第Ⅰ卷（選擇題，共60分）一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1．若集合，，則A．， B．， C．， D．，2．已知復數，，為虛數單位），其在復平面內對應向量的模為2，則的最大值為A．2 B．3 C． D．3．甲、乙兩名同學6次考試的成績統計折線圖如圖，記甲、乙二人成績的平均數為，，標準差為，，則A．， B．， C．， D．，4．若、為不垂直的異面直線，是一個平面，則、在上的射影有可能是：①兩條平行直線；②兩條互相垂直的直線；③同一條直線；④一條直線及直線外一點．其中，正確結論的序號是A．①②③B．②③④C．①③④ D．①②④5．如果執行如圖所示的程序框圖，輸入正整數和實數，，，，輸出，，則A．和分別是，，，中最小的數和最大的數 B．和分別是，，，中最大的數和最小的數 C．為，，，的算術平均數 D．為，，，的和6.成都石室中學從5位同學中選派4位同學在星期五、星期六、星期日參加公益活動，每人一天，要求星期五有2人參加，星期六、星期日各有1人參加，則不同的選派方法共有A．40種B．60種 C．100種 D．120種7．在平面直角坐標系中，質點在圓心為半徑為2的圓周上逆時針運動，其初始位置為，角速度為1，那么點到軸的距離關于時間的函數的圖象大致為A．B．C．D．8．某隨機模擬的步驟為：①利用計算器或計算機產生兩組區間的均勻隨機數，，；②進行平移和伸縮變換，，；③共做了次試驗，數出滿足條件的點的個數．則A． B． C． D．9．一邊長為4的正方形，為的中點，將，分別沿，折起，使，重合，得到一個四面體，則該四面體外接球的表面積為A． B． C． D．10．已知，則的值為A．1 B． C．2 D．11．已知圓在橢圓的內部，點為上一動點．過作圓的一條切線，交于另一點，切點為，當為的中點時，直線的斜率為，則的離心率為A． B． C． D．12．已知函數的定義域為，且，若，則下列錯誤的是A． B． C．函數是偶函數 D．函數是減函數第Ⅱ卷（非選擇題，共90分）本卷包括必考題和選考題兩部分.第13-21題為必考題，每個試題考生都必須作答，第22,23題為選考題，考生根據要求作答.二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在答題卡上.13．已知向量滿足，且是單位向量，若，則．14．關于雙曲線，四位同學給出了四個說法：小明：雙曲線的實軸長為8；小紅：雙曲線的焦點到漸近線的距離為3；小強：雙曲線的離心率為；小同：雙曲線C上的點到焦點距離的最小值為1；若這4位同學中只有1位同學的說法錯誤，則說法錯誤的是．（橫線上填“小明”、“小紅”、“小強”或“小同”）15．已知函數的圖象與函數（且）的圖象在公共點處有相同的切線，則公共點坐標為.16．定義在封閉的平面區域D內任意兩點的距離的最大值稱為平面區域D的“直徑”．如圖，已知銳角三角形的三個頂點A，B，C在半徑為1的圓上，角的對邊分別為a，b，c，．分別以各邊為直徑向外作三個半圓，這三個半圓和構成平面區域D，則平面區域D的“直徑”的取值范圍是___________．三、解答題：共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17-21題為必考題，每個試題考生都必須作答，第22,23題為選考題，考生根據要求作答.（一）必考題：共60分.17.（本小題滿分12分）已知數列的前項和為，，．（1）求數列的通項公式；（2）設，記數列的前項和為，證明．18.(本小題滿分12分)如圖，在三棱錐中，，為的中點，于，，已知，，，．（1）證明：平面；（2）在線段上是否存在點，使得二面角的大小為？若存在，求出的長；若不存在，請說明理由．19.(本小題滿分12分)某機構為了解2023年當地居民網購消費情況，隨機抽取了100人，對其2023年全年網購消費金額（單位：千元）進行了統計，所統計的金額均在區間，內，并按，，，，，分成6組，制成如圖所示的頻率分布直方圖．（1）求圖中的值；（2）若將全年網購消費金額在20千元及以上者稱為網購迷，結合圖表數據，補全列聯表，并判斷是否有的把握認為樣本數據中網購迷與性別有關系？說明理由．