河北省2024?2025學年高三下學期全過程縱向評價（四）數學試題一、單選題（本大題共8小題）1．已知集合，集合，則的子集個數為（

）A．2 B．4 C．8 D．162．已知為虛數單位，復數，則（

）A． B． C． D．3．已知向量，向量，若與的夾角為，則自然數（

）A．1 B．3 C．5 D．94．數列的通項公式分別為，在數列中去掉兩個數列的公共項后，小于25的項中質數占比為（

）A． B． C． D．5．函數與的圖象在上的交點個數為（

）A．2 B．3 C．4 D．56．已知函數在上單調遞增，在上單調遞減，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．7．已知球的體積為，在球的內部放置一個圓錐，則能放下的圓錐的最大體積是（

）A． B． C． D．8．已知函數，若方程恰有四個不同實數根，則實數的取值范圍是（

）A． B．C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．某市高三年級學生聯考，學生的數學成績近似服從正態分布，則下列說法正確的是（

）A．該市高三年級學生的數學成績的方差是5B．從本次聯考數學成績中隨機調查1名學生的成績，分數大于120的概率比分數低于105的概率小C．D．從本次聯考數學成績中隨機調查3名學生的成績，至少有1個成績低于110的概率為10．以下選項正確的是（

）A．若等比數列的公比為，則“”是“是遞增數列”的必要條件B．函數的圖像關于對稱，則C．函數在區間上的最小值為D．數列的前項和11．已知橢圓，過平面直角坐標系原點作兩條互相垂直的直線分別交橢圓于點和點，則下列說法正確的是（

）A．四邊形一定有內切圓B．四邊形一定有外接圓C．四邊形面積的最小值為D．四邊形周長的最小值為三、填空題（本大題共3小題）12．雙曲線的一個焦點為，則的漸近線方程為.13．曲線在處的切線與直線垂直，則.14．在三棱錐中，為直角三角形，且平面，小明和小亮兩名同學做游戲，第一次每人從三棱錐的表面中任取一個平面，取哪個平面相互獨立，取出的兩個平面若垂直，則游戲結束，否則游戲繼續；第二次每人從三棱錐的棱中任取一條棱，取哪條棱相互獨立，取出的兩條棱若共面，則游戲結束，否則繼續第一次的游戲操作；如此反復直到游戲結束，則游戲在第三次結束的概率為.四、解答題（本大題共5小題）15．在中，角，，所對的邊分別為，，，，且.(1)求的大小；(2)若邊上的中線，求的周長.16．如圖，在四棱錐中，底面是直角梯形，，，，，，是棱的中點，若側棱底面，且直線與平面所成角的正弦值為.(1)求的值；(2)求平面與平面所成角的大小.17．已知拋物線的焦點為，過作互相垂直的兩條直線，這兩條直線與拋物線分別交于和兩點，其中點在第一象限.(1)求拋物線的標準方程；(2)求四邊形面積的最小值；(3)證明：直線與直線的交點在定直線上.18．已知函數.(1)求的最小值；(2)若函數有三個零點，且，①求的取值范圍；②判斷的符號，并證明.19．已知數列是無窮數列，且，的值為在，，，，中所出現的次數，記為數列的前項和.(1)若，求；(2)若，求數列的通項公式，并求的值；(3)是否只有有限個數會在數列中出現無限次，請說明理由.

