+2（30﹣m）＝﹣0.5m+60；∵﹣0.5＜0，∴w隨m的增大而減小，∴當m＝12時，w最小，此時w＝﹣0.5×12+60＝54，∴購買A型機器12臺，B型機器18臺時，購買總金額最低是54萬元．【變式7-2】（2023秋?北碚區校級期中）某公司不定期為員工購買紅豆面包和肉松面包作為代餐食品．（1）已知每個肉松面包的價格比每個紅豆面包的價格貴2.5元，花費100元購買紅豆面包的數量與花費150元購買肉松面包的數量相同，求紅豆面包和肉松面包的單價各是多少元？（2）若購買紅豆面包和肉松面包共100個，要求肉松面包的個數不少于紅豆面包的個數的一半，且總費用不超過590元，請問該公司有哪幾種購買方案？【答案】（1）紅豆面包的單價是5元，肉松面包的單價是7.5元；（2）該公司共有3購買方案，方案1：購買64個紅豆面包，36個肉松面包；方案2：購買65個紅豆面包，35個肉松面包；方案3：購買66個紅豆面包，34個肉松面包．【解答】解：（1）設紅豆面包的單價是x元，則肉松面包的單價是（x+2.5）元，根據題意得：＝，解得：x＝5，經檢驗，x＝5是所列方程的解，且符合題意，∴x+2.5＝5+2.5＝7.5．答：紅豆面包的單價是5元，肉松面包的單價是7.5元；（2）設該公司購買m個紅豆面包，則購買（100﹣m）個肉松面包，根據題意得：，解得：64≤m≤，又∵m為正整數，∴m可以為64，65，66，∴該公司共有3購買方案，方案1：購買64個紅豆面包，36個肉松面包；方案2：購買65個紅豆面包，35個肉松面包；方案3：購買66個紅豆面包，34個肉松面包．【變式7-3】（2023秋?重慶期中）為培養大家的閱讀能力，我校初一年級購進《朝花夕拾》和《西游記》兩種書籍，花費分別是14000元和7000元，已知《朝花夕拾》的訂購單價是《西游記》的訂購單價的1.4倍，并且訂購的《朝花夕拾》的數量比《西游記》的數量多300本．（1）求我校初一年級訂購的兩種書籍的單價分別是多少元；（2）我校初一年級某班計劃再訂購這兩種書籍共10本來備用，其中《朝花夕拾》訂購數量不低于3本，且兩種書總費用不超過124元，求這個班訂購這兩種書籍有多少種方案？按照這些方案訂購最低總費用為多少元？【答案】（1）我校初一年級訂購《西游記》的單價是10元，訂購《朝花夕拾》的單價是14元；（2）這個班訂購這兩種書籍有4種方案，按照這些方案訂購最低總費用為112元．【解答】解：（1）設我校初一年級訂購《西游記》的單價是x元，則訂購《朝花夕拾》的單價是1.4x元，根據題意得：﹣＝300，解得：x＝10，經檢驗，x＝10是所列方程的解，且符合題意，∴1.4x＝1.4×10＝14．答：我校初一年級訂購《西游記》的單價是10元，訂購《朝花夕拾》的單價是14元；（2）設這個班訂購m本《朝花夕拾》，則訂購（10﹣m）本《西游記》，根據題意得：，解得：3≤m≤6，又∵m為正整數，∴m可以為3，4，5，6，∴這個班共有4種訂購方案，方案1：訂購3本《朝花夕拾》，7本《西游記》，所需總費用為14×3+10×7＝112（元）；方案2：訂購4本《朝花夕拾》，6本《西游記》，所需總費用為14×4+10×6＝116（元）；方案3：訂購5本《朝花夕拾》，5本《西游記》，所需總費用為14×5+10×5＝120（元）；方案4：訂購6本《朝花夕拾》，4本《西游記》，所需總費用為14×6+10×4＝124（元）．∵112＜116＜120＜124，∴按照這些方案訂購最低總費用為112元．答：這個班訂購這兩種書籍有4種方案，按照這些方案訂購最低總費用為112元．一．選擇題（共9小題）1．（2024春?宜陽縣期中）分式方程的解為（）A．x＝7 B．x＝8 C．x＝3 D．