男女合計網購迷20非網購迷47合計（3）若甲、乙兩位網購迷網購時支付方式采用軟件支付分概率分別為，采用其它支付方式的概率分別為，且甲、乙兩人網購時采用支付方式相互獨立．在甲、乙各自獨立完成的2次網購中，記甲、乙兩人支付方式采用支付的次數分別為，，令，求的分布列和數學期望下面的臨界值表僅供參考：0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828（參考公式：，其中20．（本小題滿分12分）已知函數．(1)當時，求的單調區間；(2)當時，，求的取值范圍．21．（本小題滿分12分）已知直線過定點，動圓過點，且在軸上截得的弦長為4，設動圓圓心軌跡為曲線.(1)求曲線的方程；(2)點，，為上的兩個動點，若，，恰好為平行四邊形的其中三個頂點，且該平行四邊形對角線的交點在上，記平行四邊形的面積為，求證：.（二）選考題:共10分.請考生任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題給分.22.（本小題滿分10分）選修4-4：坐標系與參數方程在直角坐標系中，曲線的參數方程為（為參數），曲線的參數方程為（t為參數）．(1)寫出及的普通方程；(2)以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系，求與交點的極坐標．23.（本小題滿分10分）選修4-5：不等式選講已知函數．(1)求的最小值；(2)若的最小值為，正實數a，b，c滿足，求證:成都石室中學2023-2024學年高2024屆高考適應性考試（二）數學（理科）答案1.D2．已知復數，，為虛數單位），其在復平面內對應向量的模為2，則的最大值為A．2 B．3 C． D．【解答】解：且，，即，故點在以為圓心，2為半徑的圓上，又，它表示點與原點的距離，則的最大值為3．故選：．3.解：由表中折線圖可知，甲組數據總體比乙組數據高，且甲組數據比乙組數據的振動幅度要小，故，．故選：．4.解：不妨以正方體為例，與在平面上的射影互相平行，①正確；與在平面上的射影互相垂直，②正確；如果、在上的射影是同一條直線，那么、共面，③不正確；與在平面上的射影是一條直線及其外一點，④正確．正確結論的序號是①②④．故選：．5.解：分析程序中各變量、各語句的作用，再根據流程圖所示的順序，可知：該程序的作用是：求出，，，中最大的數和最小的數其中為，，，中最大的數，為，，，中最小的數故選：．6.解：根據題意，首先從5人中抽出兩人在星期五參加活動，有種情況，再從剩下的3人中，抽取兩人安排在星期六、星期日參加活動，有種情況，則由分步計數原理，可得不同的選派方法共有種，故選：．7.解：通過分析可知當時，點到軸距離為，于是可以排除答案，；再根據當時，可知點在軸上，此時點到軸距離為0，排除答案；故選：．8.【解答】解：把，，代入，得到，如圖：坐標為，該圓半徑為，該圓的面積為，則落在該圓的概率為，故選．9．【解答】解：如圖所示，由圖可知在四面體中，由正方形，為的中點，可得，，，故平面，將圖形旋轉得到如圖所示的三棱錐，其中為等邊三角形，過的中心作平面的垂線，過線段的中點作平面的垂線，由球內截面的性質可得直線與相交，記，則即為三棱錐外接球的球心，設外接球的半徑為，連接，，可得，在△中，，故該外接球的表面積．故選：．10．解：，則，故選：．11.解：如圖，設，，，，，，則，，兩式作差，可得，，則，當為的中點時，直線的斜率為，，即，則，設為橢圓的左頂點，連接，則，得，解得或（舍去）．可得，則，，橢圓的離心率．故選：．12.解：令，，則有，又，故，即，令，，則有，即，由，可得，又，故，故正確；令，則有，即，故函數是奇函數，有，即，即函數是減函數，令，有，故正確、錯誤、正確．故選：．13．已知向量滿足，且是單位向量，若，則．【答案】所以，，又因為，所以，即，解得，所以.14．關于雙曲線，四位同學給出了四個說法：小明：雙曲線的實軸長為8；小紅：雙曲線的焦點到漸近線的距離為3；小強：雙曲線的離心率為；小同：雙曲線C上的點到焦點距離的最小值為1；若這4位同學中只有1位同學的說法錯誤，則說法錯誤的是．（橫線上填“小明”、“小紅”、“小強”或“小同”）【答案】小強【詳解】假設小明說法正確，則，即，又小紅說法正確，則雙曲線的焦點到漸近線的距離為，則此時雙曲線為，則，雙曲線的離心率為，雙曲線C上的點到焦點距離的最小值為，綜上，小明、小紅、小同的說法正確的，小強的說法錯誤.