參考答案1．【答案】C【詳解】因為集合，，則，所以的子集的個數：，故選C.2．【答案】C【詳解】，則，故選C.3．【答案】D【詳解】由，可得，整理可得：，解得或，故自然數.故選D.4．【答案】B【詳解】中的項依次為；中的項依次為；與的小于25的公共項為：4，16；在數列中去掉與的公共項后，小于25的項有：；其中質數有：，所以小于25的項中質數的占比為，故選B.5．【答案】D【詳解】由題意作出與的圖象：結合圖象可以得到在上兩圖象有5個交點，故選D.6．【答案】B【詳解】根據題意，函數在上單調遞增，則在上單調遞增，令，則在上單調遞減，所以且，故選B.7．【答案】A【詳解】由球的體積為，可得球半徑為，設圓錐高為，則底面圓半徑為，所以圓錐體積，方法一：設，則，當時，，所以在單調遞增，當時，，所以在單調遞減，所以.方法二：由，當且僅當時取等號，即時，最大為.故選A.8．【答案】D【詳解】如圖所示，作出函數的圖象，易知，先求與相切時的值，設切點為，則切線方程為，將代入，化簡得，易知函數單調遞增，，所以，所以當時，與有兩個交點；當時，與有一個交點，當時，與沒有交點.易知兩函數圖象均關于對稱，可聯立得，，則，此時切點橫坐標為，當過點時，，所以當時，與有兩個交點；當時，與沒有交點；當時，與有三個交點.綜上，若與有四個交點，則，故選D.9．【答案】BD【詳解】由題意可知，該市高三年級學生的數學成績的均值為110，方差是25，故A錯誤；，由正態分布的性質可知B正確；，故C錯誤；學生成績低于110的概率為，每一名學生的成績相互獨立，所以3名學生的數學成績，至少有1個成績低于110的概率為，故D正確.故選BD.10．【答案】ACD【詳解】A，若等比數列的公比，則為擺動數列，顯然不單調遞增，若等比數列是遞增數列，一定有，A正確；B，因為函數的對稱軸為，所以，整理得：，則，B錯誤；C，首先且在區間上單調遞減，且在區間上單調遞減，在上單調遞增，對稱軸為，分析可知最小值在上，此時分子且單調遞減，分母單調遞增，此時函數為單調遞減函數，所以當時取得最小值為正確；D，因，則，D正確.故選ACD.11．【答案】AC【詳解】由題意可知，由橢圓的對稱性，與關于原點對稱，與關于原點對稱，所以四邊形是平行四邊形，且對角線互相垂直，所以四邊形是菱形，那么對角線就是角平分線，所以對角線交點即為到四條邊的距離相等，所以四邊形一定有內切圓，A正確；四邊形是菱形，它不一定有外接圓，比如軸時，B錯誤；在橢圓中，設，則，即，代入橢圓的方程得，整理得，兩式相加可得，由上式，所以，那么菱形的面積，當且僅當時等號成立，C正確；由上述可知，原點到兩條邊的距離即為內切圓半徑，又（為菱形的周長），，所以菱形的周長，D錯誤.故選AC.12．【答案】【詳解】因為焦點為，所以，，，所以雙曲線，故漸近線方程為.13．【答案】6【詳解】由題設，故時切線的斜率為，因為與直線垂直，所以.14．【答案】【詳解】

設第一次游戲繼續的事件為，如圖，三棱錐中，因為平面，易得在平面內，所以平面平面，平面平面，因為平面，在平面內，所以，又，為平面內兩條相交直線，所以平面又因為平面，所以平面平面，則；第二次游戲繼續的事件為，如圖，三棱錐有6條棱，不共面的兩條棱為與與與，共三組，則，所以游戲在第三次結束的概率為.15．【答案】(1)(2)【詳解】（1）由可得：，由正弦定理可得：，又，則，又，，，，；（2）由（1）得，則是以為頂角的等腰三角形，設，則，在中，由余弦定理可得：，解得，即，由正弦定理可得，即，.16．【答案】(1)(2)【詳解】（1）連接，由直角梯形滿足，，，，可得，，所以可得，取的中點，連接，計算可得，，所以，所以，所以，以為軸，為軸，為軸建立坐標系，令，，，，，所以，，，令平面的法向量為，則，即，令，則，，計算得或，即或，又，所以；（2）因為側棱底面，平面，所以，又因為，，，平面，可得平面，又平面，可得，又因為，點是棱的中點，所以，又，平面，所以平面，所以為平面的法向量，由于，，，，平面，所以平面，所以平面的一個法向量為，所以，所以平面與平面所成角的大小為.17．【答案】(1)；(2)32；(3)證明見解析.【詳解】（1）由焦點為，即，所以拋物線的標準方程；（2）當直線的斜率為0時，不符合題意，當直線的斜率不為0時，設直線，聯立，可得，恒成立，設，，所以，同理，則四邊形的面積為，當且僅當，即時，等號成立，所以四邊形面積的最小值為32；（3）設，由（2）知，同理，直線的方程為，化簡得直線的方程為①，同理直線的方程為②，聯立①②得，，，，，，故直線與直線的交點在定直線上.18．【答案】(1)2(2)①；②，證明見解析【詳解】（1）由題意得，，令當時，，所以在單調遞減，當時，，所以在單調遞增，所以，（2）①：的三個根分別為，則當時，，所以是方程的一個根當時，由，得設，則設，則恒成立，所以在上單調遞增，因為，所以單調遞減；單調遞增，因為，方法一：因為下證明：構造，求導可得，易得，，時，，所以在單調遞增，在單調遞減，，所以，所以，即，當時，，對，使得，當時，，對，使得，所以的取值范圍是方法二：易得，當時，，當時，，故的取值范圍是②：由①可知，，其中.，，即，，設，則恒成立，，所以當時，，19．【答案】(1)(2)，，(3)是，理由見解析【詳解】（1）將數列列舉可得，依次為，，，，，；，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，.不難發現，所以；（2）由，所以，，設，則當第一次出現在中時，其后一項一定出現一個，因為，，，，已經出現在數列中，所以此前出現的次數為，故下一項為，所以，，；（3）是①首先證明某些整數會出現無限次，（反證法）假設沒有整數會在中出現無限次，那么數列中會包含任意大的整