第1頁(yè)/共1頁(yè)2025北京重點(diǎn)校初三（上）期末數(shù)學(xué)匯編圓（下）章節(jié)綜合（京改版）（解答題）一、解答題1．（2025北京順義初三上期末）如圖，點(diǎn)P為外一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作的切線和，切點(diǎn)分別是點(diǎn)A和點(diǎn)B，連接，直線與交于點(diǎn)C和點(diǎn)E，交于點(diǎn)D，連接，．(1)求證：是等腰三角形；(2)若，，求的長(zhǎng)．2．（2025北京朝陽(yáng)初三上期末）如圖，在中，，，C為邊的中點(diǎn)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，與相切于點(diǎn)．(1)求證：與相切；(2)若，求的長(zhǎng)．3．（2025北京朝陽(yáng)初三上期末）北京天壇，原名“天地壇”，是中國(guó)現(xiàn)存最大的古代祭祀性建筑群.天壇內(nèi)壇由圜丘、祈谷壇、齋宮三組古建筑群組成，某數(shù)學(xué)興趣小組想測(cè)量圜丘壇（圖1）最下層圓形石壇的直徑，先畫出直徑再直接測(cè)量不太可能，先測(cè)量周長(zhǎng)再計(jì)算直徑也比較麻煩，研討后他們自制了一個(gè)直角曲尺，制定了測(cè)算方案并畫出了示意圖.直角曲尺的短邊長(zhǎng)為，在測(cè)量時(shí)，用直角曲尺的長(zhǎng)邊貼緊圓形石壇的邊緣，并使短邊與圓形石壇的邊緣接觸，此時(shí)長(zhǎng)邊與圓形石壇的接觸點(diǎn)記為點(diǎn)D，量得的長(zhǎng)為，示意圖如圖2所示.請(qǐng)根據(jù)以上信息計(jì)算圜丘壇最下層圓形石壇的直徑.4．（2025北京昌平初三上期末）如圖，直徑為，點(diǎn)為上的兩個(gè)點(diǎn)，，過(guò)點(diǎn)的直線交延長(zhǎng)線于點(diǎn)，且．(1)求證：為的切線；(2)連接，若，求的長(zhǎng)．5．（2025北京大興初三上期末）如圖，等腰△ABC內(nèi)接于，，為直徑，連接交于點(diǎn)E，延長(zhǎng)至點(diǎn)P，使得，連接．(1)求證：是的切線；(2)若，，求的長(zhǎng)．6．（2025北京門頭溝初三上期末）如圖1，平面中的線段和直線外一點(diǎn)P，對(duì)于P，A，B三點(diǎn)確定的圓，如果所對(duì)的弧為優(yōu)弧，我們就稱點(diǎn)P為線段的“優(yōu)關(guān)聯(lián)點(diǎn)”．(1)如圖2，已知點(diǎn)，．①在點(diǎn)，，中，是線段的“優(yōu)關(guān)聯(lián)點(diǎn)”的是；②如果直線上存在線段的“優(yōu)關(guān)聯(lián)點(diǎn)”，直接寫出b的取值范圍．(2)如圖3，已知點(diǎn)，，，，，如果在邊上存在線段的“優(yōu)關(guān)聯(lián)點(diǎn)”，直接寫出a的取值范圍．7．（2025北京西城初三上期末）如圖，是的直徑，弦，過(guò)點(diǎn)作的切線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接，．(1)求證：；(2)若，，求的長(zhǎng)．8．（2025北京密云初三上期末）如圖，是的直徑，是的弦，延長(zhǎng)至，，過(guò)作交于點(diǎn)．(1)求證：是的切線；(2)連接，若，，求長(zhǎng)．9．（2025北京東城初三上期末）如圖，在中，，以邊為直徑作交于點(diǎn)D，連接并延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，點(diǎn)P為的中點(diǎn)，連接．(1)求證：是的切線；(2)若的半徑為3，，求的長(zhǎng)．10．（2025北京平谷初三上期末）如圖，已知△ABC中，，點(diǎn)D是邊上一點(diǎn)，連接，以為直徑畫，與邊交于點(diǎn)E，與邊交于點(diǎn)F，，連接．(1)求證：是的切線；(2)若，，求的長(zhǎng)．11．（2025北京燕山初三上期末）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)M在x軸上，以點(diǎn)M為圓心的圓與x軸交于兩點(diǎn)，對(duì)于點(diǎn)P和，給出如下定義：若拋物線經(jīng)過(guò)A，B兩點(diǎn)且頂點(diǎn)為P，則稱點(diǎn)P為的“圖象關(guān)聯(lián)點(diǎn)”．