x＝9【答案】C【解答】解：，方程兩邊都乘x﹣1，得4＝2（x﹣1），4＝2x﹣2，﹣2x＝﹣2﹣4，﹣2x＝﹣6，x＝3，檢驗：當x＝3，時，x﹣1≠0，所以分式方程的解是x＝3．故選：C．2．（2024?庫爾勒市一模）已知分式方程﹣＝1，去分母后得（）A．x（x+2）﹣1＝1 B．x（x﹣2）﹣1＝x2﹣4 C．x（x+2）﹣1＝x2﹣4 D．x﹣1＝x2﹣4【答案】C【解答】解：方程兩邊都乘以最簡公分母（x+2）（x﹣2），得：x（x+2）﹣1＝（x+2）（x﹣2），即x（x+2）﹣1＝x2﹣4，故選：C．3．（2024?溫州模擬）甲、乙兩組同學在植樹活動中均植樹120棵，已知甲組每小時比乙組多種植10棵，且甲組比乙組提前2小時完成．設乙組每小時植樹x棵，可列出方程為（）A． B． C． D．【答案】A【解答】解：設乙組每小時植樹x棵，可列出方程為＝+2，故選：A．4．（2024春?洛寧縣期中）若關于x的分式方程有增根，則m的值為（）A．1 B．﹣4 C．﹣5 D．﹣3【答案】C【解答】解：將原分式方程化簡得：x﹣1＝m，解得：x＝1+m，∵分式方程有增根，∴x+4＝0，解得：x＝﹣4，∴1+m＝﹣4，解得：m＝﹣5．故選：C．5．（2024?蘭山區校級模擬）某中學在校內勞動基地開展了一堂特殊的勞動課，計劃九（1）班共采摘100千克蔬菜，在實際采摘之前將班級10名同學調往其他勞動區域，這樣剩余同學實際平均每人需要采摘的重量是原計劃全班學生平均每人需要采摘重量的倍，設九（1）班學生的人數為x名，則下列方程正確的是（）A． B． C． D．【答案】C【解答】解：設九（1）班學生的人數為x名，則實際采摘人數為（x﹣10）名同學，根據題意有，故選：C．6．（2024?齊齊哈爾一模）已知關于x的分式方程的解是非正數，則m的取值范圍是（）A．m＜1 B．m≤1 C．m≥1且m≠3 D．m＞1且m≠3【答案】B【解答】解：，，m﹣3＝x﹣2，x＝m﹣1，∵關于x的分式方程的解是非正數，∴m﹣1≤0且m﹣1﹣2≠0，解得：m≤1，故選：B．7．（2023秋?唐縣期末）張老師和李老師住在同一個小區，離學校3000米．某天早晨，張老師和李老師分別于7點10分，7點15分離家騎自行車上班，剛好在校門口遇上．已知李老師騎車的速度是張老師的1.2倍，為了求他們各自騎自行車的速度，設張老師騎自行車的速度是x米/分，則可列得方程為（）A． B． C． D．【答案】A【解答】解：設張老師騎自行車的速度是x米/分，由題意得：，故選：A．8．（2024?姑蘇區校級一模）“孔子周游列國”是流傳很廣的故事．有一次他和學生到離他們住的驛站30里的書院參觀，學生步行出發1小時后，孔子坐牛車出發，牛車的速度是步行的1.5倍，孔子和學生們同時到達書院，設學生步行的速度為每小時x里，則可列方程為（）A．＝+1 B．＝ C．＝﹣1 D．＝【答案】A【解答】解：∵學生步行的速度為每小時x里，牛車的速度是步行的1.5倍，∴牛車的速度是1.5x里，由題意可得：+1，故選：A．9．（2024春?鄆城縣期中）已知關于x的分式方程有整數解，則滿足條件的所有整數a的和為（）A．﹣18 B．﹣17 C．﹣6 D．﹣2【答案】B【解答】解：兩邊同時乘以x﹣2，得﹣（1+ax）﹣1＝3（x﹣1），解得x＝，∴是整數，且≠2，當＝4時，解得a＝﹣2；當＝1時，解得a＝1；當＝﹣1時，解得a＝﹣7；當＝﹣2時，解得a＝﹣5；當＝﹣4時，解得a＝﹣4，∴﹣2+1﹣7﹣5﹣4＝﹣17，即滿足條件的所有整數a的和為﹣17，故選：B．二．填空題（共4小題）10．（2024?北京模擬）分式方程的解為．【答案】．【解答】解：，3x＝x﹣3，2x＝﹣3，，經檢驗，是原分式方程的解．故答案為：．11．（2024?泗陽縣一模）已知關于x的分式方程的解為正數，則