PAGEPAGE23專題05萬有引力定律第一部分名師綜述萬有引力定律是高考的必考內容，也是高考命題的一個熱點內容。考生要嫻熟駕馭該定律的內容，還要知道其主要應用，要求能夠結合該定律與牛頓其次定律估算天體質量、密度、計算天體間的距離（衛星高度）、以及分析衛星運動軌道等相關問題。由于高考計算題量削減，故本節命題應當會以選擇題為主，難度較以前會有所降低。本章核心內容突出，主要考察人造衛星、宇宙速度以及萬有引力定律的綜合應用，與實際生活、新科技等結合的應用性題型考查較多。其次部分精選試題一、單選題1．小型登月器連接在航天站上，一起繞月球做圓周運動，其軌道半徑為月球半徑的3倍，某時刻，航天站使登月器減速分別，登月器沿如圖所示的橢圓軌道登月，在月球表面逗留一段時間完成科考工作后，經快速啟動仍沿原橢圓軌道返回，當第一次回到分別點時恰與航天站對接，登月器快速啟動所用的時間可以忽視不計，整個過程中航天站保持原軌道繞月運行，不考慮月球自轉的影響，則下列說法正確的是()A．從登月器與航天站分別到對接，航天站至少轉過半個周期B．從登月器與航天站分別到對接，航天站至少轉過2個周期C．航天站做圓周運動的周期與登月器在橢圓軌道上運動的周期之比為27D．航天站做圓周運動的周期與登月器在橢圓軌道上運動的周期之比為27【答案】C【解析】【詳解】航天站的軌道半徑為3R，登月器的軌道半長軸為2R，由開普勒第三定律可知，航天站做圓周運動的周期與登月器在橢圓軌道上運動的周期之比為：T'T=3323=278；從登月器與航天站分別到對接，登月器的運動的時間為一個周期T，登月器可以在月球表面逗留的時間為t，使登月器仍沿原橢圓軌道回到分別點與航天飛機實現對接，t+T=nT'，則n>TT'=827，n取整數，即2．如圖，拉格朗日點L1位于地球和月球連線上，處在該點的物體在地球和月球引力的共同作用下，可與月球一起以相同的周期繞地球運動．據此，科學家設想在拉格朗日點L1建立空間站，使其與月球同周期繞地球運動．以a1、a2分別表示該空間站和月球向心加速度的大小，a3表示地球同步衛星向心加速度的大小．以下推斷正確的是()A．a2>a3>a1 B．a2>a1>a3 C．a3>a1>a2 D．a3>a2>a1【答案】D【解析】【詳解】空間站與月球繞地球同周期運動，據a=(2πT)2r可得，空間站向心加速度a1比月球向心加速度a2小，即a1<a2.地球同步衛星和月球均是地球對它們的萬有引力充當向心力，即3．A為靜止于地球赤道上的物體、B為近地衛星、C為地球同步衛星，地球表面的重力加速度為g，關于它們運行線速度v、角速度ω、周期T和加速度a的比較正確的是（）A．νA＞νB＞υCB．ωA＞ωB＞ωCC．TC＞TB＞TAD．aB＞aC＞aA【答案】D【解析】【詳解】衛星C與A具有相等的角速度，A的半徑小于C的半徑，依據v=ωr知vA<vC，依據萬有引力供應向心力，有GmMr2=mv2r，得v=GMr，近地衛星B軌道半徑小于同步衛星C的軌道半徑vB>vC，故有vB>vC>vA，故A錯誤；衛星C與A具有相等的角速度，即ωA=ωC；依據萬有引力供應向心力，有GmMr2＝mrω2，得ω=GMr3，近地衛星B軌道半徑小于同步衛星C的軌道半徑，ωB＞ωC，故有ωB＞ωA=ωC，故B錯誤；衛星C為同步衛星，周期與A物體周期相等，TC=TA；，依據萬有引力供應向心力GmMr2＝m4π2T2r，得T=2πr3GM，近地衛星B軌道半徑小于同步衛星C的軌道半徑，所以TB<TC，故有TB<TC=TA，故C錯誤；衛星C與A具有相等的角速度，A的半徑小于C的半徑，依據a＝ω2r知aA<a4．某地區的地下發覺自然氣資源，如圖所示，在水平地面P點的正下方有一球形空腔區域內貯存有自然氣．假設該地區巖石勻稱分布且密度為ρ，自然氣的密度遠小于ρ，可忽視不計．假如沒有該空腔，地球表面正常的重力加速度大小為g；由于空腔的存在，現測得P點處的重力加速度大小為kg(k<l)．已知引力常量為G，球形空腔的球心深度為d，則此球形空腔的體積是（）A．