精算師題庫匯編帶答案解析2024選擇題

1.已知隨機變量$X$服從參數為$\lambda$的泊松分布，且$P(X=1)=P(X=2)$，則$\lambda$的值為（）

A.1

B.2

C.3

D.4

答案：B

解析：對于泊松分布，$P(X=k)=\frac{\lambda^{k}e^{-\lambda}}{k!}$。已知$P(X=1)=P(X=2)$，即$\frac{\lambda^{1}e^{-\lambda}}{1!}=\frac{\lambda^{2}e^{-\lambda}}{2!}$，兩邊同時約去$e^{-\lambda}$，得到$\lambda=\frac{\lambda^{2}}{2}$，因為$\lambda\gt0$，所以解得$\lambda=2$。

2.設隨機變量$X$和$Y$相互獨立，且$X\simN(1,2)$，$Y\simN(2,3)$，則$X+Y$服從（）

A.$N(3,5)$

B.$N(3,1)$

C.$N(1,5)$

D.$N(1,1)$

答案：A

解析：若$X\simN(\mu_1,\sigma_1^{2})$，$Y\simN(\mu_2,\sigma_2^{2})$，且$X$與$Y$相互獨立，則$X+Y\simN(\mu_1+\mu_2,\sigma_1^{2}+\sigma_2^{2})$。已知$X\simN(1,2)$，$Y\simN(2,3)$，所以$X+Y\simN(1+2,2+3)=N(3,5)$。

3.已知某保險產品的損失額$X$服從指數分布，其概率密度函數為$f(x)=\begin{cases}\frac{1}{\theta}e^{-\frac{x}{\theta}},x\gt0\\0,x\leq0\end{cases}$，且$E(X)=5$，則$P(X\gt10)$的值為（）

A.$e^{-2}$

B.$1-e^{-2}$

C.$e^{-5}$

D.$1-e^{-5}$

答案：A

解析：對于指數分布，$E(X)=\theta$，已知$E(X)=5$，則$\theta=5$。$P(X\gt10)=\int_{10}^{+\infty}\frac{1}{5}e^{-\frac{x}{5}}dx$，令$t=\frac{x}{5}$，則$dx=5dt$，積分變為$\int_{2}^{+\infty}e^{-t}dt=-e^{-t}\big|_{2}^{+\infty}=e^{-2}$。

4.以下哪種風險度量方法不滿足次可加性（）

A.方差

B.標準差

C.風險價值（VaR）

D.條件風險價值（CVaR）

答案：C

解析：次可加性是指對于兩個風險組合$X$和$Y$，有$\rho(X+Y)\leq\rho(X)+\rho(Y)$。方差、標準差和條件風險價值（CVaR）都滿足次可加性，而風險價值（VaR）不滿足次可加性，這意味著VaR可能會低估投資組合的風險。

5.設某保險公司有10000個同類型的投保人，每個投保人在一年內發生事故的概率為0.005，用泊松近似計算一年內發生事故的人數不少于30人的概率為（）（已知$\lambda=np=50$）

A.$\sum_{k=30}^{10000}\frac{50^{k}e^{-50}}{k!}$

B.$1-\sum_{k=0}^{29}\frac{50^{k}e^{-50}}{k!}$

C.$\sum_{k=0}^{30}\frac{50^{k}e^{-50}}{k!}$

D.$1-\sum_{k=30}^{10000}\frac{50^{k}e^{-50}}{k!}$

答案：B

解析：根據泊松近似，$n$個獨立的伯努利試驗中，成功的次數$X$近似服從參數為$\lambda=np$的泊松分布。要求$P(X\geq30)=1-P(X\lt30)=1-\sum_{k=0}^{29}\frac{\lambda^{k}e^{-\lambda}}{k!}$，這里$\lambda=50$，所以答案是$1-\sum_{k=0}^{29}\frac{50^{k}e^{-50}}{k!}$。

6.已知某保險標的的損失分布函數為$F(x)=\begin{cases}0,x\lt0\\1-e^{-0.1x},x\geq0\end{cases}$，則該損失分布的中位數為（）