(1)已知，在點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H中，的“圖象關(guān)聯(lián)點(diǎn)”是；(2)已知點(diǎn)P為的“圖象關(guān)聯(lián)點(diǎn)”，且，①判斷與的位置關(guān)系，并證明；②直接寫出拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)．(3)已知，當(dāng)?shù)摹皥D象關(guān)聯(lián)點(diǎn)”P在外且在四邊形內(nèi)運(yùn)動(dòng)時(shí)，直接寫出拋物線中a的取值范圍．12．（2025北京燕山初三上期末）如圖，是的直徑，過(guò)點(diǎn)作的切線，點(diǎn)、、分別為的三等分點(diǎn)，連接，，，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，交于點(diǎn)．(1)求證：；(2)連接，若，求的面積．13．（2025北京豐臺(tái)初三上期末）下面是小明設(shè)計(jì)的“過(guò)圓外一點(diǎn)作已知圓的切線”的尺規(guī)作圖過(guò)程．已知：如圖，點(diǎn)P在外．求作：的切線，使它經(jīng)過(guò)點(diǎn)．作法：①作射線交于A、B兩點(diǎn)；②以點(diǎn)為圓心，以的長(zhǎng)為半徑作弧；以點(diǎn)為圓心，以的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)，；③連接，分別交于點(diǎn)，；④作直線，．直線，為所作的切線．根據(jù)小明設(shè)計(jì)的尺規(guī)作圖過(guò)程．(1)使用直尺和圓規(guī)，補(bǔ)全圖形（保留作圖痕跡）；(2)完成下面的證明證明：連接．在中，點(diǎn)A，B，C在上，，，．，（）（填推理依據(jù)）．∴直線是的切線（）（填推理依據(jù)），同理可證，直線是的切線．14．（2025北京豐臺(tái)初三上期末）如圖，是的直徑，點(diǎn)C在上，連接，．作交于點(diǎn)D，交于點(diǎn)E．(1)求證：；(2)過(guò)點(diǎn)D作的切線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，若，．求的長(zhǎng)．15．（2025北京通州初三上期末）如圖，在△ABC中，，O是的中點(diǎn)，到點(diǎn)O的距離等于的所有點(diǎn)組成圖形G，圖形G與邊交于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作于點(diǎn)E．(1)依題意補(bǔ)全圖形，判斷直線與圖形G的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)并加以證明；(2)延長(zhǎng)線交圖形G于點(diǎn)F，如果，，求的長(zhǎng)．16．（2025北京海淀初三上期末）如圖，，分別與相切于，兩點(diǎn)，的延長(zhǎng)線交弦于點(diǎn)，，連接．(1)求證：；(2)若，的半徑為2，求的長(zhǎng)．17．（2025北京西城初三上期末）已知：如圖1，點(diǎn)，在上，點(diǎn)在外．求作：的切線，且切點(diǎn)在劣弧上．作法：如圖2，①連接；②作線段的垂直平分線，交于點(diǎn)；③以點(diǎn)為圓心，的長(zhǎng)為半徑畫圓，交劣弧于點(diǎn)；④畫直線．直線即為所求．(1)使用直尺和圓規(guī)，依作法補(bǔ)全圖形（保留作圖痕跡）；(2)完成下面的證明．證明：連接．∵是的直徑，∴________（__________）（填推理的依據(jù)）．∴．∵是的半徑，∴直線是的切線（____________）（填推理的依據(jù)）．18．（2025北京東城初三上期末）在平面直角坐標(biāo)系中，的半徑為1，對(duì)于的弦和不在直線上的點(diǎn)C，給出如下定義：若，且點(diǎn)C關(guān)于弦的中點(diǎn)M的對(duì)稱點(diǎn)在上或其內(nèi)部，則稱點(diǎn)C為弦的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”.

