精算師考試題目解析2024數學基礎部分

1.已知隨機變量\(X\)服從正態分布\(N(3,4)\)，求\(P(1<X<7)\)。

-首先，若\(X\simN(\mu,\sigma^{2})\)，則\(Z=\frac{X-\mu}{\sigma}\simN(0,1)\)。

-這里\(\mu=3\)，\(\sigma=2\)。

-對于\(P(1<X<7)\)，將其標準化：

-當\(X=1\)時，\(Z_1=\frac{1-3}{2}=-1\)；當\(X=7\)時，\(Z_2=\frac{7-3}{2}=2\)。

-所以\(P(1<X<7)=P(-1<Z<2)\)。

-根據正態分布的性質\(P(-1<Z<2)=\varPhi(2)-\varPhi(-1)\)。

-又因為\(\varPhi(-z)=1-\varPhi(z)\)，所以\(\varPhi(-1)=1-\varPhi(1)\)。

-查標準正態分布表可得\(\varPhi(1)=0.8413\)，\(\varPhi(2)=0.9772\)。

-則\(P(-1<Z<2)=\varPhi(2)-(1-\varPhi(1))=0.9772-(1-0.8413)=0.8185\)。

2.設\(X_1,X_2,\cdots,X_n\)是來自總體\(X\simU(0,\theta)\)的樣本，求\(\theta\)的矩估計量。

-首先求總體\(X\)的一階矩\(E(X)\)。

-對于均勻分布\(X\simU(a,b)\)，其期望\(E(X)=\frac{a+b}{2}\)，這里\(a=0\)，\(b=\theta\)，所以\(E(X)=\frac{\theta}{2}\)。

-用樣本一階矩\(\overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i\)代替總體一階矩\(E(X)\)。

-令\(\overline{X}=E(X)\)，即\(\overline{X}=\frac{\theta}{2}\)。

-解得\(\hat{\theta}=2\overline{X}\)，所以\(\theta\)的矩估計量為\(2\overline{X}\)。

3.已知函數\(y=x^3e^{2x}\)，求\(y'\)。

-根據乘積的求導法則\((uv)^\prime=u^\primev+uv^\prime\)，設\(u=x^3\)，\(v=e^{2x}\)。

-先求\(u^\prime\)和\(v^\prime\)：

-由求導公式\((x^n)^\prime=nx^{n-1}\)，可得\(u^\prime=3x^2\)。

-由求導公式\((e^{ax})^\prime=ae^{ax}\)，可得\(v^\prime=2e^{2x}\)。

-則\(y^\prime=u^\primev+uv^\prime=3x^2e^{2x}+2x^3e^{2x}=x^2e^{2x}(3+2x)\)。

4.計算定積分\(\int_{0}^{1}(x^2+\sqrt{x})dx\)。

-根據定積分的性質\(\int_{a}^(f(x)+g(x))dx=\int_{a}^f(x)dx+\int_{a}^g(x)dx\)。

-分別計算\(\int_{0}^{1}x^2dx\)和\(\int_{0}^{1}\sqrt{x}dx\)。

-由定積分公式\(\intx^ndx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C(n\neq-1)\)，對于\(\int_{0}^{1}x^2dx=\left[\frac{x^3}{3}\right]_{0}^{1}=\frac{1}{3}-0=\frac{1}{3}\)。

-對于\(\int_{0}^{1}\sqrt{x}dx=\int_{0}^{1}x^{\frac{1}{2}}dx=\left[\frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}\right]_{0}^{1}=\frac{2}{3}(1-0)=\frac{2}{3}\)。

-所以\(\int_{0}^{1}(x^2+\sqrt{x})dx=\frac{1}{3}+\frac{2}{3}=1\)。

5.設\(A\)和\(B\)是兩個事件，\(P(A)=0.4\)，\(P(B)=0.5\)，\(P(A\cupB)=0.7\)，求\(P(A\capB)\)。

-根據概率的加法公式\(P(A\cupB)=P(A)+P(B)-P(A\capB)\)。

-已知\(P(A)=0.4\)，\(P(B)=0.5\)，\(P(A\cupB)=0.7\)，將其代入公式可得：

-\(0.7=0.4+0.5-P(A\capB)\)。

-移項可得\(P(A\capB)=0.4+0.5-0.7=0.2\)。

6.已知向量\(\vec{a}=(1,2,-1)\)，\(\vec=(2,-1,0)\)，求\(\vec{a}\cdot\vec\)和\(\vec{a}\times\vec\)。