A.$\ln2$

B.$10\ln2$

C.$20\ln2$

D.$30\ln2$

答案：B

解析：設中位數為$m$，則$F(m)=0.5$。即$1-e^{-0.1m}=0.5$，移項可得$e^{-0.1m}=0.5$，兩邊取對數得$-0.1m=\ln0.5=-\ln2$，解得$m=10\ln2$。

7.在壽險精算中，假設死亡力$\mu_x$為常數$\mu$，則$l_{x+t}$與$l_x$的關系為（）

A.$l_{x+t}=l_xe^{-\mut}$

B.$l_{x+t}=l_xe^{\mut}$

C.$l_{x+t}=l_x(1-\mut)$

D.$l_{x+t}=l_x(1+\mut)$

答案：A

解析：根據生存函數的性質，$l_{x+t}=l_x\cdotp_{x,t}$，其中$p_{x,t}=e^{-\int_{x}^{x+t}\mu_sds}$。當$\mu_x=\mu$為常數時，$\int_{x}^{x+t}\mu_sds=\mut$，所以$p_{x,t}=e^{-\mut}$，則$l_{x+t}=l_xe^{-\mut}$。

8.已知利率$i=0.05$，則與其等價的利息強度$\delta$為（）

A.$\ln(1+0.05)$

B.$\frac{1}{1+0.05}$

C.$0.05(1+0.05)$

D.$\frac{0.05}{1+0.05}$

答案：A

解析：利息強度$\delta$與利率$i$的關系為$1+i=e^{\delta}$，兩邊取對數可得$\delta=\ln(1+i)$，已知$i=0.05$，所以$\delta=\ln(1+0.05)$。

9.某保險產品的純保費由躉繳純保費和年繳純保費組成，在相同條件下，躉繳純保費與年繳純保費的關系是（）

A.躉繳純保費大于年繳純保費

B.躉繳純保費小于年繳純保費

C.躉繳純保費等于年繳純保費

D.無法確定

答案：B

解析：躉繳純保費是在保險合同開始時一次性繳納的保費，而年繳純保費是分多年繳納。由于資金具有時間價值，躉繳純保費一次性繳納，沒有考慮資金在后續年份的時間價值，所以在相同條件下，躉繳純保費小于年繳純保費。

10.設$X$為某保險業務的損失隨機變量，$E(X)=100$，$Var(X)=25$，則該業務的變異系數為（）

A.0.2

B.0.5

C.2

D.5

答案：B

解析：變異系數$CV=\frac{\sqrt{Var(X)}}{E(X)}$。已知$E(X)=100$，$Var(X)=25$，則$\sqrt{Var(X)}=5$，所以$CV=\frac{5}{100}=0.5$。

11.若某保險合同規定在被保險人死亡年末給付1單位保額，設$v=\frac{1}{1+i}$為貼現因子，$q_x$為$x$歲的人在一年內死亡的概率，則該保險合同的躉繳純保費為（）

A.$vq_x$

B.$v(1-q_x)$

C.$q_x$

D.$1-q_x$

答案：A

解析：躉繳純保費是保險給付的現值的數學期望。在被保險人死亡年末給付1單位保額，給付的現值為$v$（貼現到年初），而被保險人在一年內死亡的概率為$q_x$，所以躉繳純保費為$vq_x$。

12.已知某保險公司的理賠次數$N$服從參數為$\lambda$的泊松分布，每次理賠額$X_i$相互獨立且都服從均值為$\mu$的指數分布，則該保險公司的總理賠額$S=\sum_{i=1}^{N}X_i$的期望為（）

A.$\lambda\mu$

B.$\frac{\lambda}{\mu}$

C.$\lambda+\mu$

D.$\lambda-\mu$

答案：A

解析：根據復合泊松分布的期望公式，若理賠次數$N$服從參數為$\lambda$的泊松分布，每次理賠額$X_i$的期望為$E(X_i)=\mu$，則總理賠額$S=\sum_{i=1}^{N}X_i$的期望$E(S)=E(N)\cdotE(X_i)$。因為$E(N)=\lambda$，$E(X_i)=\mu$，所以$E(S)=\lambda\mu$。

