精算師考試知識點大全2024精算師考試知識點大全2024

1.利息理論

-單利與復利：單利公式$I=P\timesr\timest$，其中$I$為利息，$P$為本金，$r$為利率，$t$為時間；復利公式$A=P(1+r)^n$，$A$為終值，$n$為期數。例如，本金$P=1000$，年利率$r=5\%$，按單利計算3年后利息$I=1000\times0.05\times3=150$，按復利計算3年后終值$A=1000\times(1+0.05)^3=1000\times1.157625=1157.625$。

-名義利率與實際利率：名義利率$i^{(m)}$與實際利率$i$的關系為$1+i=(1+\frac{i^{(m)}}{m})^m$。如名義年利率$i^{(4)}=8\%$，則實際年利率$i=(1+\frac{0.08}{4})^4-1=0.08243216$。

-年金：普通年金終值$S_n=\frac{(1+i)^n-1}{i}$，現值$a_n=\frac{1-(1+i)^{-n}}{i}$；先付年金終值$S_{n}^{(1)}=(1+i)S_n$，現值$a_{n}^{(1)}=(1+i)a_n$。若每年年末存入100元，年利率6%，存5年，普通年金終值$S_5=\frac{(1+0.06)^5-1}{0.06}\times100\approx563.71$元，現值$a_5=\frac{1-(1+0.06)^{-5}}{0.06}\times100\approx421.24$元。

2.風險理論

-風險度量：常用的風險度量指標有方差、標準差、在險價值（VaR）、條件尾部期望（CTE）等。對于隨機變量$X$，方差$Var(X)=E[(X-E(X))^2]$，標準差$\sigma=\sqrt{Var(X)}$。VaR是指在一定的置信水平下，某一金融資產或投資組合在未來特定的一段時間內的最大可能損失。例如，在95%的置信水平下，某投資組合的1天VaR為100萬元，表示有95%的可能性該投資組合在1天內的損失不超過100萬元。CTE是在給定損失超過VaR的條件下的期望損失。

-風險模型：常見的風險模型有泊松分布模型用于描述理賠次數，設理賠次數$N$服從參數為$\lambda$的泊松分布，$P(N=k)=\frac{e^{-\lambda}\lambda^k}{k!}$，$k=0,1,2,\cdots$。例如，$\lambda=3$，則$P(N=2)=\frac{e^{-3}\times3^2}{2!}=\frac{9e^{-3}}{2}\approx0.224$。還有負二項分布模型等，負二項分布的概率質量函數$P(N=k)=\binom{k+r-1}{k}(1-p)^rp^k$，其中$r$為正整數，$0\ltp\lt1$。

-風險分散原理：通過投資多個不同的資產或業務來降低總體風險。根據資產組合理論，資產組合的方差$\sigma_p^2=\sum_{i=1}^{n}w_i^2\sigma_i^2+2\sum_{1\leqi\ltj\leqn}w_iw_j\rho_{ij}\sigma_i\sigma_j$，其中$w_i$為資產$i$的權重，$\sigma_i$為資產$i$的標準差，$\rho_{ij}$為資產$i$和資產$j$的相關系數。當相關系數$\rho_{ij}\lt1$時，通過分散投資可以降低組合的風險。

3.生命表

-生命表基本函數：$l_x$表示$x$歲的生存人數，$d_x$表示$x$歲到$x+1$歲死亡的人數，$q_x=\frac{d_x}{l_x}$表示$x$歲的人在1年內死亡的概率，$p_x=1-q_x$表示$x$歲的人在1年內生存的概率。例如，在某生命表中$l_{60}=9000$，$d_{60}=200$，則$q_{60}=\frac{200}{9000}\approx0.0222$，$p_{60}=1-0.0222=0.9778$。

-選擇生命表：考慮到被保險人在投保時的選擇因素，選擇生命表的死亡率通常低于終極生命表。例如，新投保的人群在健康等方面可能更優，其$q_{[x]}$（選擇年齡$x$的死亡率）小于$q_x$（終極年齡$x$的死亡率）。

-生命表的編制：通常采用經驗數據來編制生命表，包括收集大量的人口死亡數據，對數據進行分組、整理和分析，運用適當的統計方法來估計死亡率等參數。

4.壽險精算

-躉繳純保費：對于定期壽險，設保險金額為$b$，$x$歲的人投保$n$年期定期壽險，躉繳純保費$P=bA_{x:\overline{n}|}^1=b\sum_{k=0}^{n-1}v^{k+1}{}_{k}p_xq_{x+k}$，其中$v=\frac{1}{1+i}$為貼現因子。對于終身壽險，躉繳純保費$A_x=\sum_{k=0}^{\infty}v^{k+1}{}_{k}p_xq_{x+k}$。

