PAGEPAGE1第1講空間點、線、面間的位置關系A組小題提速練一、選擇題1．已知E，F，G，H是空間四點，命題甲：E，F，G，H四點不共面，命題乙：直線EF和GH不相交，則甲是乙成立的()A．必要不充分條件 B．充分不必要條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件解析：若E，F，G，H四點不共面，則直線EF和GH確定不相交，但直線EF和GH不相交，E，F，G，H四點可以共面，例如EF∥GH，故甲是乙成立的充分不必要條件．答案：B2．已知m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，給出四個命題：①若α∩β＝m，n?α，n⊥m，則α⊥β；②若m⊥α，m⊥β，則α∥β；③若m⊥α，n⊥β，m⊥n，則α⊥β；④若m∥α，n∥β，m∥n，則α∥β.其中正確的命題是()A．①② B．②③C．①④ D．②④解析：兩個平面斜交時也會出現一個平面內的直線垂直于兩個平面的交線的狀況，①不正確；垂直于同一條直線的兩個平面平行，②正確；當兩個平面與兩條相互垂直的直線分別垂直時，它們所成的二面角為直二面角，故③正確；當兩個平面相交時，分別與兩個平面平行的直線也平行，故④不正確．答案：B3．如圖，在三棱錐P-ABC中，不能證明AP⊥BC的條件是()A．AP⊥PB，AP⊥PCB．AP⊥PB，BC⊥PBC．平面BPC⊥平面APC，BC⊥PCD．AP⊥平面PBC解析：A中，因為AP⊥PB，AP⊥PC，PB∩PC＝P，所以AP⊥平面PBC.又BC?平面PBC，所以AP⊥BC，故A正確；C中，因為平面BPC⊥平面APC，BC⊥PC，所以BC⊥平面APC.又AP?平面APC，所以AP⊥BC，故C正確；D中，由A知D正確；B中條件不能推斷出AP⊥BC，故選B.答案：B4．已知α，β表示兩個不同平面，a，b表示兩條不同直線，對于下列兩個命題：①若b?α，a?α，則“a∥b”是“a∥α”的充分不必要條件；②若a?α，b?α，則“α∥β”是“a∥β且b∥β”的充要條件．推斷正確的是()A．①②都是真命題B．①是真命題，②是假命題C．①是假命題，②是真命題D．①②都是假命題解析：若b?α，a?α，a∥b，則由線面平行的判定定理可得a∥α，反過來，若b?α，a?α，a∥α，則a，b可能平行或異面，則b?α，a?α，“a∥b”是“a∥α”的充分不必要條件，①是真命題；若a?α，b?α，α∥β，則由面面平行的性質可得a∥β，b∥β，反過來，若a?α，b?α，a∥β，b∥β，則α，β可能平行或相交，則a?α，b?α，則“α∥β”是“a∥β，b∥β”的充分不必要條件，②是假命題，選項B正確．答案：B5．如圖是一幾何體的平面綻開圖，其中四邊形ABCD為正方形，E，F分別為PA，PD的中點，在此幾何體中，給出下面4個結論：①直線BE與直線CF異面；②直線BE與直線AF異面；③直線EF∥平面PBC；④平面BCE⊥平面PAD.其中正確的有()A．1個 B．2個C．3個 D．4個解析：將綻開圖還原為幾何體(如圖)，因為E，F分別為PA，PD的中點，所以EF∥AD∥BC，即直線BE與CF共面，①錯；因為B?平面PAD，E∈平面PAD，E?AF，所以BE與AF是異面直線，②正確；因為EF∥AD∥BC，EF?平面PBC，BC?平面PBC，所以EF∥平面PBC，③正確；平面PAD與平面BCE不確定垂直，④錯．故選B.答案：B6．在下列四個正方體中，能得出異面直線AB⊥CD的是()解析：對于A，作出過AB的平面ABE，如圖①，可得直線CD與平面ABE垂直，依據線面垂直的性質知，AB⊥CD成立，故A正確；對于B，作出過AB的等邊三角形ABE，如圖②，將CD平移至AE，可得CD與AB所成的角等于60°，故B不成立；對于C、D，將CD平移至經過點B的側棱處，可得AB，CD所成的角都是銳角，故C和D均不成立．故選A.答案：A7．(2024·貴陽一中適應性考試)已知l為平面α內的一條直線，α，β表示兩個不同的平面，則“α⊥β”是“l⊥β”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件解析：若l為平面α內的一條直線且l⊥β，則α⊥β，反過來則不確定成立，所以“α⊥β”是“l⊥β”的必要不充分條件，故選B.