山東省泰安市新泰一中老校區（新泰中學）2024?2025學年高二下學期第一次月考數學試題(精校)一、單選題（本大題共8小題）1．用數字0，1，2，3，4，5組成無重復數字的三位數且是偶數的個數為（

）A．52 B．58 C．56 D．502．已知函數，則下列說法正確的是（

）A．的極小值為 B．的極大值為C．在區間上單調遞增 D．在區間上單調遞減3．函數的單調遞減區間是（

）A．， B． C． D．4．若函數f(x)＝(a＞0)在[1，+∞)上的最大值為，則a的值為（

）A．＋1 B． C． D．?15．運動會期間，將甲、乙等5名志愿者安排到，，三個場地參加志愿服務，每名志愿者只能安排去一個場地，每個場地至少需要1名志愿者，且甲、乙兩名志愿者不安排到同一個場地，則不同的安排方法種數為（

）A．72 B．96 C．114 D．1246．函數圖像是A． B．C． D．7．關于函數，下列判斷錯誤的是（

）A．函數的圖像在點處的切線方程為B．是函數的一個極值點C．當時，D．當時，不等式的解集為8．已知函數，若存在，使得，則實數的取值范圍是（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．已知在處取得極大值3，則下列結論正確的是（

）A． B． C． D．10．一個袋子里裝有3個紅球，7個黃球，每次隨機的摸出一個球，摸出的球不再放回則下列說法正確的是（

）A．第二次摸出紅球的概率為B．第一次摸出黃球的條件下，第二次摸出紅球的概率為C．第一次摸出黃球且第二次摸出紅球的概率為D．已知第二次摸出紅球，則第一次摸出黃球的概率為11．若，則（

）A．B．C．D．三、填空題（本大題共3小題）12．若函數在區間內單調遞增，則的取值范圍是．13．已知的展開式中第3項與倒數第3項的二項式系數之和等于72，則該展開式中的常數項為.14．已知，若關于x的方程有3個不同實根，則實數取值范圍為．四、解答題（本大題共5小題）15．（1）計算：；（2）若，求的值;（3）化簡求值：.16．已知的展開式中各項的二項式系數之和為128.(1)求展開式中項的系數；(2)求展開式中項的系數最大的項.17．已知函數.(1)當時，求函數的單調區間；(2)若對任意，恒成立，求實數的取值范圍.18．已知函數，其中．(1)若是函數的極值點，求a的值；(2)若，討論函數的單調性．19．已知函數在處取得極值.(1)求實數的值；(2)求在區間上的最大值和最小值；(3)若方程有三個不同的實數根，求實數的取值范圍.