-計算向量點積\(\vec{a}\cdot\vec\)：

-根據向量點積公式\(\vec{a}\cdot\vec=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3\)，這里\(a_1=1\)，\(a_2=2\)，\(a_3=-1\)，\(b_1=2\)，\(b_2=-1\)，\(b_3=0\)。

-則\(\vec{a}\cdot\vec=1\times2+2\times(-1)+(-1)\times0=2-2+0=0\)。

-計算向量叉積\(\vec{a}\times\vec\)：

-\(\vec{a}\times\vec=\begin{vmatrix}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\1&2&-1\\2&-1&0\end{vmatrix}\)

-\(=\vec{i}(0-1)-\vec{j}(0+2)+\vec{k}(-1-4)\)

-\(=-\vec{i}-2\vec{j}-5\vec{k}=(-1,-2,-5)\)。

7.求函數\(z=x^2y+xy^2\)的全微分\(dz\)。

-首先求偏導數\(\frac{\partialz}{\partialx}\)和\(\frac{\partialz}{\partialy}\)。

-對\(x\)求偏導，把\(y\)看作常數：\(\frac{\partialz}{\partialx}=2xy+y^2\)。

-對\(y\)求偏導，把\(x\)看作常數：\(\frac{\partialz}{\partialy}=x^2+2xy\)。

-根據全微分公式\(dz=\frac{\partialz}{\partialx}dx+\frac{\partialz}{\partialy}dy\)。

-所以\(dz=(2xy+y^2)dx+(x^2+2xy)dy\)。

8.設隨機變量\(X\)的概率密度函數為\(f(x)=\begin{cases}2x,&0\leqx\leq1\\0,&\text{其他}\end{cases}\)，求\(E(X)\)和\(D(X)\)。

-計算\(E(X)\)：

-根據期望公式\(E(X)=\int_{-\infty}^{+\infty}xf(x)dx\)，因為\(f(x)\)在\(x\notin[0,1]\)時為\(0\)，所以\(E(X)=\int_{0}^{1}x\cdot2xdx=\int_{0}^{1}2x^{2}dx\)。

-由定積分公式\(\int_{0}^{1}2x^{2}dx=\left[\frac{2x^{3}}{3}\right]_{0}^{1}=\frac{2}{3}\)。

-計算\(E(X^{2})\)：

-\(E(X^{2})=\int_{-\infty}^{+\infty}x^{2}f(x)dx=\int_{0}^{1}x^{2}\cdot2xdx=\int_{0}^{1}2x^{3}dx\)。

-由定積分公式\(\int_{0}^{1}2x^{3}dx=\left[\frac{2x^{4}}{4}\right]_{0}^{1}=\frac{1}{2}\)。

-計算\(D(X)\)：

-根據方差公式\(D(X)=E(X^{2})-[E(X)]^{2}\)，所以\(D(X)=\frac{1}{2}-\left(\frac{2}{3}\right)^{2}=\frac{1}{2}-\frac{4}{9}=\frac{9-8}{18}=\frac{1}{18}\)。

9.已知矩陣\(A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\)，求\(A\)的逆矩陣\(A^{-1}\)。

-對于二階矩陣\(A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\)，其逆矩陣\(A^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}\)。

-這里\(a=1\)，\(b=2\)，\(c=3\)，\(d=4\)，則\(ad-bc=1\times4-2\times3=4-6=-2\)。

-所以\(A^{-1}=\frac{1}{-2}\begin{pmatrix}4&-2\\-3&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2&1\\\frac{3}{2}&-\frac{1}{2}\end{pmatrix}\)。

10.設\(X\)服從參數為\(\lambda\)的泊松分布，已知\(E[(X-1)(X-2)]=1\)，求\(\lambda\)。

-首先，因為\(X\simP(\lambda)\)，則\(E(X)=\lambda\)，\(E(X^{2})=D(X)+[E(X)]^{2}=\lambda+\lambda^{2}\)。

