湖南省長沙市望城區第一中學2025屆高三3月學情調研數學試卷一、單選題（本大題共8小題）1．集合，則（）A． B．C． D．2．復數，其中為虛數單位，則復數的共軛復數的虛部為（

）A． B． C． D．3．如圖，在四面體中，點，分別是，的中點，點是線段上靠近點的一個三等分點，令，則（

）

A． B．C． D．4．已知是等差數列的前項和，若，，則數列的首項（

）A．3 B．2 C．1 D．5．四色猜想又稱四色問題、四色定理，是世界近代三大數學難題之一.四色定理的內容是“任何一張地圖最多用四種顏色就能使具有共同邊界的國家著上不同的顏色.”如圖，一矩形地圖被分割成了五塊，小剛打算對該地圖的五個區域涂色，每個區域只使用一種顏色，現有4種顏色可供選擇（4種顏色不一定用完），滿足四色定理的不同的涂色種數為A．96 B．72 C．108 D．1446．如圖所示，下列頻率分布直方圖顯示了三種不同的形態．圖（1）形成對稱形態，圖（2）形成“右拖尾”形態，圖（3）形成“左拖尾”形態，根據所給圖做出以下判斷，不正確的是（

）

A．圖（1）的平均數=中位數=眾數 B．圖（2）的眾數<中位數<平均數C．圖（2）的平均數<眾數<中位數 D．圖（3）的平均數<中位數<眾數7．已知函數是定義域為的偶函數，且，當時，，則（）A． B． C．254 D．20258．已知拋物線（），O為原點，過拋物線C的焦點F作斜率為的直線與拋物線交于點A，B，直線AO，BO分別交拋物線的準線于點C，D，則為（

）A．2 B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．已知函數，則下列說法中正確的有（

）A．的圖象關于直線對稱B．的圖象關于點對稱C．在上單調遞增D．若，則的最小值為10．已知.設命題：過點恰可作一條關于的切線.以下為命題的充分條件的有（

）A． B．C． D．11．若平面點集，滿足：任意點，存在正實數，都有，則稱該點集為“階集”，則下列說法正確的是（

）A．若是“階集”，則B．若是“階集”，則為任意正實數C．若是“階集”，則D．若是“階集”，則三、填空題（本大題共3小題）12．在以O為中心，、為焦點的橢圓上存在一點M，滿足，則該橢圓的離心率為.13．公元前6世紀，古希臘的畢達哥拉斯學派研究過正五邊形和正十邊形的作圖，發現0.618就是黃金分割，這是一個偉大的發現，這一數值也表示為，若，則.14．在中，，點D在線段上，，，，點M是外接圓上任意一點，則最大值為.四、解答題（本大題共5小題）15．已知函數，且.(1)求曲線在點處的切線方程；(2)求函數的極值.16．已知：斜三棱柱中，，與面所成角正切值為，，，點為棱的中點，且點向平面所作投影在內．(1)求證：；(2)為棱上一點，且二面角為，求的值．17．在矩形中，點在線段上，且.(1)求；(2)若動點分別在線段上，且與面積之比為，試求的最小值.18．已知事件滿足.證明：(1)若，則與獨立；(2).19．設點A為雙曲線的左頂點,直線l經過點,與C交于不與點A重合的兩點P,Q．(1)求直線的斜率之和;(2)設在射線上的點R滿足,求直線的斜率的最大值．