參考答案1．【答案】A【詳解】偶數可分為兩類：①末位為0：共種②末位為2或4：首位有4種選擇，共有種則共有52種.故選A.2．【答案】B【分析】求導，利用導函數的符號變化得到函數的單調區間，進而求出函數的極值.【詳解】因為，所以，令，得或；令，得；所以在區間，上單調遞增，在區間上單調遞減，所以在處有極大值，極大值為；在處有極小值，極小值為.故選B.3．【答案】C【詳解】定義域為，，則，則得；得，則的單調遞增區間為，單調遞減區間為故選C.4．【答案】D【解析】對函數進行求導，討論研究函數在上的單調性，而求出最大值，即可得到的值．【詳解】解：的導數為，當時，時，，單調減，當時，，單調增，當時，取得最大值，解得，不合題意；當時，在遞減，最大，且為，不成立；當時，在遞減，最大，即，解得，故選．【方法總結】對于利用導數研究不等式的恒成立與有解問題的求解策略：1通常要構造新函數，利用導數研究函數的單調性，求出最值，從而求出參數的取值范圍；2利用可分離變量，構造新函數，直接把問題轉化為函數的最值問題．3根據恒成立或有解求解參數的取值時，一般涉及分離參數法，但壓軸試題中很少碰到分離參數后構造的新函數能直接求出最值點的情況，進行求解，若參變分離不易求解問題，就要考慮利用分類討論法和放縮法，注意恒成立與存在性問題的區別．5．【答案】C【詳解】將5名志愿者分為1，2，2，且甲、乙兩名志愿者不安排到同一個場地，則不同的安排方法有種.將5名志愿者分為1，1，3，且甲、乙兩名志愿者不安排到同一個場地，則不同的安排方法有種.故不同的安排方法共有種.故答案為C.6．【答案】C【詳解】由函數，知，是奇函數，圖像關于原點對稱，排除A，D；當時，，則，令，解得，當時，則單調遞增，當時，則單調遞減，且當時，，結合選項可知，C為正確選項，故選C.7．【答案】B【解析】先對函數求導，得到，求出函數的圖像在點處的切線方程，即判斷A；根據時，恒成立，得到函數單調，無極值點，可判斷B；根據導數的方法求出時，的最小值，即可判斷C；根據導數的方法判斷時函數的單調性，根據單調性列出不等式組求解，即可得出結果.【詳解】因為，所以，，所以，因此函數的圖像在點處的切線方程為，即，故A正確；當時，在上恒成立，即函數在定義域內單調遞減，無極值點；故B錯；當時，，由得；由得，所以函數在上單調遞減，在上單調遞增；因此，即；故C正確；當時，在上恒成立，所以函數在上單調遞減；由可得，解得：，故D正確；故選B.8．【答案】B【解析】由可得：存在，使得，轉化成：存在，使得，求出，問題得解．【詳解】因為，所以存在，使得，可轉成：存在，使得，即：存在，使得，即：，又所以故選B.9．【答案】AD【詳解】由題意可得，且是函數的極大值點，即，可得，又極大值為3，所以，解得或；當時，，此時，時，，時，所以函數在上單調遞減，在上單調遞增；此時函數在處取得極小值，與題意不符，即舍去；當時，，此時，時，，時，，所以函數在上單調遞增，在上單調遞減；此時函數在處取得極大值，符合題意，所以，，即，所以A正確，B錯誤；此時，所以，，即C錯誤，D正確.故選AD.10．【答案】ABD【詳解】對于A、第二次摸出紅球分兩種情況：第一次摸出黃球，第二次摸出紅球，其概率為第一次摸出紅球，第二次摸出紅球，其概率為，可得第二次摸出紅球的概率為：，所以選項A正確；對于B、設“第一次摸出黃球”為事件A，“第二次摸出紅球”為事件，由選項A的分析可知，，根據條件概率公式，所以選項B正確；對于C、由選項A可知，第一次摸出黃球且第二次摸出紅球的概率為，所以選項C錯誤；對于D、設第一摸出黃球求事件，第二次摸出紅球為事件，由前面的計算可得，由條件概率公式，所以選項D正確.故選ABD.11．【答案】AC【詳解】A.令得，，故，選項A正確;B.令得，，故，選項B錯誤;C.二項式展開式的通項為，∴，當為偶數時，，當為奇數時，，令得，，選項C正確;D.令得，，∵，∴，選項D錯誤.故選AC.12．【答案】【詳解】由題意可知：的定義域為，且，令，得，可知的單調增區間為，若函數在區間內單調遞增，依題意，解得，所以的取值范圍是.13．【答案】/【詳解】由題意，即，即，解得（舍去），根據展開式的通項，令，則，故常數項為.14．【答案】【詳解】當時，，，當時，，當時，，故在上單調遞增，在上單調遞減，且，當時，恒為正，當時，，，當時，，當時，，故在上單調遞減，在上單調遞增，且，畫出的圖象如下：要想關于x的方程有3個不同實根，則要函數與有3個不同的交點即可，顯然當時，符合要求.15．【答案】（1）；（2）；（3）.【詳解】（1）（2）依題意，，則，整理得：，而，所以.（3）由題意知，需滿足且即滿足不等式組，即，解得所以原式.16．【答案】(1);(2).【詳解】（1）次二項式的展開式中各項的二項式系數和，由題意，得，即，由二項式通項公式，得，即，令，得展開式中項的系數為.（2）設展開式中第項的系數最大，則有，化簡得，即為，解得，，則，展開式中項的系數最大的項為.【規律方法】求解二項式系數或展開式系數的最值問題的思路：第一步，首先要弄清所求問題是求展開式中“二項式系數的最大值”“項的系數的最大值”以及“最大項”三者中的哪一個；第二步，若是求二項式系數的最大值，則依據(a＋b)n中n的奇偶及二項式系數的性質求解．若是求展開式中項的系數的最大值，設展開式各項的系數分別為A1，A2，…，An＋1，且第k項系數最大，因此在系數均為正值的前提下，求展開式中項的系數的最大值只需解不等式組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(Ak≥Ak－1，,Ak≥Ak＋1))即得結果．求二項式系數的最大值或系數的最大值只需要寫系數，求最大項需要把完整的那一項寫出來．17．【答案】(1)的單調遞減區間是，單調遞增區間是(2)【詳解】（1）當時，函數的定義域是，，令，得，解得，故的單調遞減區間是，令，得，解得，故的單調遞增區間是，綜上，的單調遞減區間是，單調遞增區間是.（2）由任意，知恒成立.因，故，在上恒成立.設，則，令，得，（舍去），當時，，單調遞增，當時，，單調遞減，故當時，取得極大值，也是最大值，且，所以若在上恒成立，則，故實數的取值范圍是.18．【答案】(1)；(2)答案見解析.【詳解】（1）由可得，，且，因是函數的極值點，故，解得.當時，，由可得，由可得或，即函數在上單調遞減，在上單調遞增，在上單調遞減，故是的極小值點.故；（2）由（1），，因，由，解得或.①若，則，當時，，當或時，.即函數在上單調遞減，在上單調遞增，在上單調遞減；②若，即，當時，，當或時，.即函數在上單調遞減，在上單調遞增，在上單調遞減；③若，則，則，故函數在上單調遞減.綜上所述，當時，函數在上單調遞減，在上單調遞增，在上單調遞減；當時，函數在上單調遞減；當時，函數在上單調遞減，在上單調遞增，在上單調遞減.【易錯警