-年繳純保費：設年繳純保費為$P$，對于$n$年期定期壽險，采用均衡保費原理，$P\ddot{a}_{x:\overline{n}|}=bA_{x:\overline{n}|}^1$，則$P=\frac{bA_{x:\overline{n}|}^1}{\ddot{a}_{x:\overline{n}|}}$，其中$\ddot{a}_{x:\overline{n}|}$為$x$歲的人$n$年期先付年金現值。

-責任準備金：過去法責任準備金$V_{past}=P\ddot{s}_{x:\overline{t}|}-A_{x:\overline{t}|}^1$，未來法責任準備金$V_{future}=bA_{x+t:\overline{n-t}|}^1-P\ddot{a}_{x+t:\overline{n-t}|}$，其中$t$為保單年度，$P$為年繳純保費。

5.非壽險精算

-費率厘定：純保費法下，純保費$P=E(S)$，其中$S$為理賠總額，$S=\sum_{i=1}^{N}X_i$，$N$為理賠次數，$X_i$為第$i$次理賠額。毛保費$G=\frac{P}{1-\theta}$，$\theta$為安全附加系數。例如，已知某險種的純保費$P=200$元，安全附加系數$\theta=0.2$，則毛保費$G=\frac{200}{1-0.2}=250$元。

-損失分布：常見的損失分布有指數分布，其概率密度函數$f(x)=\lambdae^{-\lambdax}$，$x\gt0$，分布函數$F(x)=1-e^{-\lambdax}$；伽馬分布，概率密度函數$f(x)=\frac{\beta^{\alpha}x^{\alpha-1}e^{-\betax}}{\Gamma(\alpha)}$，$x\gt0$，其中$\alpha\gt0$，$\beta\gt0$，$\Gamma(\alpha)$為伽馬函數。

-再保險：成數再保險是指原保險人將每一危險單位的保險金額，按照約定的比率分給再保險人，例如成數再保險比例為30%，原保險金額為100萬元，則再保險人承擔30萬元的責任。溢額再保險是由原保險人與再保險人簽訂合同，對每一個危險單位確定一個由原保險人承擔的自留額，超過自留額的部分稱為溢額，由再保險人承擔。

6.金融數學

-期權定價：布萊克-斯科爾斯期權定價模型，對于歐式看漲期權，$C=S_0N(d_1)-Ke^{-rT}N(d_2)$，其中$d_1=\frac{\ln(\frac{S_0}{K})+(r+\frac{\sigma^2}{2})T}{\sigma\sqrt{T}}$，$d_2=d_1-\sigma\sqrt{T}$，$S_0$為標的資產當前價格，$K$為執行價格，$r$為無風險利率，$T$為到期時間，$\sigma$為標的資產收益率的標準差，$N(x)$為標準正態分布的累積分布函數。

-投資組合理論：馬科維茨的均值-方差模型，投資者在給定預期收益率下追求最小方差，或者在給定方差下追求最大預期收益率。有效前沿是滿足上述條件的投資組合的集合。例如，有兩種資產$A$和$B$，預期收益率分別為$E(R_A)$和$E(R_B)$，方差分別為$\sigma_A^2$和$\sigma_B^2$，相關系數為$\rho_{AB}$，投資組合的預期收益率$E(R_p)=w_AE(R_A)+w_BE(R_B)$，方差$\sigma_p^2=w_A^2\sigma_A^2+w_B^2\sigma_B^2+2w_Aw_B\rho_{AB}\sigma_A\sigma_B$，其中$w_A+w_B=1$。

-利率期限結構：常見的理論有預期理論、市場分割理論和流動性偏好理論。預期理論認為長期利率等于預期的短期利率的平均值。例如，1年期即期利率為$r_1$，預期1年后的1年期利率為$f_{1,2}$，則2年期即期利率$r_2$滿足$(1+r_2)^2=(1+r_1)(1+f_{1,2})$。

7.精算模型

-線性模型：在精算中可用于分析保險費率與風險因素之間的關系。例如，設保險費率$y$與風險因素$x_1,x_2,\cdots,x_n$之間的關系為$y=\beta_0+\beta_1x_1+\beta_2x_2+\cdots+\beta_nx_n+\epsilon$，其中$\beta_0,\beta_1,\cdots,\beta_n$為回歸系數，$\epsilon$為隨機誤差項。通過最小二乘法可以估計回歸系數。