kgdGρB．kgd2Gρ【答案】D【解析】【詳解】地球表面正常的重力加速度大小為g,由于空腔的存在，現測得P點處的重力加速度大小為kg，則空腔體積大小的巖石對物體吸引產生的加速度為1-kg，結合萬有引力定律GMmr2=ma，即GρVmd25．我國航天技術走在世界的前列，探月工程“繞、落、回”三步走的最終一步即將完成，即月球投測器實現采樣返回。如圖所示為該過程簡化后的示意圖，探測器從圓軌道1上的A點減速后變軌到橢圓軌道2，之后又在軌道2上的B點變軌到近月圓軌道3。已知探測器在軌道1上的運行周期為T1，O為月球球心，C為軌道3上的一點，AC與AO之間的最大夾角為θ。下列說法正確的是（）A．探測器在軌道2運行時的機械能大于在軌道1運行時的機械能B．探測器在軌道1、2、3運行時的周期大小關系為T1<T2<T3C．探測器在軌道2上運行和在圓軌道1上運行,加速度大小相等的位置有兩個D．探測器在軌道3上運行時的周期為sin【答案】D【解析】【分析】依據題中“圓軌道1…橢圓軌道2，…近月圓軌道3”可知，本題考察一般人造衛星問題。依據人造衛星的運動規律，運用萬有引力定律、牛頓其次定律、向心力、開普勒第三定律等學問分析推斷。【詳解】A：探測器從圓軌道1上的A點減速后變軌到橢圓軌道2，探測器在軌道2運行時的機械能小于在軌道1運行時的機械能。故A項錯誤。B：探測器在軌道1、2、3運行的半徑(半長軸)關系為：r1>a2>r3，據開普勒第三定律得，探測器在軌道1、2C：據牛頓其次定律可得，GMmr2=ma；所以探測器在軌道2上運行和在圓軌道D：據幾何關系可得，r3r1=sinθ；據開普勒第三定律r16．P1、P2為相距遙遠的兩顆行星，距各自表面相同高度處各有一顆衛星s1、s2做勻速圓周運動，圖中縱坐標表示行星對四周空間各處物體的引力產生的加速度a，橫坐標表示物體到行星中心的距離r的平方，兩條曲線分別表示P1、P2四周A．P1、PB．P1的第一宇宙速度比PC．s1的公轉周期比sD．s1的向心加速度比s【答案】D【解析】【詳解】依據牛頓其次定律，行星對四周空間各處物體的引力產生的加速度為：a=GMr2，它們左端點橫坐標相同，所以P1、P2的半徑相等，結合a與r2的反比關系函數圖象得出P1的質量大于P2的質量，依據ρ=M43πR3，所以P1的平均密度比P2的大，故A錯誤；第一宇宙速度v=GMR，所以P1的“第一宇宙速度”比P2的大，故B錯誤；依據依據萬有引力供應向心力得出周期表達式T=2πr3GM，所以s1的公轉周期比s2的小，故C錯誤；s1、s2的軌道半徑相等，依據【點睛】解決本題的關鍵駕馭萬有引力供應向心力這一理論，知道線速度、角速度、周期、加速度與軌道半徑的關系，并會用這些關系式進行正確的分析和計算．該題還要求要有肯定的讀圖實力和數學分析實力，會從圖中讀出一些信息．就像該題，能知道兩個行星的半徑是相等的．7．我國繼嫦娥三號之后將于2024年放射嫦娥四號,它將首次探秘月球背面，實現人類航天器在月球背面的首次著陸。為“照亮”嫦娥四號”駕臨"月球背面之路，一顆承載地月中轉通信任務的中繼衛星將在嫦娥四號放射前半年進入到地月拉格朗日L2點。在該點，地球、月球和中繼衛星位于同始終線上，且中繼衛星繞地球做圓周運動的周期與月球繞地球做圓周運動的周期相同，則（A．中繼衛星的周期為一年B．中繼衛星做圓周運動的向心力僅由地球供應C．中繼衛星的線速度小于月球運動的線速度D．中繼衛星的加速度大于月球運動的加速度【答案】D【解析】A、中繼衛星的周期與月球繞地球運動的周期相等都為一個月，故A錯B、衛星的向心力由月球和地球引力的合力供應,則B錯誤.C、衛星與地球同步繞地球運動,角速度相等,依據v=ωr,知衛星的線速度大于月球的線速度.故C錯誤D、依據a=ω2r知,衛星的向心加速度大于月球的向心加速度，故故選D點睛：衛星與月球同步繞地球運動,角速度相等,衛星靠地球和月球引力的合力供應向心力,依據v=ωr,a=ω8．