浙江省金蘭教育合作組織2024學年第二學期期中考試高二年級數學學科試題命題學校：滸山中學審題學校：夢麟中學龍賽中學考生須知：1．本卷滿分150分，考試時間120分鐘.2．答題前，在答題卷指定區域填寫班級、姓名、考場號、座位號及準考證號并核對條形碼信息.3．所有答案必須寫在答題紙上，寫在試卷上無效.4．考試結束后，只需上交答題紙.一、選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．）1.已知（，且），則的值為（）A.30 B.42 C.56 D.72【答案】C【解析】【分析】根據組合數公式求出，再根據排列數公式計算可得.【詳解】因為，所以，解得或（舍去），所以.故選：C2.根據一組樣本數據，，，，求得經驗回歸方程為，已知，，則（）A.0.5 B.0.6 C.0.7 D.0.8【答案】C【解析】【分析】利用回歸直線方程過樣本中心點，可求的值.【詳解】因為，，所以樣本中心點，因為回歸方程過樣本中心點，所以，解得.故選：C.3.設，，這兩個變量的正態曲線如圖所示，則（）A.， B.，C.， D.，【答案】D【解析】【分析】根據圖示和正態分布密度曲線的對稱性可比較與，由圖象的“瘦高”與“矮胖”可比較與，由此可得正確選項.【詳解】由題可得的正態分布密度曲線的對稱軸為直線，的正態分布密度曲線的對稱軸為直線.由題圖可得，由于表示標準差，越小圖象越“瘦高”，故，所以D正確.故選：D.4.中國有十二生肖，又叫十二屬相，每一個人的出生年份對應了十二種動物（鼠、牛、虎、兔、龍、蛇、馬、羊、猴、雞、狗、豬）中的一種.現有十二生肖的吉祥物各一個，已知甲同學喜歡牛、馬和猴，乙同學喜歡牛、狗和羊，丙同學所有的吉祥物都喜歡，讓甲、乙、丙三位同學依次從中選一個作為禮物珍藏，若各人所選取的禮物都是自己喜歡的，則不同的選法有（）A.60種 B.80種 C.90種 D.100種【答案】B【解析】【分析】根據題意，按甲的選擇不同分成2種情況討論，求出確定乙，丙的選擇方法，即可得每種情況的選法數目，由分類加法計數原理，即可求出答案.【詳解】根據題意，按甲的選擇不同分成2種情況討論：若甲選擇牛，此時乙的選擇有2種，丙的選擇有10種，此時有種不同的選法；若甲選擇馬或猴，此時甲的選法有2種，乙的選擇有3種，丙的選擇有10種，此時有種不同的選法；則一共有種選法.故選：B.5.若的展開式中第3項和第9項的二項式系數相等，則以下判斷正確的是（）A.奇數項的二項式系數和為 B.所有奇數項的系數和為C.第6項的系數最大 D.【答案】A【解析】【分析】由已知可推得，利用二項式系數的性質求解可判斷A；賦值令以及，即可求解判斷B；根據二項式系數的性質，即可得出C項；判斷各項的符號，去掉絕對值，即可求解判斷D.【詳解】由，可得二項式展開式的通項公式可得，，由已知可得，所以，所以由二項式的展開式可知所有二項式系數和為，所以奇數項的二項式系數和為，故A正確；令，可得，令，可得，解得，故B錯誤；由通項公式可知，奇數項的系數全為正，偶數項的系數全為負，故第6項的系數不是最大值，故C錯誤；令，可得，所以，所以，故D錯誤.故選：A.6.已知離散型隨機變量的分布列如下表：01其中滿足，則的最大值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用分布列的性質得，再利用期望、方差的性質列式求解即得.【詳解】依題意，，解得，可得，則，而，則當時，.故選：B.7.現有四種不同的顏色要對如圖形中的五個部分進行著色，其中任意有公共邊的兩塊著不同顏色的概率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據題意，由分步計數原理計算“用四種不同得顏色要對如圖形中的五部分進行著色”和“任意有公共邊的兩塊著不同顏色”的涂色方法，由古典概型公式計算可得答案.