13.以下關于生命表的說法，錯誤的是（）

A.生命表反映了一定時期內某一群體的死亡規律

B.終極生命表是基于個體進入觀察期的年齡來編制的

C.選擇生命表考慮了被保險人在投保時的選擇效應

D.完全生命表的年齡間隔通常為1歲

答案：B

解析：終極生命表是不考慮選擇因素，僅根據達到某一年齡后的死亡率來編制的；而選擇生命表考慮了被保險人在投保時的選擇效應。完全生命表的年齡間隔通常為1歲，生命表反映了一定時期內某一群體的死亡規律。所以選項B錯誤。

14.設某保險產品的保費收入為$P$，賠款支出為$C$，費用支出為$E$，則該產品的賠付率為（）

A.$\frac{C}{P}$

B.$\frac{C}{P+E}$

C.$\frac{C+E}{P}$

D.$\frac{E}{P}$

答案：A

解析：賠付率是指賠款支出與保費收入的比率，即賠付率$=\frac{C}{P}$。

15.已知某風險的損失分布為$X\simN(50,100)$，則該風險的95%風險價值（VaR）為（）（標準正態分布的95%分位數$z_{0.95}=1.645$）

A.66.45

B.50+1.96\times10

C.50+1.645\times10

D.50-1.645\times10

答案：C

解析：對于正態分布$X\simN(\mu,\sigma^{2})$，其$p$分位數的VaR計算公式為$VaR_p=\mu+z_p\sigma$。已知$\mu=50$，$\sigma=\sqrt{100}=10$，$p=0.95$，$z_{0.95}=1.645$，所以$VaR_{0.95}=50+1.645\times10$。

16.在均衡保費原理下，某壽險保單的純保費現值等于（）

A.保險金給付現值的數學期望

B.保險金給付現值的方差

C.保險金給付的最大值

D.保險金給付的最小值

答案：A

解析：均衡保費原理是指在保險期間內，投保人繳納的純保費的現值等于保險人未來保險金給付現值的數學期望，以保證保險合同在精算意義上的公平性。

17.設某保險公司的資產$A$和負債$L$都是隨機變量，若要衡量該保險公司的償付能力風險，常用的指標是（）

A.資產負債率

B.償付能力充足率

C.流動比率

D.速動比率

答案：B

解析：償付能力充足率是衡量保險公司償付能力風險的重要指標，它是指保險公司的實際資本與最低資本的比率。資產負債率主要用于衡量企業的長期償債能力；流動比率和速動比率主要用于衡量企業的短期償債能力。

18.已知某保險業務的損失分布為$X$，其風險價值$VaR_{0.9}$表示（）

A.在90%的置信水平下，該業務可能遭受的最大損失

B.在90%的置信水平下，該業務可能遭受的最小損失

C.在10%的置信水平下，該業務可能遭受的最大損失

D.在10%的置信水平下，該業務可能遭受的最小損失

答案：A

解析：風險價值$VaR_p$是指在給定的置信水平$p$下，某一金融資產或投資組合在未來特定的一段時間內可能遭受的最大損失。所以$VaR_{0.9}$表示在90%的置信水平下，該業務可能遭受的最大損失。

19.若某保險產品的保費為$P$，保額為$B$，在一年期內，被保險人死亡的概率為$q$，則該產品的期望利潤為（）

A.$P-Bq$

B.$P+Bq$

C.$Bq-P$

D.$\frac{P}{Bq}$

答案：A

解析：期望利潤等于保費收入減去期望賠付支出。保費收入為$P$，期望賠付支出為保額$B$乘以死亡概率$q$，即$Bq$，所以期望利潤為$P-Bq$。

20.設$X$和$Y$是兩個隨機變量，若$Cov(X,Y)=0$，則$X$和$Y$（）

A.一定相互獨立

B.一定不相互獨立

C.不一定相互獨立

D.線性相關

答案：C

解析：$Cov(X,Y)=0$只能說明$X$和$Y$不具有線性相關關系，但不能得出它們一定相互獨立。相互獨立的隨機變量一定有$Cov(X,Y)=0$，但反之不成立，所以$X$和$Y$不一定相互獨立。