-廣義線性模型：是線性模型的擴展，適用于響應變量具有非正態分布的情況，如泊松分布、伽馬分布等。其由隨機部分、系統部分和連接函數三部分組成。例如，對于理賠次數$N$服從泊松分布的情況，可建立廣義線性模型來分析影響理賠次數的因素。

-時間序列模型：用于分析隨時間變化的數據，如保險理賠數據的時間序列分析。常見的時間序列模型有自回歸（AR）模型$X_t=\phi_1X_{t-1}+\phi_2X_{t-2}+\cdots+\phi_pX_{t-p}+\epsilon_t$，移動平均（MA）模型$X_t=\epsilon_t+\theta_1\epsilon_{t-1}+\theta_2\epsilon_{t-2}+\cdots+\theta_q\epsilon_{t-q}$，自回歸移動平均（ARMA）模型和自回歸積分移動平均（ARIMA）模型等。

8.精算管理

-精算師的職業角色：精算師在保險、金融等行業中擔任風險評估、產品定價、準備金評估、風險管理等重要角色。例如，在保險公司新產品開發中，精算師需要根據市場需求和風險狀況進行產品定價和利潤測試。

-精算項目管理：包括項目啟動、規劃、執行、監控和收尾等階段。在項目規劃階段，需要確定項目目標、范圍、時間計劃、資源需求等。例如，一個精算項目的目標是對公司的投資組合進行風險評估，規劃階段要確定評估的方法、所需的數據、人員安排和時間進度。

-精算職業道德：精算師應遵守誠實守信、客觀公正、保守秘密、專業勝任等職業道德準則。例如，精算師在為客戶提供服務時，要保證所提供的信息真實準確，不泄露客戶的機密信息。

9.統計基礎

-概率分布：除了前面提到的泊松分布、指數分布、伽馬分布外，還有正態分布，其概率密度函數$f(x)=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$，其中$\mu$為均值，$\sigma$為標準差。二項分布$P(X=k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}$，$k=0,1,\cdots,n$，用于描述$n$次獨立重復試驗中成功$k$次的概率。

-參數估計：點估計常用的方法有矩估計和極大似然估計。例如，對于正態分布$N(\mu,\sigma^2)$，用樣本均值$\overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i$估計$\mu$，用樣本方差$S^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\overline{X})^2$估計$\sigma^2$。區間估計是在一定的置信水平下給出參數的取值范圍，如正態總體均值$\mu$的置信區間，當總體方差$\sigma^2$已知時，$\overline{X}\pmz_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$。

-假設檢驗：步驟包括提出原假設$H_0$和備擇假設$H_1$，選擇檢驗統計量，確定顯著性水平$\alpha$，計算檢驗統計量的值，根據臨界值或$p$-值做出決策。例如，檢驗總體均值是否等于某一特定值$\mu_0$，當總體方差$\sigma^2$已知時，檢驗統計量$Z=\frac{\overline{X}-\mu_0}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}}$，服從標準正態分布。

10.財務會計基礎

-會計要素：資產、負債、所有者權益、收入、費用和利潤。資產是企業過去的交易或者事項形成的、由企業擁有或者控制的、預期會給企業帶來經濟利益的資源，如固定資產、存貨等。負債是企業過去的交易或者事項形成的、預期會導致經濟利益流出企業的現時義務，如短期借款、應付賬款等。

-會計等式：資產=負債+所有者權益，收入-費用=利潤。這兩個等式是會計核算的基礎，反映了企業財務狀況和經營成果之間的關系。

-財務報表分析：主要包括資產負債表分析、利潤表分析和現金流量表分析。資產負債表分析可以了解企業的資產結構、償債能力等；利潤表分析可以評估企業的盈利能力；現金流量表分析可以考察企業的現金生成和使用情況。例如，通過計算流動比率（流動資產/流動負債）來評估企業的短期償債能力。