答案：B8．(2024·廣州模擬)用a，b，c表示空間中三條不同的直線，γ表示平面，給出下列命題：①若a⊥b，b⊥c，則a∥c；②若a∥b，a∥c，則b∥c；③若a∥γ，b∥γ，則a∥b；④若a⊥γ，b⊥γ，則a∥b.其中真命題的序號是()A．①② B．②③C．①④ D．②④解析：對于①，正方體從同一頂點引出的三條直線a，b，c，滿意a⊥b，b⊥c，但是a⊥c，所以①錯誤；對于②，若a∥b，a∥c，則b∥c，滿意平行線公理，所以②正確；對于③，平行于同一平面的兩條直線的位置關系可能是平行、相交或者異面，所以③錯誤；對于④，由垂直于同一平面的兩條直線平行，知④正確．故選D.答案：D9.(2024·菏澤模擬)如圖所示的三棱柱ABC-A1B1C1中，過A1B1的平面與平面ABC交于DE，則DE與AB的位置關系是()A．異面B．平行C．相交D．以上均有可能解析：在三棱柱ABC-A1B1C1中，AB∥A1B1，∵AB?平面ABC，A1B1?平面ABC，∴A1B1∥平面ABC，∵過A1B1的平面與平面ABC交于DE，∴DE∥A1B1，∴DE∥AB.故選B.答案：B10．(2024·貴陽模擬)如圖，在正方形ABCD中，E，F分別是BC，CD的中點，沿AE，AF，EF把正方形折成一個四面體，使B，C，D三點重合，重合后的點記為P，P點在△AEF內的射影為O，則下列說法正確的是()A．O是△AEF的垂心B．O是△AEF的內心C．O是△AEF的外心D．O是△AEF的重心解析：由題意可知PA、PE、PF兩兩垂直，所以PA⊥平面PEF，從而PA⊥EF，而PO⊥平面AEF，則PO⊥EF，因為PO∩PA＝P，所以EF⊥平面PAO，∴EF⊥AO，同理可知AE⊥FO，AF⊥EO，∴O為△AEF的垂心．故選A.答案：A11．已知a，b為異面直線，下列結論不正確的是()A．必存在平面α使得a∥α，b∥αB．必存在平面α使得a，b與α所成角相等C．必存在平面α使得a?α，b⊥αD．必存在平面α使得a，b與α的距離相等答案：C12．對于四面體A-BCD，有以下命題：①若AB＝AC＝AD，則AB，AC，AD與底面所成的角相等；②若AB⊥CD，AC⊥BD，則點A在底面BCD內的射影是△BCD的內心；③四面體A-BCD的四個面中最多有四個直角三角形；④若四面體A-BCD的6條棱長都為1，則它的內切球的表面積為eq\f(π,6).其中正確的命題是()A．①③ B．③④C．①②③ D．①③④答案：D二、填空題13．正方體ABCD-A1B1C1D1中，E為線段B1D1①AC⊥BE；②B1E∥平面ABCD；③三棱錐E-ABC的體積為定值；④直線B1E⊥直線BC1.答案：①②③14．下列四個正方體圖形中，點A，B為正方體的兩個頂點，點M，N，P分別為其所在棱的中點，能得出AB∥平面MNP的圖形的序號是__________．(寫出全部符合要求的圖形序號)答案：①③15.如圖，PA⊥⊙O所在的平面，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上的一點，E，F分別是點A在PB，PC上的射影，給出下列結論：①AF⊥PB；②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥平面PBC.其中正確命題的序號是________．解析：∵PA⊥⊙O所在的平面，AB是⊙O的直徑，∴CB⊥PA，CB⊥AC，又PA∩AC＝A，∴CB⊥平面PAC.又AF?平面PAC，∴CB⊥AF.又∵F是點A在PC上的射影，∴AF⊥PC，又PC∩BC＝C，PC，BC?平面PBC，∴AF⊥平面PBC，故①③正確．又∵E為A在PB上的射影，∴AE⊥PB，∴PB⊥平面AEF，故②正確．而AF⊥平面PCB，∴AE不行能垂直于平面PBC.故④錯．答案：①②③16.