21.在年金精算中，期初付年金的現值公式為（）

A.$\ddot{a}_{\overline{n}\rceili}=\sum_{k=0}^{n-1}v^{k}$

B.$a_{\overline{n}\rceili}=\sum_{k=1}^{n}v^{k}$

C.$\ddot{a}_{\overline{n}\rceili}=\sum_{k=1}^{n}v^{k}$

D.$a_{\overline{n}\rceili}=\sum_{k=0}^{n-1}v^{k}$

答案：A

解析：期初付年金是在每個時期的期初支付款項。其現值公式為$\ddot{a}_{\overline{n}\rceili}=\sum_{k=0}^{n-1}v^{k}$，其中$v=\frac{1}{1+i}$是貼現因子；而期末付年金的現值公式為$a_{\overline{n}\rceili}=\sum_{k=1}^{n}v^{k}$。

22.已知某保險標的的損失服從正態分布$N(100,25)$，若設置一個免賠額$d=10$，則賠付額的期望為（）

A.$E[(X-10)^+]$

B.$E[X-10]$

C.$E[X]$

D.$E[10-X]$

答案：A

解析：當設置免賠額$d$時，賠付額$Y=(X-d)^+=\max(X-d,0)$。所以賠付額的期望為$E[(X-10)^+]$。

23.以下關于風險分散原理的說法，正確的是（）

A.風險分散只能降低系統性風險

B.風險分散可以完全消除風險

C.風險分散可以降低非系統性風險

D.風險分散對系統性風險和非系統性風險都沒有影響

答案：C

解析：風險分散是通過投資組合等方式，將資金分散到不同的資產或項目中。它可以降低非系統性風險，即與個別資產或項目相關的風險；但對于系統性風險，如宏觀經濟波動、政治事件等，風險分散無法消除。所以選項C正確。

24.在壽險精算中，$_{n|}A_x$表示（）

A.$x$歲的人在$n$年后開始的終身壽險的躉繳純保費

B.$x$歲的人在$n$年內的定期壽險的躉繳純保費

C.$x$歲的人在$n$年后開始的$m$年定期壽險的躉繳純保費

D.$x$歲的人在$n$年內生存的概率

答案：A

解析：$_{n|}A_x$表示$x$歲的人在$n$年后開始的終身壽險的躉繳純保費。$A_{x:\overline{n}\rceil}$表示$x$歲的人在$n$年內的定期壽險的躉繳純保費；$_{n|}A_{x:\overline{m}\rceil}$表示$x$歲的人在$n$年后開始的$m$年定期壽險的躉繳純保費；$_{n}p_x$表示$x$歲的人在$n$年內生存的概率。

25.設某保險公司的理賠次數$N$服從二項分布$B(n,p)$，每次理賠額$X_i$相互獨立且都服從均值為$\mu$的分布，則總理賠額$S=\sum_{i=1}^{N}X_i$的期望為（）

A.$np\mu$

B.$\frac{np}{\mu}$

C.$np+\mu$

D.$np-\mu$

答案：A

解析：根據復合二項分布的期望公式，$E(S)=E(N)\cdotE(X_i)$。已知$N\simB(n,p)$，則$E(N)=np$，$E(X_i)=\mu$，所以$E(S)=np\mu$。

26.已知利率$i=0.06$，則5年后100元的現值為（）

A.$100\times(1+0.06)^5$

B.$\frac{100}{(1+0.06)^5}$

C.$100\times0.06^5$

D.$\frac{100}{0.06^5}$

答案：B

解析：現值公式為$PV=\frac{FV}{(1+i)^n}$，其中$FV$是終值，$i$是利率，$n$是期數。已知$FV=100$，$i=0.06$，$n=5$，所以現值$PV=\frac{100}{(1+0.06)^5}$。

27.某保險產品的費率厘定采用純保費法，已知純保費為50元，費用率為20%，則該產品的毛保費為（）

A.60元

B.50元

C.40元

D.70元

答案：A

解析：毛保費=純保費+附加保費，附加保費=純保費×費用率。已知純保費為50元，費用率為20%，則附加保費為$50\times20\%=10$元，所以毛保費為$50+10=60$元。