故答案為：小強.15．已知函數的圖象與函數且的圖象在公共點處有相同的切線，則切線方程為.【答案】【分析】設公共點為，即可得到，再由導數的幾何意義得到，從而求出，即可求出切點坐標，從而求出，再求出切線方程.【詳解】設公共點為，則，即，所以，所以，由，，所以，，又在公共點處有相同的切線，所以，即，所以，則，，故答案為：16．定義在封閉的平面區域D內任意兩點的距離的最大值稱為平面區域D的“直徑”．如圖，已知銳角三角形的三個頂點A，B，C在半徑為1的圓上，角的對邊分別為a，b，c，．分別以各邊為直徑向外作三個半圓，這三個半圓和構成平面區域D，則平面區域D的“直徑”的取值范圍是___________．【答案】.【分析】（1）根據給定條件，利用正弦定理邊化角，結合和角的正弦公式求出.（2）利用向量線性運算，結合向量的三角不等式求出區域D的“直徑”關系式，再利用三角恒等變換結合正弦函數性質求出范圍即得.【詳解】如圖，F，G是AC，BC的中點，E，F，G，H四點共線，設P，Q分別為、上任意一點，，，即PQ的長小于等于周長的一半，當PQ與HE重合時取等，同理，三個半圓上任意兩點的距離最大值等于周長的一半，因此區域D的“直徑”為的周長l的一半，由正弦定理得：，，，則，由為銳角三角形，得，即，則，，于是，所以平面區域D的“直徑”的取值范圍是.17.解：（1），當時，，兩式相減，得，即，又………………4分，滿足上式，………………5分即數列是首項為2，公比為2的等比數列，所以；………………6分證明：（2），………………8分………………11分．………………12分18.【解答】解：（1），為的中點，，，，平面，平面，，，，平面；……5分（2）以為原點，以方向為軸正方向，以射線的方向為軸正方向，建立空間坐標系，則，0，，，，，，2，，，2，，，0，設，，則，，，，，，，，，，0，設平面的法向量，，則令，則，1，平面的法向量，，，，5，，，，令，則，4，……9分由二面角的大小為，得，方程無解，不存在點使得二面角的大小為．……12分19.某機構為了解2023年當地居民網購消費情況，隨機抽取了100人，對其2023年全年網購消費金額（單位：千元）進行了統計，所統計的金額均在區間，內，并按，，，，，分成6組，制成如圖所示的頻率分布直方圖．（1）求圖中的值；（2）若將全年網購消費金額在20千元及以上者稱為網購迷，結合圖表數據，補全列聯表，并判斷是否有的把握認為樣本數據中網購迷與性別有關系？說明理由．男女合計網購迷20非網購迷47合計（3）若甲、乙兩位網購迷網購時支付方式采用軟件支付分概率分別為，采用其它支付方式的概率分別為，且甲、乙兩人網購時采用支付方式相互獨立．在甲、乙各自獨立完成的2次網購中，記甲、乙兩人支付方式采用支付的次數分別為，，令，求的分布列和數學期望下面的臨界值表僅供參考：0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828（參考公式：，其中【解答】解：（1）根據頻率分布直方圖得：，解得．……2分（2）根據頻率分布直方圖得樣本中網購迷的人數為，列聯表如下：男女合計網購迷152035非網購迷471865合計6238100解得．……6分有的把握認為樣本數據中的網購迷與性質有關系．（3）根據題意，的可能取值為0，1，2，，，．……9分的分布列為：012．……12分20．已知函數．(1)當時，求的單調區間；(2)當時，，求的取值范圍．【詳解】（1）當時，，則，……1分設，則恒成立，又，…2分所以當時，，單調遞減，當時，，單調遞增，所以的減區間為，增區間為；…4分（2），設，則，所以在上單調遞增，…5分又，，所以存在，使得，即，…6分當時，，單調遞減，當時，，單調遞增，當時，取得極小值，也是最小值，…7分所以，…9分所以，即，設，易知單調遞增，且，所以，解得，綜上，.…12分21．已知直線過定點，動圓過點，且在軸上截得的弦長為4，設動圓圓心軌跡為曲線.(1)求曲線的方程；(2)點，，為上的兩個動點，若，，恰好為平行四邊形的其中三個頂點，且該平行四邊形對角線的交點在上，記平行四邊形的面積為，求證：.【詳解】（1）設圓心坐標為過定點，依題意，，…2分化簡得，所以曲線的方程為.…4分（2）顯然點不在曲線上，設，直線PQ的斜率