參考答案1．【答案】B【詳解】由題設，且，則.故選B．2．【答案】A【詳解】，，由得，，故.故選A.3．【答案】A【詳解】連接，，則.故選A．

4．【答案】B【詳解】設等差數列的公差為，因為，可得，即，所以，又因為，可得，即，聯立解得，.故選B.5．【答案】D【詳解】如圖，把五塊區域編號，第一步涂有4種可能，第二步涂有3種可能，第三步，又分類：按同色有種，不同色有種，共有方法數為．故選D．6．【答案】C【分析】根據平均數、中位數、眾數的概念，結合圖形分析即可求解.【詳解】圖（1）的分布直方圖是對稱的，所以平均數=中位數=眾數，故A正確；圖（2）中眾數最小，右拖尾平均數大于中位數，故B正確，C錯誤；圖（3）左拖尾眾數最大，平均數小于中位數，故D正確.故選C.7．【答案】B【詳解】由是偶函數推出的性質，因為是定義域為的偶函數，所以，即，對于任意都成立，那么.用代替，可得，即.又因為，則關于直線對稱，所以.由和可得，再用代替，得到，即，而，所以，進而，所以函數的周期是.已知當時，...因為的圖象關于直線對稱，所以，...，，.則.因為，其中是余數.所以.，故選B.8．【答案】A【分析】根據題意，聯立方程組求得，得到，由拋物線的定義，得到，再由的方程為，求得，證得，同理可得，求得，即可求解.【詳解】如圖所示，由拋物線，可得，準線方程為，則過拋物線C的焦點F作斜率為的直線方程為，聯立方程組，整理得，設，則且，則，根據拋物線的定義，可得，又由，所以直線的方程為，令，可得，因為，可得，所以，同理可得，所以，所以.故選：A.9．【答案】BCD【詳解】A選項，時，，因為不是的對稱軸，故A錯誤；B選項，時，，因為是的對稱中心，故B正確；C選項，時，，因為在上單調遞增，故C正確；D選項，因為，由得，所以的最小值即為兩條相鄰對稱軸之間的距離，即為，因為，所以的最小值為.故選BCD.10．【答案】BD【詳解】，設切點為，則切線方程為：，因為切線經過點，將點代入得，化簡得，方程有一個根，令，，轉化為直線與曲線只有一個交點，，當時，，，，，故在和上單調遞增，在上單調遞減，根據直線與只有一個交點，則有或即，，同理當時，，，，，故在和上單調遞減，在上單調遞增，根據直線與曲線只有一個交點，可得或，，綜上，要想過恰可作一條關于的切線，則或；或.A選項，，若，則，無法推出，故A錯誤；B選項，，若，則，若，則，可以推出，故B正確；C選項，，無法推出，故C錯誤；D選項，，若，則，若，則，可以推出，故D正確.故選BD.11．【答案】ABC【詳解】對于A，若是“階集”，則，所以，因為，所以，故A正確；對于B，若是“階集”，則，則為任意正實數，故B正確；對于C，若是“階集”，則，由得出，當時，，所以，當時，取，，滿足，但是，所以為使成立時，，正實數的取值范圍是，故C是正確；對于D，若是“階集”，則，當，，時，，故不成立，故D錯誤.故選ABC.12．【答案】/【詳解】因為，所以，因為與互補，且，由余弦定理可得，可得，所以.故選C．

13．【答案】【詳解】解：∵，若，∴，∴．14．【答案】【詳解】由題意可得：，，所以，解得，則，設的外心為，外接圓的半徑為，由正弦定理得：，解得，可得．由平面向量的線性運算知，，所以，由圖可知：．當且同向時，，所以最大值為．1．平面向量的線性運算要抓住兩條主線：一是基于“形”，通過作出向量，結合圖形分析；二是基于“數”，借助坐標運算來實現．2．正確理解并掌握向量的概念及運算，強化“坐標化”的解題意識，注重數形結合思想、方程思想與轉化思想的應用．提醒：運算兩平面向量的數量積時，務必要注意兩向量的方向．15．【答案】(1)(2)極小值為，極大值為【詳解】（1）由題設，則；，則，所以點處的切線方程為，即；（2）由（1），由，有或，由，有，故在區間上單調遞增，在上單調遞減，所以的極小值為，極大值為.16．【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）證明：取線段的中點，連接、，在斜三棱柱中，且，則四邊形為平行四邊形，所以，且，因為、分別為、的中點，所以，四邊形為平行四邊形，所以，，又因為，則，因為，則，因為，為的中點，則，因為，、平面，所以，平面，因為平面，所以，.（2）解：由（1）可知，平面，過點在平面內作，垂足為點，因為平面，平面，則，又因為，，、平面，則平面，所以，直線與平面所成的角為，所以，，則，因為，可得，，因為，則，，所以，，則，因為為的中點，所以，，以點為坐標原點，、、的方向分別為、、軸的正方向建立如下圖所示的空間直角坐標系，則、、、、，，則，即點，同理可得點、，設，其中，則，且，設平面的法向量為，則，取，則，，所以，平面的一個法向量為，易知平面的一個法向量為，因為二面角為，則，整理可得，因為，解得，即.17．【答案】(1)(2)【詳解】（1）過作于，設，易知，則，由，整理得到，解得或（舍），所以.（2）由（1）易知，，設，又，得到，在中，由余弦定理得到，所以，當且僅當時取等號，故的最小值為.18．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【詳解】（1）因為，所以，則，由，從而，則，而，由，即，所以與獨立；（2）一方面，，又因為，所以，另一方面，，綜上所述，有.19．【答案】(1)(2)【詳解】（1）由題知.由于平移不改變斜率,作平移變換.則點的坐