【詳解】根據題意，用四種不同的顏色要對如圖形中的五個部分進行著色，每個部分都有4種涂色方法，則有種涂色方法；若其中任意有公共邊的兩塊著不同顏色，有兩種情況：①只用三種顏色涂這5個區域，則有種涂色方法；②用四種顏色涂這5個區域，則有種涂色方法，所以若其中任意有公共邊的兩塊著不同顏色，共有144種涂色方法，故四種不同的顏色要對如圖形中的五個部分進行著色，其中任意有公共邊的兩塊著不同顏色的概率為.故選：C8.某單位有1000名職工，想通過驗血的方式篩查乙肝病毒攜帶者．假設攜帶病毒的人占．給出下面兩種化驗方法．方法1：對1000人逐一進行化驗．方法2：將1000人分為100組，每組10人．對于每個組，先將10人的血各取出部分，并混合在一起進行一次化驗.如果混合血樣呈陰性，那么可斷定這10人全部陰性；如果混合血樣呈陽性，說明其中至少有一人的血樣呈陽性，就需要對每個人再分別化驗一次．運用概率統計的知識判斷下面哪個值能使得混合化驗方法優于逐份化驗方法（）（參考數據：）A.18 B.22 C.26 D.30【答案】A【解析】【分析】設逐份化驗方式，樣本需要檢測的總次數，設混合化驗方式，每組樣本需要化驗的次數為(可能取值為1，11)，求得均值，，根據，列不等式并求解式即可確定正確答案.【詳解】設逐份化驗方式，樣本需要檢測的總次數，則，設混合化驗方式，每組樣本需要化驗的次數可能取值為1，11．，，，所以100組的化驗次數的均值為要使得混合化驗方式優于逐份化驗方式，需，即，即，即，又，，，．故選：A.二、選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分）9.下列說法中錯誤的有（）A.相關系數越小，表明兩個變量相關性越弱B.決定系數越接近1，表明模型的擬合效果越好C.若隨機變量服從兩點分布，其中，則，D.隨機變量，若，則【答案】AC【解析】【分析】根據相關系數的概念即可判斷A；根據決定系數的概念判斷B；根據兩點分布的均值與方差公式及均值與方差的性質即可判斷C；根據正態分布的對稱性即可判斷D．【詳解】對于A：值越小，表明兩個變量相關性越弱，故A錯誤；對于B，決定系數越接近1，表明模型的擬合效果越好，故B正確；對于C，若，則，，，所以，，故C錯誤；對于D，隨機變量，若，則，故D正確；故選：AC．10.楊輝三角形又稱賈憲三角形，因首現于南宋杰出數學家楊輝的《詳解九章算法》而得名，它的排列規律如圖所示：在第一行的中間寫下數字1；在第二行寫下兩個1，和第一行的1形成三角形；隨后的每一行，第一個位置和最后一個位置的數都是1，其他的每個位置的數都是它左上方和右上方的兩個數之和.那么下列說法中正確的是（）A.從第2行起，第行的第個位置的數是B.記第行的第個數為，則C.從第3行起，每行第3個位置的數依次組成一個新的數列，則D.從第3行起，每行第3個位置的數依次組成一個新的數列，則【答案】BCD【解析】【分析】由楊輝三角形的特征，可直接判斷A；逆用二項展開式，即可判斷B；由題意易知，根據累加法即可判斷C；D選項，根據題意可得，利用裂項相消法計算可判斷D.【詳解】A選項，從第2行起，第行的第個位置的數是，故A錯誤；B選項，第行的第個數為，則，因為，故B正確；C選項，由題意可得，則,，以上各式相加得，因此，故C正確；D選項，由題意可得從第3行起，每行第3個位置的數，所以所以.故D正確.故選：BCD.11.甲、乙、丙三人相互做傳球訓練，第一次由甲將球傳出，每次傳球時，傳球者都等可能地將球傳給另外兩個人中的任何一人，下列說法正確的是（）A.2次傳球后球在甲手上的概率是 B.3次傳球后球在乙手上的概率是C.4次傳球后球在甲手上的概率是 D.2025次傳球后球在甲手上的概率小于【答案】ACD【解析】【分析】利用列舉法，求得第2次、3次傳球后的所有可能，在利用古典概型的概率計算公式，可判定A正確，B不正確；設次傳球后球在甲手上為，則有，令，利用相互獨立事件的概率及條件概率的公式，得到，得到數列是等比數列，進而求得的通項公式，可判定C、D正確.