科技日報北京2024年9月6日電，英國《自然·天文學》雜志發表的一篇論文稱，某科學家在銀河系中心旁邊的一團分子氣體云中發覺了一個黑洞。科學探討表明，當天體的逃逸速度(即其次宇宙速度，為第一宇宙速度的2倍)超過光速時，該天體就是黑洞。己知某天體與地球的質量之比為k。地球的半徑為R，地球衛星的環繞速度(即第一宇宙速度)為v1，光速為c，則要使該天體成為黑洞，其半徑應小于A．v12Rkc2【答案】B【解析】地球的第一宇宙速度：GMmR該天體成為黑洞時其半徑為r，第一宇宙速度為v2，GkMmrc=聯立解得：r=2kv12R故選B9．我國于2024年11月放射“嫦娥五號”探月衛星，安排執行月面取樣返回任務。“嫦娥五號”從月球返回地球的過程可以簡潔分成四步，如圖所示第一步將“嫦娥五號”放射至月球表面旁邊的環月圓軌道Ⅰ，其次步在環月軌道的A處進行變軌進入月地轉移軌道Ⅱ，第三步當接近地球表面旁邊時，又一次變軌，從B點進入繞地圓軌道Ⅲ，第四步再次變軌道后著陸至地面，下列說法正確的是（）A．將“嫦娥五號”放射至軌道Ⅰ時所需的放射速度為7.9km/sB．“嫦娥五號”從環月軌道Ⅰ進入月地轉移軌道Ⅱ時須要加速C．“嫦娥五號”從A沿月地轉移軌Ⅱ到達B點的過程中其動能始終增加D．“嫦娥五號”在第四步變軌時須要加速【答案】B【解析】A、月球的第一宇宙速度比地球的要小,故A錯誤;B、“嫦娥五號”從軌道Ⅰ進入月地轉移軌道Ⅱ是離心運動,所以須要加速,所以B選項是正確的;B、剛起先的時候月球對“嫦娥五號”的引力大于地球對“嫦娥五號”的引力,所以動能要減小,之后當地球的引力大于月球的引力時,衛星的動能就起先增加,故C錯誤;D、“嫦娥五號”著陸至地面的運動為向心運動,須要減速,故D錯誤.綜上所述本題答案是：B點睛：第一宇宙速度是在星球表面放射飛行器的最小放射速度;圓周運動的衛星加速后做離心運動,減速后做向心運動.10．宇宙中有兩顆相距無限遠的恒星s1、s2，半徑均為R0.下圖分別是兩顆恒星四周行星的公轉周期T2與公轉半徑r3的圖像，則A．恒星s1的質量大于恒星s2的質量B．恒星s1的密度小于恒星s2的密度C．恒星s1的第一宇宙速度大于恒星s2的第一宇宙速度D．距兩恒星表面高度相同的行星，s1的行星向心加速度較大【答案】B【解析】A、由題圖可知，當繞恒星運動的行星的環繞半徑相等時，S1運動的周期比較大，依據公式：，所以：，周期越大則質量越小．所以恒星S1的質量小于恒星S2的質量．故A錯誤；B、兩顆恒星的半徑相等，則依據M=ρV，半徑R0相等則它們的體積相等，所以質量大S2的密度大．故B正確．C、依據萬有引力供應向心力，則：，所以：，由于恒星S1的質量小于恒星S2的質量，所以恒星S1的第一宇宙速度小于恒星S2的第一宇宙速度．故C錯誤．D、距兩恒星表面高度相同的行星，如圖當它們的軌道半徑相等時，S1的周期大于恒星S2的周期，它們的向心加速度a：，所以S1的行星向心加速度較小．故D錯誤．故選B.【點睛】該題考查萬有引力定律的應用，由于兩個恒星的半徑均為R0，又可以依據圖象，結合萬有引力定律比較半徑和周期之間的關系．當然也可以結合開普勒第三定律分析半徑與周期之間的關系．二、多選題11．2024年5月4日中國勝利放射“亞太6C”通訊衛星。如圖所示為放射時的簡易軌道示意圖，先將衛星送入近地圓軌道Ⅰ，當衛星進入赤道上空P點時，限制火箭點火，進入橢圓軌道Ⅱ，衛星到達遠地點Q時，再次點火，衛星進入相對地球靜止的軌道Ⅲ，已知P點到地心的距離為h，Q點到地心的距離為H，地球的半徑為R，地球表面的重力加速度為g，規定無窮遠處引力勢能為零，質量為m的物體在距地心r處的引力勢能Ep=ImgR2r（r＞A．軌道Ⅱ上衛星在P點的速度vp與衛星在Q點的速度vQB．衛星在軌道Ⅰ上的速度v1與在軌道Ⅲ上速度v3C．衛星在軌道Ⅲ上的機械能為E=-D．