-計算\(E[(X-1)(X-2)]\)：

-\(E[(X-1)(X-2)]=E(X^{2}-3X+2)=E(X^{2})-3E(X)+2\)。

-把\(E(X)=\lambda\)，\(E(X^{2})=\lambda+\lambda^{2}\)代入上式得：

-\(\lambda+\lambda^{2}-3\lambda+2=1\)。

-整理得\(\lambda^{2}-2\lambda+1=0\)。

-即\((\lambda-1)^{2}=0\)，解得\(\lambda=1\)。

金融數學部分

11.已知年利率為\(6\%\)，按連續復利計算，現在投資多少元，10年后可得10000元？

-連續復利的公式為\(A=Pe^{rt}\)，其中\(A\)是終值，\(P\)是現值，\(r\)是年利率，\(t\)是時間。

-已知\(A=10000\)，\(r=0.06\)，\(t=10\)，要求\(P\)。

-由\(A=Pe^{rt}\)可得\(P=\frac{A}{e^{rt}}\)。

-代入數值\(P=\frac{10000}{e^{0.06\times10}}=\frac{10000}{e^{0.6}}\)。

-查\(e^{0.6}\approx1.8221\)，則\(P=\frac{10000}{1.8221}\approx5488.12\)元。

12.某債券面值為1000元，票面年利率為\(8\%\)，期限為5年，每年付息一次，市場年利率為\(10\%\)，求該債券的價格。

-債券價格的計算公式為\(P=\sum_{t=1}^{n}\frac{C}{(1+r)^{t}}+\frac{F}{(1+r)^{n}}\)，其中\(C\)是每年利息，\(F\)是債券面值，\(r\)是市場利率，\(n\)是期限。

-這里\(C=1000\times8\%=80\)元，\(F=1000\)元，\(r=0.1\)，\(n=5\)。

-計算每年利息的現值：

-\(\sum_{t=1}^{5}\frac{80}{(1+0.1)^{t}}\)是一個普通年金現值，根據普通年金現值公式\(P_A=C\frac{1-(1+r)^{-n}}{r}\)，可得\(P_A=80\times\frac{1-(1+0.1)^{-5}}{0.1}\)。

-計算\((1+0.1)^{-5}\approx0.6209\)，則\(P_A=80\times\frac{1-0.6209}{0.1}=80\times3.7908=303.264\)元。

-計算本金的現值：

-\(\frac{1000}{(1+0.1)^{5}}=1000\times0.6209=620.9\)元。

-債券價格\(P=303.264+620.9=924.164\)元。

13.已知無風險利率為\(3\%\)，市場組合的預期收益率為\(10\%\)，某股票的\(\beta\)系數為\(1.2\)，求該股票的預期收益率。

-根據資本資產定價模型\(R_i=R_f+\beta(R_m-R_f)\)，其中\(R_i\)是股票的預期收益率，\(R_f\)是無風險利率，\(\beta\)是股票的\(\beta\)系數，\(R_m\)是市場組合的預期收益率。

-已知\(R_f=0.03\)，\(R_m=0.1\)，\(\beta=1.2\)。

-代入公式可得\(R_i=0.03+1.2\times(0.1-0.03)=0.03+1.2\times0.07=0.03+0.084=0.114=11.4\%\)。

14.某公司股票當前價格為50元，預計下一年每股股利為2元，股利增長率為\(5\%\)，求該股票的內部收益率。

-根據固定增長股利模型\(P_0=\frac{D_1}{r-g}\)，其中\(P_0\)是股票當前價格，\(D_1\)是下一年股利，\(r\)是內部收益率，\(g\)是股利增長率。

-已知\(P_0=50\)元，\(D_1=2\)元，\(g=0.05\)。

-由\(P_0=\frac{D_1}{r-g}\)可得\(r=\frac{D_1}{P_0}+g\)。

-代入數值\(r=\frac{2}{50}+0.05=0.04+0.05=0.09=9\%\)。

15.假設一個投資組合由兩種資產\(A\)和\(B\)組成，資產\(A\)的權重為\(0.4\)，預期收益率為\(12\%\)，資產\(B\)的權重為\(0.6\)，預期收益率為\(8\%\)，求該投資組合的預期收益率。

-投資組合預期收益率公式為\(R_p=w_AR_A+w_BR_B\)，其中\(w_A\)和\(w_B\)分別是資產\(A\)和\(B\)的權重，\(R_A\)和\(R_B\)分別是資產\(A\)和\(B\)的預期收益率。

-已知\(w_A=0.4\)，\(R_A=0.12\)，\(w_B=0.6\)，\(R_B=0.08\)。

-代入公式可得\(R_p=0.4\times0.12+0.6\times0.08=0.048+0.048=0.096=9.6\%\)。

16.考慮一個3年期的零息債券，面值為1000元，當前價格為800元，求該債券的到期收益率。

-對于零息債券，價格公式為\(P=\frac{F}{(1+y)^{n}}\)，其中\(P\)是債券價格，\(F\)是債券面值，\(y\)是到期收益率，\(n\)是期限。

