河北省邢臺(tái)市2024?2025學(xué)年高三下學(xué)期3月調(diào)研考試數(shù)學(xué)試題一、單選題（本大題共8小題）1．已知集合，其中是圓周率，則（

）A． B．C． D．2．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，則公差（

）A．3 B．4 C．5 D．63．已知，且，則（

）A． B． C． D．4．已知向量，當(dāng)時(shí)，有最小值，則（

）A． B． C．1 D．25．定義在上的奇函數(shù)滿足當(dāng)時(shí)，，且，則（

）A． B． C． D．6．在中，的對(duì)邊分別為，且滿足，則的面積（

）A． B． C． D．7．已知與在函數(shù)的同一個(gè)周期區(qū)間內(nèi)，且，，則（

）A． B． C． D．8．已知離心率為的橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，點(diǎn)為第一象限內(nèi)橢圓外一點(diǎn)，且，，線段交橢圓于，設(shè)，則（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．時(shí)，曲線的切線斜率最小值為B．時(shí)，有最大值C．時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn)D．時(shí)，有最小值10．已知，圓與直線交于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則（

）A．時(shí)， B．過(guò)點(diǎn)向圓所引的切線長(zhǎng)為C．時(shí)，中點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為 D．11．如圖，在正三棱柱中，，，是的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．若，則與平面成角 B．若，則平面平面C．若，則 D．若，則三棱柱有內(nèi)切球三、填空題（本大題共3小題）12．在拋物線上點(diǎn)的縱坐標(biāo)比橫坐標(biāo)大，且點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為，則．13．已知角，滿足，，則．14．已知正實(shí)數(shù)，滿足，則的最小值為．四、解答題（本大題共5小題）15．如圖，在正四棱錐中，，是的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，且，點(diǎn)在線段上（不與點(diǎn)重合），與交于點(diǎn)．（1）證明：平面；（2）設(shè)平面，，求二面角的余弦值．16．已知函數(shù)．（1）時(shí)，曲線在處的切線與處的切線平行，求的值；（2）若函數(shù)是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值．17．將標(biāo)號(hào)為1，2，3，4，5，6的6個(gè)小球放入標(biāo)號(hào)為的四個(gè)小盒中，使每個(gè)小盒都不空．（1）求盒子中放入小球個(gè)數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望；（2）在1號(hào)小球放入盒子的前提下，求2號(hào)小球不放入盒子的概率．18．已知圓與雙曲線的右支交于，兩點(diǎn)，且是圓的直徑，過(guò)向圓引切線，切點(diǎn)為，，．（1）求的值；（2）若為坐標(biāo)原點(diǎn)，求的面積．19．定義集合，.（1）求與；（2）設(shè)集合中元素的個(gè)數(shù)為，是否存在，使得成立？若存在，求出一組，，的值；若不存在，說(shuō)明理由；（3）記表示不超過(guò)的最大整數(shù)，且，求的值．

參考答案1．【答案】C【詳解】或，或.故選C.2．【答案】A【詳解】在等差數(shù)列中，，解得，而，所以公差.故選A.3．【答案】D【詳解】所以.可得.由可得，解得或.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.逐一分析選項(xiàng)，對(duì)于A選項(xiàng)：當(dāng)，時(shí)，；當(dāng)，時(shí)，，所以該選項(xiàng)不一定正確.對(duì)于B選項(xiàng)：當(dāng)，時(shí)，；當(dāng)，時(shí)，，所以該選項(xiàng)不一定正確.對(duì)于C選項(xiàng)：當(dāng)，時(shí)，；當(dāng)，時(shí)，，所以該選項(xiàng)不一定正確.對(duì)于D選項(xiàng)：當(dāng)，時(shí)，；當(dāng)，時(shí)，，所以該選項(xiàng)正確.故選D.4．【答案】C【詳解】由已知，即，解得.故選C．5．【答案】D【詳解】當(dāng)時(shí)，，則，且，又，則，，，又是上的奇函數(shù)，所以.故選D.6．【答案】C【詳解】由余弦定理，即，，.故選C.7．【答案】A【詳解】由得，所以