衛星在軌道Ⅰ上的運動周期為mgR【答案】ABC【解析】【詳解】依據開普勒其次定律可知衛星在軌道Ⅱ在相同的時間內衛星與地球的連線掃過的面積相等，設時間間隔為△t，則在P點與Q點旁邊有：12vPΔt?h=12vQΔt?H，可得vPvQ=Hh，故A正確；衛星在軌道Ⅰ上與在軌道Ⅲ上運行時，萬有引力供應向心力，由牛頓其次定律有GmMr2=mv2r，得線速度為v=GMr，故可得衛星在軌道Ⅰ上的速度v12．如圖所示，A、B兩衛星繞地球運行，運動方向相同，此時兩衛星距離最近，其中A是地球同步衛星，軌道半徑為r。地球可看成質量勻稱分布的球體，其半徑為R，自轉周期為T.若經過時間t后，A、B第一次相距最遠，下列說法正確的有A．在地球兩極，地表重力加速度是4B．衛星B的運行周期是2TtC．衛星B的軌道半徑為是rD．若衛星B通過變軌與A對接之后，B的機械能可能不變【答案】AC【解析】【詳解】A、對于衛星A，依據萬有引力供應向心力，可得：GMmr2=m4π2T2r，可得地球的質量：M=4π2r3GTB、衛星A的運行周期等于地球自轉周期T．設衛星B的周期為T′．當衛星衛星B比A多轉半周時，A、B第一次相距最遠，則有：2πT't-2πTt＝π，解得：T′=C、依據開普勒第三定律得：r3rB3=T2TD、衛星B通過變軌與A對接，則須要在原軌道上對衛星B加速，使萬有引力不足以供應向心力，做離心運動，最終與A對接，則衛星B的機械能要增大，故D錯誤。13．A、B兩個半徑相同的天體各有一個衛星a、b環繞它們做勻速圓周運動，兩個衛星的環繞周期之比為4；1，A、B各自表面重力加速度之比為4:1（忽視天體的自轉），則A．a、b軌跡半徑之比為4:1B．A、B密度之比為4:1C．a、b掃過相同面積所需時間之比為1:16D．a、b所受向心力之比為1:16【答案】AB【解析】【分析】依據GMmr2=m(2πT)2r以及GMmR2=mg導出軌道半徑與周期和表面重力加速度的關系，然后求解a【詳解】依據GMmr2=m(2πT)2r以及GMmR2=mg可得r3=GMT24π2=gR2T24π2∝gT2；可得a、14．2013年12月10日晚上九點二特別，在太空飛行了九天的“嫦娥三號”飛船再次勝利變軌，從100km×100km的環月圓軌道I降低到橢圓軌道Ⅱ(近月點15km、遠月點100km)，兩軌道相交于點P，如圖所示．關于“嫦娥三號”飛船，以下說法正確的是（）A．飛船在軌道I上運動到P點的速度比在軌道Ⅱ上運動到P點的速度大B．飛船在軌道I上運動到p點的向心加速度比在軌道Ⅱ上運動到P點的向心加速度小C．飛船在軌道I上的引力勢能與動能之和比在軌道Ⅱ上的引力勢能與動能之和大D．飛船在軌道Ⅱ上運動的周期大于在軌道I上運動的周期【答案】AC【解析】【詳解】A、沿軌道Ⅰ運動至P時，制動減速，萬有引力大于向心力做向心運動，才能進入軌道Ⅱ，故在軌道Ⅰ上運動到P點的速度比在軌道Ⅱ上運動到P點的速度大;故A正確.B、“嫦娥三號”衛星變軌前通過橢圓軌道遠地點時只有萬有引力來供應加速度，變軌后沿圓軌道運動也是只有萬有引力來供應加速度，同一地點萬有引力相同，所以加速度相等;故B錯誤.C、變軌的時候點火，發動機做功，從軌道Ⅰ進入軌道Ⅱ，發動機要做功使衛星減速，故在軌道Ⅰ上的勢能與動能之和比在軌道Ⅱ上的勢能與動能之和大;故C正確.D、依據開普勒第三定律a3T2為常數，可得半長軸a越大，運動周期越大，明顯軌道Ⅰ的半長軸（半徑）大于軌道Ⅱ的半長軸，故沿軌道Ⅱ運動的周期小于沿軌道?運動的周期;故故選AC.【點睛】通過該題要記住：①由高軌道變軌到低軌道須要減速，而由低軌道變軌到高軌道須要加速，這一點在解決變軌問題時要常常用到，肯定要留意駕馭．15．2024年7月25日，科學家們在火星上發覺了一個液態水湖，這表明火星上很可能存在生命。若一質量為m的火星探測器在距火星表面高度為

h

的軌道上做勻速圓周運動，運行周期為T，已知火星半徑為R，引力常量為