-已知\(P=800\)元，\(F=1000\)元，\(n=3\)。

-由\(P=\frac{F}{(1+y)^{n}}\)可得\((1+y)^{3}=\frac{F}{P}=\frac{1000}{800}=1.25\)。

-則\(1+y=\sqrt[3]{1.25}\approx1.0772\)，所以\(y\approx0.0772=7.72\%\)。

17.某投資者購買了一份執行價格為50元的歐式看漲期權，期權費為3元，標的資產當前價格為48元，到期時標的資產價格為55元，求該投資者的凈收益。

-對于歐式看漲期權，當到期時標的資產價格\(S_T\)大于執行價格\(K\)時，期權的內在價值為\(S_T-K\)。

-這里\(S_T=55\)元，\(K=50\)元，期權的內在價值為\(55-50=5\)元。

-投資者支付了期權費\(C=3\)元。

-凈收益為內在價值減去期權費，即\(5-3=2\)元。

18.已知一年期存款利率為\(5\%\)，一年后預期通貨膨脹率為\(3\%\)，求實際利率。

-根據費雪方程式\(1+r=(1+i)/(1+\pi)\)，其中\(r\)是實際利率，\(i\)是名義利率，\(\pi\)是通貨膨脹率。

-已知\(i=0.05\)，\(\pi=0.03\)。

-則\(1+r=\frac{1+0.05}{1+0.03}=\frac{1.05}{1.03}\approx1.0194\)。

-所以\(r\approx0.0194=1.94\%\)。

19.一個投資項目初始投資為10000元，預計在未來3年每年末分別產生現金流量3000元、4000元、5000元，若市場利率為\(8\%\)，求該項目的凈現值。

-凈現值公式為\(NPV=-I+\sum_{t=1}^{n}\frac{CF_t}{(1+r)^{t}}\)，其中\(I\)是初始投資，\(CF_t\)是第\(t\)期的現金流量，\(r\)是市場利率，\(n\)是期限。

-已知\(I=10000\)元，\(CF_1=3000\)元，\(CF_2=4000\)元，\(CF_3=5000\)元，\(r=0.08\)。

-計算各期現金流量現值：

-\(PV_1=\frac{3000}{(1+0.08)^{1}}\approx2777.78\)元。

-\(PV_2=\frac{4000}{(1+0.08)^{2}}\approx3429.36\)元。

-\(PV_3=\frac{5000}{(1+0.08)^{3}}\approx3969.16\)元。

-凈現值\(NPV=-10000+2777.78+3429.36+3969.16=-10000+10176.3=176.3\)元。

20.假設市場上有兩種債券，債券\(A\)面值為100元，票面利率為\(6\%\)，期限為2年，每年付息一次；債券\(B\)面值為100元，票面利率為\(8\%\)，期限為2年，每年付息一次。若市場利率為\(7\%\)，比較兩種債券價格的高低。

-對于債券\(A\)：

-每年利息\(C_A=100\times6\%=6\)元。

-債券\(A\)的價格\(P_A=\sum_{t=1}^{2}\frac{6}{(1+0.07)^{t}}+\frac{100}{(1+0.07)^{2}}\)。

-計算年金現值\(P_{A1}=6\times\frac{1-(1+0.07)^{-2}}{0.07}\approx6\times1.8080=10.848\)元。

-本金現值\(P_{A2}=\frac{100}{(1+0.07)^{2}}\approx100\times0.8734=87.34\)元。

-所以\(P_A=10.848+87.34=98.188\)元。

-對于債券\(B\)：

-每年利息\(C_B=100\times8\%=8\)元。

-債券\(B\)的價格\(P_B=\sum_{t=1}^{2}\frac{8}{(1+0.07)^{t}}+\frac{100}{(1+0.07)^{2}}\)。

-計算年金現值\(P_{B1}=8\times\frac{1-(1+0.07)^{-2}}{0.07}\approx8\times1.8080=14.464\)元。

-本金現值\(P_{B2}=\frac{100}{(1+0.07)^{2}}\approx100\times0.8734=87.34\)元。

-所以\(P_B=14.464+87.34=101.804\)元。

-比較可得\(P_B>P_A\)。

精算模型部分

21.已知某險種的損失額\(X\)服從指數分布，概率密度函數為\(f(x)=\lambdae^{-\lambdax},x>0\)，且\(E(X)=