題目

1.已知本金$P=2000$元，年利率$r=4\%$，按單利計算5年后的利息是多少？

2.若名義年利率$i^{(12)}=6\%$，求實際年利率$i$。

3.每年年末存入200元，年利率5%，存8年，求普通年金終值和現值。

4.某投資組合在99%的置信水平下，1天VaR為150萬元，如何理解這個結果？

5.設理賠次數$N$服從參數為$\lambda=4$的泊松分布，求$P(N=3)$。

6.已知$l_{55}=8500$，$d_{55}=150$，求$q_{55}$和$p_{55}$。

7.對于30歲的人投保20年期定期壽險，保險金額為50萬元，已知$A_{30:\overline{20}|}^1=0.1$，求躉繳純保費。

8.若上述定期壽險采用年繳純保費，$\ddot{a}_{30:\overline{20}|}=15$，求年繳純保費。

9.在第8題中，第5年末按過去法和未來法計算責任準備金（假設相關數據已知）。

10.某險種的純保費$P=300$元，安全附加系數$\theta=0.25$，求毛保費。

11.已知某損失服從指數分布，$\lambda=0.05$，求損失小于20的概率。

12.成數再保險比例為40%，原保險金額為200萬元，再保險人承擔的責任是多少？

13.標的資產當前價格$S_0=100$元，執行價格$K=105$元，無風險利率$r=5\%$，到期時間$T=1$年，標的資產收益率的標準差$\sigma=0.2$，用布萊克-斯科爾斯模型求歐式看漲期權的價格。

14.有兩種資產$A$和$B$，$E(R_A)=0.1$，$E(R_B)=0.15$，$\sigma_A^2=0.04$，$\sigma_B^2=0.09$，$\rho_{AB}=0.5$，投資比例$w_A=0.6$，$w_B=0.4$，求投資組合的預期收益率和方差。

15.1年期即期利率$r_1=3\%$，預期1年后的1年期利率$f_{1,2}=4\%$，求2年期即期利率$r_2$。

16.建立一個簡單線性回歸模型$y=\beta_0+\beta_1x+\epsilon$，已知樣本數據$(x_1,y_1),(x_2,y_2),\cdots,(x_n,y_n)$，用最小二乘法求$\beta_0$和$\beta_1$的估計值。

17.對于理賠次數$N$服從泊松分布的情況，建立廣義線性模型分析影響理賠次數的因素（簡要說明步驟）。

18.已知時間序列$X_t$滿足$X_t=0.5X_{t-1}+\epsilon_t$，判斷這是哪種時間序列模型。

19.精算師在保險公司新產品開發中承擔哪些具體工作？

20.簡述精算項目管理的主要階段。

21.精算師應遵守哪些職業道德準則？

22.已知隨機變量$X$服從正態分布$N(2,4)$，求$P(0\ltX\lt4)$。

23.對于二項分布$X\simB(10,0.3)$，求$P(X=2)$。

24.用矩估計法估計正態分布$N(\mu,\sigma^2)$的參數$\mu$和$\sigma^2$。

25.已知樣本數據$x_1,x_2,\cdots,x_n$，總體服從正態分布$N(\mu,\sigma^2)$，$\sigma^2$已知，檢驗$H_0:\mu=\mu_0$，$H_1:\mu\neq\mu_0$，寫出檢驗統計量和決策規則。

26.企業的流動資產為500萬元，流動負債為300萬元，計算流動比率并分析企業的短期償債能力。

27.某企業的資產總額為1000萬元，負債總額為400萬元，求所有者權益。

28.已知$l_{40}=9200$，$l_{41}=9100$，計算$q_{40}$。

29.每年年初存入300元，年利率6%，存6年，求先付年金終值和現值。

30.某投資組合在90%的置信水平下，1天VaR為80萬元，若置信水平提高到95%，VaR會如何變化，為什么？

31.設理賠次數$N$服從負二項分布，$r=2$，$p=0.3$，求$P(N=3)$。

32.對于45歲的人投保終身壽險，保險金額為80萬元，已知$A_{45}=0.2$，求躉繳純保費。

33.若上述終身壽險采用年繳純保費，$\ddot{a}_{45}=12$，求年繳純保費。

34.某險種的純保費$P=400$元，安全附加系數$\theta=0.3$，求毛保費，并分析安全附加系數對毛保費的影響。

35.已知某損失服從伽馬分布，$\alpha=2$，$\beta=0.1$，求概率密度函數。

36.溢額再保險中，原保險人自留額為50萬元，某危險單位保險金額為200萬元，求再保險人承擔的責任。

37.標的資產當前價格$S_0=120$元，執行價格$K=115$元，無風險利率$r=4\%$，到期時間$T=0.5$年，標的資產收益率的標準差$\sigma=0.15$，用布萊克-斯科爾斯模型求歐式看漲期權的價格。

38.有兩種資產$C$和$D$，$E(R_C)=0.08$，$E(R_D)=0.12$，$\sigma_C^2=0.03$，$\sigma_D^2=0.06$，$\rho_{CD}=0.3$，求投資組合在預期收益率最大時的投資比例（