G，則（）A．探測器的線速度vB．B．火星表面重力加速度gC．探測器的向心加速度aD．火星的密度ρ=【答案】AB【解析】【詳解】探測器的線速度v=ωr=2π(R+h)T,選項A正確；對探測器：GMm(R+h)2=m4π2T2(R+h)，解得火星的質量：M=4π2(R+h)3GT2；由GMm16．質量為m的人造地球衛星在地球表面上時重力為G（下列選項中的G均指重力），它在離地面的距離等于地球半徑R的圓形軌道上運行時的A．周期為T42mRGB．速度為v2GRmC．加速度為aG4m【答案】ACD【解析】【詳解】衛星繞地球做勻速圓周運動，依據萬有引力供應向心力：G0Mmr2=mv2r=m4π2T2A、衛星運動的周期為：T=2πr3G0MB、衛星運動的速率為：v=G0MrC、衛星的加速度a=G0MrD、動能為Ek=12故選ACD.【點睛】本題關鍵依據人造衛星的萬有引力等于向心力，以及地球表面重力等于萬有引力列兩個方程，通過數學變形探討．17．(多選)地球赤道表面上的一物體質量為m1，它相對地心的速度為v1，地球同步衛星離地面的高度為h，它相對地心的速度為v2A．v1小于vB．v1R=【答案】ABD【解析】【詳解】第一宇宙速度v是近地衛星的環繞速度，大于同步衛星的速度v2，而依據v=ωr可知，因同步衛星與赤道上的物體具有相同的角速度，可知v2>v1，則v>v1，v1v2=ωRω(R+h)=RR+h，即v1R=v2R+h，選項AB正確；考慮地球自轉，則對地球赤道表面上的一物體：GMm1R2-【點睛】本題關鍵是明確衛星與地面物體的區分，對衛星是萬有引力供應向心力，而地面物體是萬有引力和支持力的合力供應向心力，考慮地球自傳，重力是萬有引力的一個分力．18．2024年7月27日出現了“火星沖日”的天文奇觀，火星離地球最近最亮。當地球位于太陽和火星之間且三者幾乎排成一條直線時，天文學稱之為“火星沖日”。火星與地球幾乎在同一平面內沿同一方向繞太陽近似做勻速圓周運動。不考慮火星與地球的自轉，且假設火星和地球的軌道平面在同一個平面上，相關數據見下表。則依據供應的數據可知質量半徑與太陽間距離地球mRr火星約0.1m約0.5R約1.5rA．在火星表面旁邊放射飛行器的速度至少為7.9km/sB．理論上計算可知下一次“火星沖日”的時間大約在2024年9月份C．火星表面的重力加速度與地球表面的重力加速度之比約為2:5D．火星運行的加速度比地球運行的加速度大【答案】BC【解析】【詳解】依據Gmm'R2=m'v2R，解得v=GmR，則v火v地=m火R火×R地m地=0.1×0.5=510，則v火<v地=7.9km/s，則在火星表面旁邊放射飛行器的速度小于為7.9km/s，選項A錯誤；據開普勒第三定律，(1.5r)3T火2＝r3T地2，則T火≈1.84T地【點睛】本題主要是考查了萬有引力定律及其應用；解答此類題目一般要把握兩條線：一是在星球表面，忽視星球自轉的狀況下，萬有引力近似等于重力；二是依據萬有引力供應向心力列方程進行解答。19．已知引力常量G，利用下列數據不能計算地球半徑的是A．月球繞地球運動的周期、線速度及地球表面的重力加速度B．人造衛星繞地球運行的周期、及地球的平均密度C．地球同步衛星離地的高度、周期及地球的平均密度D．近地衛星繞地球運行的周期和線速度【答案】ACD【解析】【詳解】已知月球繞地球運行的周期和線速度，依據v=2πrT求解月地距離r；依據萬有引力等于向心力，有：GmMr2＝m4π2T2r求解地球的質量M；地球表面加速度為g，則GM=gR2，聯立可求解地球的半徑R，故A正確；人造衛星繞地球的周期及地球的平均密度ρ，因為不知道軌道半徑，無法求解地球質量，知道密度也無法求得地球半徑，故B錯誤；知道同步衛星的周期T和高度h，由GmMr2＝m4π2T220．關于黑洞和暗物質(暗物質被稱為“世紀之謎”．它“霸占”了宇宙95%的地盤，卻摸不到看不著)的問題，以下說法正確的是(黑洞臨界半徑公式取為c＝2GMr，c為光速，G為萬有引力常量，MA．假如地球成為黑洞的話，那么它的臨界半徑為r＝v2c2R(R為地球的半徑，v為B．假如太陽成為黑洞，那么絢麗的陽光依舊存在，只是太陽光到地球的時間變得更長C．