PAGEPAGE2第4節干脆證明與間接證明、數學歸納法課時作業基礎對點練(時間：30分鐘)1．(2024太原模擬)命題“假如數列{an}的前n項和Sn＝2n2－3n，那么數列{an}肯定是等差數列”是否成立()(A)不成立 (B)成立(C)不能斷定 (D)與n取值有關B解析：因為Sn＝2n2－3n，所以n＝1時a1＝S1＝－1，當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝2n2－3n－2(n－1)2＋3(n－1)＝4n－5，n＝1時適合an，且an－an－1＝4，故{an}為等差數列，即命題成立．2．在△ABC中，sinAsinC＜cosAcosC，則△ABC肯定是()(A)銳角三角形 (B)直角三角形(C)鈍角三角形 (D)不確定答案：C3．不相等的三個正數a，b，c成等差數列，并且x是a，b的等比中項，y是b，c的等比中項，則x2，b2，y2三數()(A)成等比數列而非等差數列(B)成等差數列而非等比數列(C)既成等差數列又成等比數列(D)既非等差數列又非等比數列答案：B4．(2024鄭州模擬)用數學歸納法證明1＋2＋3＋…＋n2＝eq\f(n4＋n2,2)，則當n＝k＋1時左端應在n＝k的基礎上加上()(A)k2＋1(B)(k＋1)2(C)eq\f(（k＋1）4＋4（k＋1）2,2)(D)(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2答案：D5．(2024岳陽模擬)用數學歸納法證明不等式1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,4)＋…＋eq\f(1,2n－1)＞eq\f(127,64)(n∈N*)成立，其初始值至少應取()(A)7 (B)8(C)9 (D)10答案：B6．已知f(n)＝(2n＋7)·3n＋9，存在自然數m，使得對隨意n∈N*，f(n)都能被m整除，則m的最大值為()(A)18 (B)36(C)48 (D)54B解析：由于f(1)＝36，f(2)＝108，f(3)＝360都能被36整除，猜想f(n)能被36整除，即m的最大值為36.當n＝1時，可知猜想成立．假設當n＝k(k≥1，k∈N*)時，猜想成立，即f(k)＝(2k＋7)·3k＋9能被36整除；當n＝k＋1時，f(k＋1)＝(2k＋9)·3k＋1＋9＝(2k＋7)·3k＋9＋36(k＋5)·3k－2，因此f(k＋1)也能被36整除，故所求m的最大值為36.7．用反證法證明命題：“若x2－(a＋b)x＋ab≠0，則x≠a且x≠b”時，應假設為________．答案：x＝a或x＝b8．已知點An(n，an)為函數y＝eq\r(x2＋1)圖象上的點，Bn(n，bn)為函數y＝x圖象上的點，其中n∈N*，設cn＝an－bn，則cn與cn＋1的大小關系為________．解析：由條件得cn＝an－bn＝eq\r(n2＋1)－n＝eq\f(1,\r(n2＋1)＋n)，所以cn隨n的增大而減小．所以cn＋1<cn.答案：cn＋1<cn9．設平面內有n條直線(n≥3)，其中有且僅有兩條直線相互平行，隨意三條直線不過同一點．若用f(n)表示這n條直線交點的個數，則f(4)＝________；當n＞4時，f(n)＝________(用n表示)．答案：5eq\f(1,2)(n＋1)(n－2)10．已知數列{an}與{bn}滿意bnan＋an＋1＋bn＋1an＋2＝0，bn＝eq\f(3＋（－1）n,2)，n∈N＋，且a1＝2，a2＝4.(1)求a3，a4，a5的值．(2)設cn＝a2n－1＋a2n＋1，n∈N＋，證明：{cn}是等比數列．(1)解：由bn＝eq\f(3＋（－1）n,2)，n∈N*，可得bn＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1，n為奇數，,2，n為偶數.))又bnan＋an＋1＋bn＋1an＋2＝0，當n＝1時，a1＋a2＋2a3＝0，由a1＝2，a2＝4，可得a3＝－3；當n＝2時，2a2＋a3＋a4＝0，可得a4當n＝3時，a3＋a4＋2a5＝0，可得a5(2)證明：對隨意n∈N*，a2n－1＋a2n＋2a2n＋1＝0，2a2n＋a2n＋1＋a2n＋2＝0，a2n＋1＋a2n＋2＋2a2n＋3＝0，②－③，得a2n＝a2n＋3，④將④代入①，可得a2n＋1＋a2n＋3＝－(a2n－1＋a2n＋1)，即cn＋1＝－cn(n∈N*)．又c1＝a1＋a3＝－1，故cn≠0，因此q＝－1.所以{cn}是等比數列．實力提升練(時間：15分鐘)11．設a，b，c都是正數，則a＋eq\f(1,b)，b＋eq\f(1,c)，c＋eq\f(1,a)三個數()(A)都大于2 (B)都小于2(C)至少有一個不大于2 (D)至少有一個不小于2答案：D12．(2024上海模擬)平面內有n條直線，最多可將平面分成f(n)個區域，則f(n)的表達式為()(A)n＋1 (B)2n(C)eq\f(n2＋n＋2,2) (D)n2＋n＋1C解析：1條直線將平面分成1＋1個區域；2條直線最多可將平面分成1＋(1＋2)＝4個區域；3條直線最多可將平面分成1＋(1＋2＋3)＝7個區域；……，n條直線最多可將平面分成1＋(1＋2＋3＋…＋n)＝1＋eq\f(n（n＋1）,2)＝eq\f(n2＋n＋2,2)個區域．13．利用數學歸納法證明“(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n×1×3×…×(2n－1)，n∈N*”時，從假設n＝k推證n＝k＋1成立時，可以在n＝k時左邊的表達式上再乘一個因式，多乘的這個因式為________．答案：2(2k＋1)14．(2024長沙模擬)設數列{an}滿意a1＝3，an＋1＝aeq\o\al(2,n)－2nan＋2(n＝1，2，3，…)．(1)求a2，a3，a4的值，并猜想數列{an}的通項公式(不需證明)．(2)記Sn為數列{an}的前n項和，試求使得Sn＜2n成立的最小正整數n，并給出證明．(1)解：a2＝aeq\o\al(2,1)－2a1＋2＝5，a3＝aeq\o\al(2,3)－2×2a2＋2＝7，a4＝aeq\o\al(2,3)－2×3a3＋2＝9，猜想an＝2n＋1(n∈N.)．(2)證明：Sn＝eq\f(n（3＋2n＋1）,2)＝n2＋2n(n∈N.)，使得Sn＜2n成立的最小正整數n＝6.下證：當n≥6(n∈N.)時都有2n＞n2＋2n.①當n＝6時，26＝64，62＋2×6＝48，64＞