四川省達州外國語學校2023?2024學年高一下學期期中考試數學試題一、單選題（本大題共8小題）1．復數，則（

）A． B． C． D．2．已知，，則（

）A．－3 B．－2 C．2 D．33．已知，，則（

）A． B． C． D．4．已知分別是內角所對的邊，是方程的兩個根，且，則（

）A． B． C． D．5．在平行四邊形ABCD中，E為線段CD中點，AC與BE交于點F，設，則=（

）A． B．C． D．6．已知向量，若∥，則的值等于（

）A． B． C．1 D．7．已知，，，則的值為（

）A．或0 B．0 C． D．8．已知，化簡的結果是（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．關于平面向量，下列命題正確的有（

）A．若，則存在，使得 B．若，則C． D．10．已知復數，下列結論正確的有（

）A．若，則B．若，則C．D．若，則的最大值為311．在三角形所在平面內，點滿足，其中，，，，則下列說法正確的是（

）A．當時，直線一定經過三角形的重心B．當時，直線一定經過三角形的外心C．當時，直線一定經過三角形的垂心D．當時，直線一定經過三角形的內心三、填空題（本大題共3小題）12．已知復數，當z在復平面內對應的點位于第三象限時，則實數m的取值范圍為13．設向量，滿足，，與的夾角為，則．14．已知，則.四、解答題（本大題共5小題）15．已知z是復數，和均為實數，其中i是虛數單位.(1)求復數z的共軛復數；(2)記，若復數對應的點在第三象限，求實數m的取值范圍.16．在中，．(1)求的值；(2)若，求．17．如圖，為了測量出到河對岸鐵塔的距離與鐵搭的高，選與塔底B同在水平面內的兩個測點C與D.在C點測得塔底B在北偏東方向，然后向正東方向前進米到達D，測得此時塔底B在北偏東方向.（1）求點D到塔底B的距離BD；（2）若在點C測得塔頂A的仰角為，求鐵塔高AB.18．記△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．(1)求的最小值；(2)若，求△ABC周長的最大值；(3)若，，求△ABC的面積19．如圖所示，已知在△OCB中，A是CB的中點，D是將分成2∶1的一個內分點，DC和OA交于點E，設，.(1)用和表示向量，；(2)若，求實數λ的值.

參考答案1．【答案】A【分析】利用復數的運算，共軛復數定義和復數模的計算即可得出結果.【詳解】，.故選A.2．【答案】C【分析】先將表示為，展開后將坐標代入即可得出結果.【詳解】因為，，所以.故選C.3．【答案】C【分析】直接由弦求切.【詳解】因為，，所以.故選C.4．【答案】B【分析】利用余弦定理去求的值.【詳解】是方程的兩個根，則有，則故選B.5．【答案】C【分析】依題意可得，即可得到，再根據平面向量線性運算法則計算可得；【詳解】依題意在平行四邊形中，，又是的中點，與交于點，所以，所以，所以，又因為，所以.故選C.6．【答案】D【分析】根據，且∥，由平面向量共線的坐標表示結合商數關系求解.【詳解】因為，且∥，所以，即，所以.故選D【方法總結】本題主要考查平面向量共線的坐標表示以及同角三角函數基本關系式，還考查了運算求解的能力.7．【答案】D【分析】根據兩角差的正弦公式，結合同角三角函數的關系與求解即可.【詳解】∵，∴，∵，，∴，.則或0.∵，∴.故選D.8．【答案】B【分析】由倍角公式結合同角三角函數關系計算化簡即可.【詳解】.故選B.9．【答案】AC【分析】由平面向量共線定理知A正確；由反例可知BD錯誤；由數量積的運算律和定義可構造不等式得到，由此可知C正確.【詳解】對于A，由平面向量共線定理知：若，則存在，使，A正確；對于B，若或中有零向量，則無法得到，B錯誤；對于C，，，則，C正確；對于D，當時，，又，不成立，D錯誤.故選AC.10．【答案】BCD【分析】利用特殊值判斷A選項；由復數的運算判斷BCD.【詳解】若復數，滿足，但這兩個虛數不能比大小，A選項錯誤；若，則，即，得或，所以，B選項正確；設，，則，，，所以，C選項正確；若，得，有，，則，時取等號，則的最大值為3，D選項正確.故選BCD.11．【答案】AC【分析】對于A，點為的中點，根據重心的性質和已知條件分析判斷，對于B，由向量的加法法則分析判斷，對于C，化簡即可得結論，對于D，結合正弦定理得，進一步由A選項分析可知.【詳解】對于A，因為，，設點為的中點，所以，所以直線一定經過三角形的重心，故A正確；對于B，當時，，因為為與方向相同的單位向量，為與方向相同的單位向量，所以平分，即直線一定經過三角形的內心，故B錯誤；對于C，當時，，所以，所以，所以直線一定經過三角形的垂心，故C正確；對于D，當時，，而由正弦定理有，即有，結合A選項分析可知直線一定經過三角形的重心，故D錯誤.故選AC.【關鍵點撥】判斷的C關鍵是得到等于0，由此即可順利得解.12．【答案】【分析】首先根據復數的幾何意義表示出復數所對應的點的坐標，再根據坐標位置得到不等式組，解得即可；【詳解】解：復數在復平面內對應的點的坐標為當在復平面內對應的點位于第三象限時，，解得：，的取值范圍是．故答案為：.13．【答案】【分析】先計算出，從而求出.【詳解】，故.故答案為：.14．【答案】/0.8【分析】根據誘導公式化簡可得，即可根據二倍角公式以及齊次式求解.【詳解】由可得，，故答案為：.15．【答案】(1)(2)【分析】（1）設，分別代入和，再根據兩者均為實數可求得，，進而可求得復數z的共軛復數；（2）化簡，再根據復數對應的點在第三象限可建立不等式組，求解即可.【詳解】（1）設，則由為實數，則，所以，由為實數，則，所以則，復數z的共軛復數.（2）由（1）可知，由對應的點在第三象限，得，即，解得故實數m的取值范圍為16．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據正弦二倍角和正切二倍角公式求解即可.（2）根據同角的三角函數關系得到，，再結合已知條件和余弦二倍角公式求解即可.【詳解】（1）因為，所以，因為，所以．．（2）因為，，所以，．因為故.17．【答案】（1）米；（2）米.【解析】（1）利用正弦定理列方程，解方程求得.（2）利用正弦定理列方程，解方程求得，再解直角三角形求得.【詳解】（1）由題意可知，，，故在中，由正弦定理，得，∴點D到塔底B的距離BD為米（2）在中，由正弦定理，得∴.在中，.∴鐵塔高AB為米.18．【答案】(1)(2)12(3)【分析】（1）根據題意利用正弦定理結合三角恒等變換分析可得，再利用余弦定理結合基本不等式分析運算即可；（2）由（1）可得，結合基本不等式分析運算；（3）根據題意結合正弦定理可求得，利用正弦定理以及面積公式分析運算.【詳解】（1）因為，由正弦定理得，整理得，可得，所以，由正弦定理得，即．又因為，所以，即，而，當且僅當時，等號成立，則，故的最小值為．（2）結合（1）可知，又因為，即，則，當且僅當時，等號成立，故△ABC周長的最大值為．（3）由及得，，因為，則，可得，又因為，則，顯然，所以，即，又因為且，解得，，，因為，