有兩顆星球(質量分別為M1和M2)的距離為L，不考慮四周其他星球的影響，由牛頓運動定律計算所得的周期為T，由于宇宙充溢勻稱的暗物質，所以視察測量所得的周期比T大D．有兩顆星球甲和乙(質量分別為M1和M2)的距離為L，不考慮四周其他星球的影響，它們運動的周期為T，假如其中甲的質量減小Δm而乙的質量增大Δm，距離L不變，那么它們的周期依舊為T【答案】AD【解析】【詳解】因為c＝2GMr，而地球的其次宇宙速度為v＝2GMR，兩式相比得r＝v2c2R，所以A正確．假如太陽成為黑洞，光不能跑出，所以我們將看不到陽光，選項B錯誤．設甲乙質量變更前，甲的運動半徑為r1，甲乙質量變更后運動周期為T2，甲的運動半徑為r1′，則GM1M2L2=M1(2πT)2r選項C錯誤，D正確；故選AD.【點睛】此題關鍵是理解宇宙速度的含義；對雙星問題，知道它們做圓周運動的向心力由兩者間的萬有引力供應，且角速度和周期都相等.三、解答題21．探究浩瀚宇宙，發展航天事業，建設航天強國，是我國不懈追求的航天夢，我國航天事業向更深更遠的太空邁進。（1）2024年12月27日中國北斗衛星導航系統起先供應全球服務，標記著北斗系統正式邁入全球時代。覆蓋全球的北斗衛星導航系統由靜止軌道衛星（即地球同步衛星）和非靜止軌道衛星共35顆組成的。衛星繞地球近似做勻速圓周運動。已知其中一顆地球同步衛星距離地球表面的高度為h，地球質量為Me，地球半徑為R，引力常量為G。a.求該同步衛星繞地球運動的速度v的大小；b.如圖所示，O點為地球的球心，P點處有一顆地球同步衛星，P點所在的虛線圓軌道為同步衛星繞地球運動的軌道。已知h=5.6R。忽視大氣等一切影響因素，請論證說明要使衛星通訊覆蓋全球，至少須要幾顆地球同步衛星？（cos81°=0.15（2）今年年初上映的中國首部科幻電影《流浪地球》引發全球熱議。依據量子理論，每個光子動量大小p=hλ（h為普朗克常數，λ為光子的波長）。當光照耀到物體表面時將產生持續的壓力。設有一質量為m的飛行器，其帆面始終與太陽光垂直，且光帆能將太陽光全部反射。已知引力常量為G，光速為c，太陽質量為Ms，太陽單位時間輻射的總能量為E。若以太陽光對飛行器光帆的撞擊力為動力，使飛行器始終朝著遠離太陽的方向運動，成為“流浪飛行器”。請論證：隨著飛行器與太陽的距離越來越遠，是否須要變更光帆的最小面積s0。（【答案】（1）a.v=GMeR+hb．至少須要3顆地球同步衛星才能覆蓋全球（2）隨著飛行器與太陽的距離越來越遠，不須要【解析】【詳解】（1）a．設衛星的質量為m。由牛頓其次定律GM得v=b．如答圖所示，設P點處地球同步衛星可以覆蓋地球赤道的范圍對應地心的角度為2θ，至少須要N顆地球同步衛星才能覆蓋全球。由直角三角形函數關系cosθ=RR+h，h=5.6R，得所以1顆地球同步衛星可以覆蓋地球赤道的范圍對應地心的角度為2θ=162°N≥所以，N=3，即至少須要3顆地球同步衛星才能覆蓋全球（2）若使飛行器始終朝著遠離太陽的方向運動，當飛行器與太陽距離為r時，光帆受到太陽光的壓力F與太陽對飛行器的引力大小關系，有F≥G設光帆對太陽光子的力為F'，依據牛頓第三定律F'=F設Δt時間內太陽光照耀到光帆的光子數為n，依據動量定理：F'Δt=2n設Δt時間內太陽輻射的光子數為N，則N=設光帆面積為s，n當F=G由上式可知，s0和飛行器與太陽距離r無關，所以隨著飛行器與太陽的距離越來越遠，不須要變更光帆的最小面積s0。22．2024年1月3日，嫦娥四號探測器勝利著陸在月球背面，并通過“鵲橋”中繼衛星傳回了世界上第一張近距離拍攝月球背面的圖片。此次任務實現了人類探測器首次在月球背面軟著陸、首次在月球背面通過中繼衛星與地球通訊，因而開啟了人類探究月球的新篇章。(1)為了盡可能減小著陸過程中月球對飛船的沖擊力，探測器在距月面特別近的距離h處才關閉發動機，此時速度相對月球表面豎直向下，大小為v，然后僅在月球重力作用下豎直下落，接觸月面時通過其上的“四條腿”緩沖，平穩地停在月面，緩沖時間為t，如圖1所示。