【詳解】對于A中，第一次甲將球傳出后，2次傳球后的所有結構為：甲乙甲，甲乙丙，甲丙甲，甲丙乙，共有4個結果，且它們等可能，其中2次傳球后球在甲手中的事件有：甲乙甲，甲丙甲，有2個結果，所以概率為，所以A正確；對于B中，3次傳球后的所有結果為：甲乙甲乙，甲乙甲丙，甲乙丙甲，甲乙丙乙，甲丙甲乙，甲丙甲丙，甲丙乙甲，甲丙乙丙，共8個結果，且它們等可能，其中3次傳球后球在乙手上的事件有：甲乙甲乙，甲乙丙乙，甲丙甲乙，有3個結果，所以3次傳球后球在乙手上的概率是，所以B不正確；設次傳球后球在甲手上的事件為，則有，令，則，所以，所以，則，因為第一次有甲傳球后，求不可能在甲手中，所以，則，所以數列是以為首項，以為公比的等比數列，所以，即，因為，可得，所以，所以D正確；當時，可得，所以C正確.故選：ACD.三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分．）12.在的展開式中的系數為______．【答案】240【解析】【分析】利用二項式的展開式的通項公式可求解.【詳解】由可得二項式的展開式的通項公式為，令，解得，所以.所以在的展開式中的系數為.故答案：.13.設隨機事件，已知，，，則______．【答案】##0.25【解析】【分析】直接利用條件概率求解即可【詳解】故答案為：14.某藍莓基地種植藍莓，按1個藍莓果重量（克）分為4級：的為級，的為級，的為級，的為級，的為廢果．將級與級果稱為優等果．已知藍莓果重量可近似服從正態分布．對該藍莓基地的藍莓進行隨機抽查，每次抽出1個藍莓果，記每次抽到優等果的概率為（精確到0.1）.若為優等果，則抽查終止，否則繼續抽查直到抽出優等果，但抽查次數最多不超過次，若抽查次數的期望值不超過3，則的最大值為______．參考數據：若，則：；；．【答案】4【解析】【分析】依題意可得，設，利用錯位相減法求出，即可得到，從而得到，再根據指數函數的性質及所給數據判斷即可.【詳解】因為藍莓果重量服從正態分布，其中，，，設第次抽到優等果的概率，恰好抽取次的概率，所以，設①，則②，兩式相減得：所以，由，即，又，，所以的最大值為4．故答案為：4．四、解答題（本大題共5小題，共計77分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．）15.隨著電商事業的快速發展，網絡購物交易額也快速提升，某網上交易平臺工作人員對2020年至2024年每年的交易額（取近似值）進行統計分析，結果如下表：年份20202021202220232024年份代碼12345交易額（單位：百億）1.523.5815（1）據上表數據，計算與的相關系數（精確到0.01），并說明與的線性相關性的強弱；（若，則認為與線性相關性很強；若，則認為與線性相關性一般；若，則認為與線性相關性較弱．）（2）利用最小二乘法建立關于線性回歸方程，并預測2025年該平臺的交易額．參考數據：，，參考公式：相關系數；線性回歸方程中，斜率和縱截距的最小二乘估計分別為，．【答案】（1）0.92，線性相關性程度很強．（2），15.9百億．【解析】【分析】（1）根據相關系數的計算公式可得，再判斷可得答案；（2）根據公式求線性回歸方程，再將代入方程進行預測.【小問1詳解】由已知得，，，，，故，，所以線性相關性程度很強；【小問2詳解】，，則，所以關于的線性回歸方程為，當時，，所以預計2025年該平臺的交易額為15.9百億．16.在的展開式中，第2，3，4項的二項式系數依次成等差數列．求：（1）展開式中二項式系數最大的項；（2）展開式中所有的有理項．【答案】（1），（2），【解析】【分析】（1）根據條件可得，再利用組合數公式求得，進而利用中間項的二項式系數最大求解即可；（2）利用二項展開式的通項公式，通過的取值即可得到結果.【小問1詳解】由題意得，，即，即，或，因為，所以．故，因為二項式系數最大的項為第4項和第5項，所以所求的項分別為，．