①或②；由得所以③或④；由①③得由①④得由②③得由②④得又因?yàn)椋詴r(shí)，.故選A.8．【答案】B【詳解】連接，如下圖所示：因?yàn)椋瑒t，所以，，設(shè)，由橢圓的定義可得，且，由余弦定理可得，由余弦定理可得，即，解得，即，，因?yàn)椋?故選B.9．【答案】AD【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)椋遥瑢?duì)于A選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以，時(shí)，曲線的切線斜率最小值為，A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，對(duì)任意的恒成立，所以，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上為增函數(shù)，則無(wú)最大值，B錯(cuò)；對(duì)于CD選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，，由可得，由可得，此時(shí)，函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為，則，所以，，所以，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最小值，函數(shù)無(wú)零點(diǎn)，C錯(cuò)D對(duì).故選AD.10．【答案】BCD【詳解】圓的圓心，半徑，對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)到直線的距離，則，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，切線長(zhǎng)為，B正確；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)，令弦中點(diǎn)為，則，點(diǎn)的軌跡是以為直徑的半圓（不含端點(diǎn)），軌跡長(zhǎng)度為，C正確；

對(duì)于D，由消去得，設(shè)，則，，D正確.故選BCD.11．【答案】ACD【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，取中點(diǎn)，連接.因?yàn)檎庵衅矫妫跃褪桥c平面所成的角.已知，則，.當(dāng)時(shí)，，所以，選項(xiàng)A正確.

對(duì)于選項(xiàng)B，以為原點(diǎn)，分別以所在直線為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系.當(dāng)時(shí)，，，，，.可得，，設(shè)平面的法向量為，則，令，解得.又，，設(shè)平面的法向量為，則，令，解得.計(jì)算，所以平面與平面不垂直，選項(xiàng)B錯(cuò)誤.

對(duì)于選項(xiàng)C，，.已知，，，，，.當(dāng)時(shí)，，故，選項(xiàng)C正確.

對(duì)于選項(xiàng)D，若正三棱柱有內(nèi)切球，則內(nèi)切球的半徑等于底面正三角形的內(nèi)切圓半徑且等于側(cè)棱長(zhǎng)的一半，即，此時(shí)，選項(xiàng)D正確.故選ACD.12．【答案】或【詳解】設(shè)點(diǎn)，其中，拋物線的焦點(diǎn)為，則，由題意可得，解得或，因此，或.13．【答案】【詳解】注意到，，展開(kāi)整理得：，，解得．14．【答案】6【詳解】正實(shí)數(shù)，，令，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，又，于是，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以時(shí)，取得最小值6.15．【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【詳解】（1）因?yàn)樗倪呅问钦叫危裕遥驗(yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，則，又因?yàn)椋瑒t，所以，，因?yàn)槠矫妫矫妫虼耍矫?（2）因?yàn)槠矫妫倪呅螢檎叫危渣c(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、的方向分別為、、軸的正方向建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則、、、，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，，，則，取，可得，設(shè)平面的法向量為，，，則，取，可得，所以，.由圖可知，二面角的平面角為銳角，故二面角的余弦值為.16．【答案】（1）（2）（3）答案見(jiàn)解析【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，則，所以，，由，即，即，解得或，由題意可知，，所以，.（2）因?yàn)椋瑒t，因?yàn)楹瘮?shù)在上為增函數(shù)，故對(duì)任意的，，可得，因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故，即，因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是.（3）當(dāng)時(shí)，，則，令可得或，列表如下：增極大值減極小值增所以，函數(shù)的增區(qū)間為、，減區(qū)間為，函數(shù)的極大值為，極小值為.17．【答案】（1）分布列見(jiàn)解析，數(shù)學(xué)期望為；（2）.【詳解】（1）的所有可能值為1，2，3，當(dāng)時(shí)，放入盒子中一個(gè)小球的放法總數(shù)，當(dāng)時(shí)，放入盒子中兩個(gè)小球的放法總數(shù)，當(dāng)時(shí)，放入盒子中三個(gè)小球的放法總數(shù)，因此，，所以的分布列為123數(shù)學(xué)期望.（2）在1號(hào)小球放入盒子的前提下，盒子中小球個(gè)數(shù)是時(shí)放法數(shù)為，，在1號(hào)小球放入盒子的前提下，2號(hào)小球沒(méi)放入盒子，盒子中小球個(gè)數(shù)是時(shí)放法數(shù)為，，所以2號(hào)小球不放入盒子的概率為.18．【答案】（1）（2）【詳解】（1）設(shè)，則，，即，，又，.

（2）由（1）可得，設(shè)，則，，又，，，設(shè)直線的方程為，代入雙曲線方程整理得：，因?yàn)辄c(diǎn)是的中點(diǎn)，且在雙曲線右支內(nèi)，所以當(dāng)時(shí)，，則，，，，代入整理得，即，，，解得，所以直線的方程為，所以點(diǎn)到直線的距離，所以的面積.19．【答案】（1），（2）不存在，理由見(jiàn)詳解（3）4050【詳解】（1）對(duì)于，，，在不大于16的所有正整數(shù)中，即不能被3整除又不能被4整除的數(shù)有