已知月球表面旁邊的重力加速度為g0，探測器質量為m0求：①探測器與月面接觸前瞬間相對月球表面的速度v'②月球對探測器的平均沖擊力F的大小。(2)探測器在月球背面著陸的難度要比在月球正面著陸大許多，其主要的緣由在于：由于月球的遮擋，著陸前探測器將無法和地球之間實現通訊。2024年5月，我國放射了一顆名為“鵲橋”的中繼衛星，在地球和月球背面的探測器之間搭了一個“橋”，從而有效地解決了通訊的問題。為了實現通訊和節約能量，“鵲橋”的志向位置就是圍繞“地一月”系統的一個拉格朗日點運動，如圖2所示。所謂“地一月”系統的拉格朗日點是指空間中的某個點，在該點放置一個質量很小的天體，該天體僅在地球和月球的萬有引力作用下保持與地球和月球的相對位置不變。①設地球質量為M，月球質量為m，地球中心和月球中心間的距離為L，月球繞地心運動，圖2中所示的拉格朗日點到月球球心的距離為r。推導并寫出r與M、m和L之間的關系式。②地球和太陽組成的“日一地”系統同樣存在拉格朗日點，圖3為“日-地”系統示意圖，請在圖中太陽和地球所在直線上用符號“*”標記出幾個可能拉格朗日點的也許位置。【答案】（1）①v'=v2+2g0h，②【解析】【詳解】(1)①由運動學公式v可得探測器著陸前瞬間相對月球表面的速度大小v②設月球対嫦娥四號探測器的平均沖擊大小為F，以豎直向上為正，依據動量定理得(F-m解得：F=（2）①設在圖中的拉格朗日點有一質量為m'的物體（m則月球對其的萬有引力F地球對其的萬有引力F2為質量為m'的物體以地球為中心做圓周運動，向心力由F1和F2的合力供應，設圓周運動的角速度為依據以上三式可得G月球繞地球做勻速圓周運動，它們之間的萬有引力供應向心力有：G聯立以上兩式得：m②對于“日-地”系統，在太陽和地球連線上共有3個可能的拉格朗日點，其也許位置如圖所示：23．為了檢驗使蘋果落地的力與維持月球繞地球運動的力是同一種性質的力，牛頓做了聞名的月一地檢驗．已知地球半徑R＝6.40×106m，月球繞地球運行的軌道半徑r＝3.84×105km月球繞地球運行的周期T＝27.3天，地球旁邊的重力加速度g取9.80m／s2．請你依據以上數據，通過計算推理說明使蘋果落地的力和維持月球繞地球運動的力是同一種性質的力．【答案】理論分析得出的a1=0.0027222m/s【解析】【詳解】（1）理論分析：若使蘋果落地的力和維持月球繞地球運動的力是同一種性質的力，則同樣遵從平方反比律，即F∝1r已知地球半徑R=6.40×106m，月球繞地球運行的軌道半徑r=3.84×105

km=3.84×108

m，所以r=60R；月球在其軌道上所受的力將只有它在地球表面所受重力的1602=13600，則月球在繞地球軌道運行時因地球吸引而具有的加速度a1（2）天文觀測：T=27.3天=27.3×24×3600s月球繞地球運行的向心加速度為：a2=4π解得：a2=0.002721m/s2（3）理論分析中的a1與天文觀測中2的符合得很好，可見，使蘋果落地的力和維持月球繞地球運動的力是同一種性質的力。如圖，質量分別為m和M的兩個星球A和B在引力作用下都繞O點做勻速周運動，星球A和B兩者中心之間距離為L。已知A、B的中心和O三點始終共線，A和B分別在O的兩側。引力常數為G。24．求兩星球做圓周運動的周期。25．在地月系統中，若忽視其它星球的影響，可以將月球和地球看成上述星球A和B，月球繞其軌道中心運行為的周期記為T1。但在近似處理問題時，常常認為月球是繞地心做圓周運動的，這樣算得的運行周期T2。已知地球和月球的質量分別為5.98×1024kg和7.35×1022kg。求T2與T1兩者平方之比。（結果保留3位小數）【答案】24．25．1.01【解析】試題分析：（1）A和B繞O做勻速圓周運動，它們之間的萬有引力供應向心力，則A和B的向心力大小相等，且A和B和O始終共線，說明A和B有相同的角速度和周期，因此有：m聯立解得：R=對A依據牛頓其次定律和萬有引力定律得：G化簡得：T=2π（2）將地月看成雙星，由（1）得T將月球看作繞地心做圓周運動，依據牛頓其次定律和萬有引力定律得：G化簡得：T所以兩種周期的平方比值為：(考點：考查了萬有引力定律的應用【名師點睛】這是一個雙星的問題，A和B繞O做勻速圓周運動，它們之間的萬有引力供應各自的向心力，A和B有相同的角速度和周期，結合牛頓其次定律和萬有引力定律解決問題．