28.在風險評估中，敏感性分析主要用于（）

A.評估風險的大小

B.分析風險因素的變化對結果的影響程度

C.確定風險的概率分布

D.比較不同風險的優劣

答案：B

解析：敏感性分析是指在確定性分析的基礎上，通過進一步分析、預測項目主要不確定因素的變化對項目評價指標（如凈現值、內部收益率等）的影響，從中找出敏感因素，確定評價指標對該因素的敏感程度和項目對其變化的承受能力。所以敏感性分析主要用于分析風險因素的變化對結果的影響程度。

29.設$X$為某保險業務的損失隨機變量，其概率密度函數為$f(x)=\begin{cases}2x,0\ltx\lt1\\0,其他\end{cases}$，則$E(X)$為（）

A.$\frac{1}{3}$

B.$\frac{2}{3}$

C.$\frac{1}{2}$

D.$\frac{3}{4}$

答案：B

解析：根據期望的定義，$E(X)=\int_{-\infty}^{+\infty}xf(x)dx$。對于本題，$E(X)=\int_{0}^{1}x\cdot2xdx=2\int_{0}^{1}x^{2}dx=2\times\frac{1}{3}x^{3}\big|_{0}^{1}=\frac{2}{3}$。

30.已知某生命表中$l_{30}=10000$，$l_{31}=9900$，則$q_{30}$為（）

A.0.01

B.0.02

C.0.03

D.0.04

答案：A

解析：在生命表中，$q_x=\frac{l_x-l_{x+1}}{l_x}$。已知$l_{30}=10000$，$l_{31}=9900$，則$q_{30}=\frac{l_{30}-l_{31}}{l_{30}}=\frac{10000-9900}{10000}=0.01$。

31.以下關于再保險的說法，錯誤的是（）

A.再保險可以分散原保險人的風險

B.再保險是保險人將其承擔的保險業務，以分保形式部分轉移給其他保險人的行為

C.再保險的分出人不需要對再保險的接受人承擔任何責任

D.再保險可以提高原保險人的承保能力

答案：C

解析：再保險是保險人將其承擔的保險業務，以分保形式部分轉移給其他保險人的行為。再保險可以分散原保險人的風險，提高原保險人的承保能力。再保險的分出人需要對再保險的接受人承擔一定的責任，如如實告知、支付分保費等。所以選項C錯誤。

32.設某保險合同的保額為10000元，在被保險人死亡時立即給付。已知死亡力$\mu_x$為常數0.02，利息強度$\delta$為常數0.03，則該保險合同的躉繳純保費為（）

A.$\frac{10000\times0.02}{0.02+0.03}$

B.$\frac{10000\times0.03}{0.02+0.03}$

C.$10000\times(0.02+0.03)$

D.$10000\times(0.03-0.02)$

答案：A

解析：對于死亡時立即給付的壽險，躉繳純保費公式為$A_x=\frac{\mu_x}{\mu_x+\delta}$（當死亡力$\mu_x$和利息強度$\delta$為常數時）。已知保額為10000元，$\mu_x=0.02$，$\delta=0.03$，則躉繳純保費為$10000\times\frac{0.02}{0.02+0.03}$。

33.某保險公司的投資收益率為8%，若要在10年后獲得100000元的資金，現在需要投資（）元（保留整數）

A.46319

B.50000

C.53681

D.60000

答案：A

解析：根據現值公式$PV=\frac{FV}{(1+i)^n}$，其中$FV=100000$元，$i=8\%=0.08$，$n=10$，則$PV=\frac{100000}{(1+0.08)^{10}}\approx46319$元。

34.設某風險的損失分布函數為$F(x)=\begin{cases}0,x\lt0\\\frac{x}{10},0\leqx\lt10\\1,x\geq10\end{cases}$，則該風險的80%分位數為（）

A.8

B.9

C.10

D.11

答案：A

解析：設$p$分位數為$x_p$，則$F(x_p)=p$。已知$p=0.8$，由$F(x)=\f