如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，側棱AA1⊥底面ABC，底面是以∠ABC為直角的等腰直角三角形，AC＝2a，BB1＝3a，點D是A1C1的中點，點F在線段AA1上，當AF＝__________時，CF⊥平面答案：a或2aB組大題規范練1．(2024·河北唐山統考)已知四棱錐PABCD的底面ABCD是矩形，PD⊥底面ABCD，E為棱PD的中點．(1)證明：PB∥平面AEC；(2)若PD＝AD＝2，PB⊥AC，求點P到平面AEC的距離．解析：(1)證明：如圖，連接BD，交AC于點F，連接EF，∵底面ABCD為矩形，∴F為BD中點，又E為PD中點，∴EF∥PB，又PB?平面AEC，EF?平面AEC，∴PB∥平面AEC.(2)∵PD⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，∴PD⊥AC，又PB⊥AC，PB∩PD＝P，∴AC⊥平面PBD，∵BD?平面PBD，∴AC⊥BD，∴四邊形ABCD為正方形．又E為PD的中點，∴P到平面AEC的距離等于D到平面AEC的距離，設D到平面AEC的距離為h，由題意可知AE＝EC＝eq\r(5)，AC＝2eq\r(2)，S△AEC＝eq\f(1,2)×2eq\r(2)×eq\r(3)＝eq\r(6)，由VDAEC＝VEADC得eq\f(1,3)S△AEC·h＝eq\f(1,3)S△ADC·ED，解得h＝eq\f(\r(6),3)，∴點P到平面AEC的距離為eq\f(\r(6),3).2．如圖，四邊形ABCD為菱形，G為AC與BD的交點，BE⊥平面ABCD.(1)證明：平面AEC⊥平面BED；(2)若∠ABC＝120°，AE⊥EC，三棱錐EACD的體積為eq\f(\r(6),3)，求該三棱錐的側面積．解析：(1)證明：因為四邊形ABCD為菱形，所以AC⊥BD.因為BE⊥平面ABCD，所以AC⊥BE.故AC⊥平面BED.又AC?平面AEC，所以平面AEC⊥平面BED.(2)設AB＝x，在菱形ABCD中，由∠ABC＝120°，可得AG＝GC＝eq\f(\r(3),2)x，GB＝GD＝eq\f(x,2).因為AE⊥EC，所以在Rt△AEC中，可得EG＝eq\f(\r(3),2)x.由BE⊥平面ABCD，知△EBG為直角三角形，可得BE＝eq\f(\r(2),2)x.由已知得，三棱錐EACD的體積V三棱錐EACD＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×AC×GD×BE＝eq\f(\r(6),24)x3＝eq\f(\r(6),3)，故x＝2.從而可得AE＝EC＝ED＝eq\r(6).所以△EAC的面積為3，△EAD的面積與△ECD的面積均為eq\r(5).故三棱錐EACD的側面積為3＋2eq\r(5).3．如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1中，D，E分別為AB，BC的中點，點F在側棱B1B上，且B1D⊥A1F，A1C1⊥A1求證：(1)直線DE∥平面A1C1F；(2)平面B1DE⊥平面A1C證明：(1)在直三棱柱ABCA1B1C1中，A1C1∥AC.在△ABC中，因為D，E分別為AB，BC的中點，所以DE∥AC，于是DE∥A1C1.又DE?平面A1C1F，A1C1?平面A1C1F，所以直線DE∥平面A1C1F.(2)在直三棱柱ABCA1B1C1A1A⊥平面A1B1C因為A1C1?平面A1B1C1，所以A1A⊥A1C1.又A1C1⊥A1B1，A1A?平面ABB1A1，A1B1?平面ABB1A1，A1A∩A1B1＝A1，所以A1C1⊥平面ABB1A1.因為B1D?平面ABB1A1，所以A1C1⊥B1D.又B1D⊥A1F，A1C1?平面A1C1F，A1F?平面A1C1F，A1C1∩A1F＝A1，所以B1D⊥平面A1C1F.因為直線B1D?平面B1DE，所以平面B1DE⊥平面A1C1F.4．如圖，在四棱錐PABCD中，PC⊥平面ABCD，AB∥DC，DC⊥AC.(1)求證：DC⊥平面PAC；(2)求證：平面PAB⊥平面PAC；(3)設點E為AB的中點，在棱PB上