【小問2詳解】是有理項，當且僅當，因為，，所以，故展開式中有2個有理項，分別是，．17.北京時間2024年10月30日凌晨4時27分，搭載神舟十九號載人飛船的長征二號遙十九運載火箭在酒泉衛星發射中心點火發射.“神箭”再起新征程，奔赴浩瀚宇宙．為了某次航天任務，需要選拔若干名航天員參加該次任務．（1）若本次任務需要從4名男航天員和3名女航天員中選出4人，且至少有一名女航天員，共有多少種不同的選法？（結果用數字作答）（2）若從7名航天員中選出4名航天員，分配到2個不同的實驗室去，每個實驗室至少一名航天員，每個航天員只能去一個實驗室，共有多少種不同的選派方式？（結果用數字作答）（3）若從7名航天員中選出4名航天員，分配到3個不同的實驗室去，每個實驗室至少一名航天員，每個航天員只能去一個實驗室.其中航天員甲和乙必須參加，但不能分配在同一個實驗室，請問共有多少種不同的選派方式？（結果用數字作答）【答案】（1）34（2）490（3）300【解析】【分析】（1）方法一：直接發，分類討論女性的人數，結合組合數運算求解；方法二：間接法，在所以組合中排除沒有女性的組合；（2）先選4名航天員，分類討論人數配比，結合組合數運算求解；（3）先選2名航天員，然后安排甲、乙兩人，最后安排剩下的2人，結合排列數、組合數運算求解.【小問1詳解】方法一：“直接法”，分成3種情況討論：恰有1名女性，共有種選法；恰有2名女性，共有種選法；恰有3名女性，共有種選法；所以共有種選法；方法二：“間接法”，總共有種，沒有一名女航天員有種，所以共有種選法．【小問2詳解】先選4名航天員，有種，然后先分組再分配，可分兩類：若分為2，2兩組再分配，有種；若分為1，3的兩組再分配，有種；所以共有種選法．【小問3詳解】先選2名航天員，有種；然后安排甲、乙兩人，有種；最后安排剩下的2人，有種；所以共有種選法．18.DeepSeek是杭州一家人工智能技術研究公司推出的AI助手．它能進行邏輯推理，解決復雜問題，實現多模態數據融合與學習．某科技公司在使用DeepSeek對某一類問題進行測試時發現，如果輸入的問題沒有語法錯誤，它回答正確的概率為0.99；如果出現語法錯誤，它回答正確的概率為0.19．假設每次輸入的問題出現語法錯誤的概率為0.1，且每次輸入問題，DeepSeek的回答是否正確相互獨立．該公司科技人員小張想挑戰DeepSeek，小張和DeepSeek各自從給定的10個問題中隨機抽取8個作答．已知在這10個問題中，小張能正確作答8個問題，答錯2個問題．（1）求小張能全部回答正確的概率；（2）求一個問題能被DeepSeek回答正確的概率；（3）設小張和DeepSeek答對的題數分別為和，求的分布列，并比較與的期望大小．【答案】（1）（2）（3）分布列見解析，．【解析】【分析】（1）根據古典概型的概率公式計算可得；（2）設事件表示“輸入的問題沒有語法錯誤”，事件表示“一個問題能被DeepSeek正確回答”，利用全概率公式計算可得；（3）的可能取值是，，，求出所對應的概率，即可求出分布列與數學期望，而，根據二項分布的期望公式計算可得.【小問1詳解】因為小張能全部回答正確的概率；【小問2詳解】設事件表示“輸入的問題沒有語法錯誤”，事件表示“一個問題能被DeepSeek正確回答”，由題意知，，，則，所以；【小問3詳解】已知小張答對的題數為，則的可能取值是，，，則，，，所以的分布列為：所以，已知DeepSeek答對的題數為，則，故，所以．19.乒乓球比賽一般有兩種賽制：“5局3勝制”和“7局4勝制”．“5局3勝制”指5局中勝3局的一方取得勝利，“7局4勝制”指7局中勝4局的一方取得勝利.（1）甲、乙兩人進行乒乓球比賽，經統計在某個賽季的所有比賽中，在不同賽制下甲、乙兩人的勝負情況如下表．請先將下面的列聯表補充完整，然后根據小概率值的獨立性檢驗，分析不同賽制是否對甲獲勝的場數有影響.甲獲勝場數乙獲勝場數5局3勝8107局4勝1合計20（2）若甲、乙兩人采用5局3勝制比賽，設甲每局比賽的勝率均為，沒有平局．