26．萬有引力定律揭示了天體運動規律與地上物體運動規律具有內在的一樣性。（1）用彈簧測力計稱量一個相對于地球靜止的物體的重力，隨稱量位置的變更可能會有不同結果。已知地球質量為M，自轉周期為T，引力常量為G。將地球視為半徑為R、質量分布勻稱的球體，不考慮空氣的影響。設在地球北極地面稱量時，彈簧測力計的讀數是F0。①若在北極上空高出地面h處稱量，彈簧測力計讀數為F1，求比值的表達式，并就h=1．0%R的情形算出詳細數值（計算結果保留兩位有效數字）；②若在赤道表面稱量，彈簧測力計讀數為F2，求比值的表達式。（2）設想地球繞太陽公轉的圓周軌道半徑為r、太陽半徑為Rs和地球的半徑R三者均減小為現在的1．0%，而太陽和地球的密度勻稱且不變。僅考慮太陽與地球之間的相互作用，以現實地球的1年為標準，計算“設想地球”的1年將變為多長？【答案】（1）①0.98，②F2（2）“設想地球”的1年與現實地球的1年時間相同【解析】試題分析：（1）依據萬有引力等于重力得出比值的表達式，并求出詳細的數值．在赤道，由于萬有引力的一個分力等于重力，另一個分力供應隨地球自轉所需的向心力，依據該規律求出比值的表達式（2）依據萬有引力供應向心力得出周期與軌道半徑以及太陽半徑的關系，從而進行推斷．解：（1）在地球北極點不考慮地球自轉，則秤所稱得的重力則為其萬有引力，于是①②由公式①②可以得出：=0.98．③由①和③可得：（2）依據萬有引力定律，有又因為，解得從上式可知，當太陽半徑減小為現在的1.0%時，地球公轉周期不變．答：（1）=0.98．比值（2）地球公轉周期不變．仍舊為1年．【點評】解決本題的關鍵知道在地球的兩極，萬有引力等于重力，在赤道，萬有引力的一個分力等于重力，另一個分力供應隨地球自轉所需的向心力．27．2003年10月15日，我國宇航員楊利偉乘坐我國自行研制的“神舟”五號飛船在酒泉衛星放射中心勝利升空，這標記著我國已成為世界上第三個載人飛船上天的國家。“神舟”五號飛船是由長征―2F運載火箭將其送入近地點為A、遠地點為B的橢圓軌道上，實施變軌后，進入預定圓軌道，如圖所示。已知近地點A距地面高度為h，飛船在預定圓軌道上飛行n圈所用時間為t，地球表面的重力加速度為g，地球半徑為R，求：（1）飛船在近地點A的加速度為多少？（2）飛船在預定圓軌道上飛行的速度為多少？【答案】（1）gR2(R+h)2【解析】（1）設地球質量為M，飛船質量為m，則飛船在A點受到地球的引力F=GMm對地面上質量為m0的物體GMm據牛頓其次定律可知萬有引力供應向心力F＝man③）聯立①②③解得飛船在近地點A的加速度a（2）飛船在預定圓軌道上飛行的周期T=t設預定圓軌道半徑為r，由牛頓其次定律有GMmr而υ=2πr聯立②④⑤⑥解得飛行速度υ=28．設想人類在某一X行星放射了兩顆質量均為m的“人造X星衛星”，行星可以看做質量M、半徑R的勻稱球體，甲乙兩顆衛星的軌道半徑分別為2R和3R，在同一平面內，運行方向相同，不計兩衛星之間的萬有引力，萬有引力常量為G。(1)試求甲乙兩衛星各自的周期；(2)若某時刻兩衛星與行星中心正好在一條直線上，最短經過多長時間，三者正好又在一條直線上?(3)假如將兩顆衛星用輕而牢固的繩連接并且給以合適的速度，它們將可以一起繞行星運動且與行星中心始終在一條直線上，求此狀況下兩顆衛星的運動周期。【答案】（1）T1=4πR2RGM；T2=6πR3RGM（【解析】【詳解】（1）衛星做圓周運動的向心力等于X星的萬有引力，則對甲：GmM解得T1對乙：G解得T2（2）當三者正好又在一條直線上時須要的最短時間滿意：2πT解得t=（3）設繩的拉力為F，則對甲：GMm對衛星乙：G聯立解得T