(1)已知點(diǎn)，.①在點(diǎn)，，中，點(diǎn)是弦的關(guān)聯(lián)點(diǎn)，其中°；②若直線上存在的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”，則b的取值范圍是；(2)若點(diǎn)C是的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”，且，直接寫出弦的最大值和最小值.19．（2025北京三帆中學(xué)初三上期末）已知：是的直徑，弦垂足為E，半徑上有兩點(diǎn)M和N，射線，射線分別交于點(diǎn)F、H，連接交于點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)D作的平行線．(1)證明：直線是的切線；(2)當(dāng)時(shí)，求的度數(shù)．20．（2025北京房山初三上期末）如圖，是的直徑，點(diǎn)在上，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，，平分交于點(diǎn)，連結(jié)．(1)求證：是的切線；(2)當(dāng)時(shí)，求的長(zhǎng)．21．（2025北京門頭溝初三上期末）如圖，在中，，O為AC上一點(diǎn)，以點(diǎn)O為圓心，OC為半徑的圓恰好與AB相切，切點(diǎn)為D，與AC的另一個(gè)交點(diǎn)為E．（1）求證：BO平分；（2）若，，求BO的長(zhǎng)．22．（2025北京燕山初三上期末）下面是小石設(shè)計(jì)的“過(guò)圓上一點(diǎn)作圓的切線”的尺規(guī)作圖的過(guò)程．已知：如圖1，⊙及⊙上一點(diǎn)．求作：直線PN，使得PN與⊙相切．作法：如圖2，①作射線OP；②在⊙外取一點(diǎn)Q（點(diǎn)Q不在射線OP上），以Q為圓心，QP為半徑作圓，⊙Q與射線OP交于另一點(diǎn)M；③連接MQ并延長(zhǎng)交⊙Q于點(diǎn)N；④作直線PN．所以直線PN即為所求作直線．根據(jù)小石設(shè)計(jì)的尺規(guī)作圖的過(guò)程，（1）使用直尺和圓規(guī)，補(bǔ)全圖形（保留作圖痕跡）；（2）完成下面的證明．證明：∵是⊙的直徑，∴＝（

）（填推理的依據(jù)）．∴．又∵是⊙的半徑，∴是⊙的切線（

）（填推理的依據(jù)）．

參考答案1．(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據(jù)切線長(zhǎng)的性質(zhì)可證，得到，由等腰三角形的定義即可求解；（2）連接，可得，由全等三角形的性質(zhì)可得，則，可得，根據(jù)同弧所對(duì)圓周角相等可得，則有，設(shè)，則，根據(jù)勾股定理，即可求解．【詳解】（1）證明：，是的切線，，∴平分，．在和中，，，，是等腰三角形．（2）解：連接，是的直徑，，，．，又，，，平分，，，，設(shè)，則，有，即，解得：（負(fù)根舍去），即．【點(diǎn)睛】本題主要考查切線的性質(zhì)，切線長(zhǎng)的性質(zhì)，直徑對(duì)的圓周角是直角，等腰三角形的判定和性質(zhì)，三角函數(shù)的計(jì)算，勾股定理等知識(shí)的綜合運(yùn)用，掌握切線及切線長(zhǎng)的性質(zhì)，三角函數(shù)的計(jì)算方法是解題的關(guān)鍵．2．(1)見解析(2)【分析】本題考查了切線的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握各知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．（1）在中，，，得到，由C為邊的中點(diǎn)，求得，根據(jù)切線的性質(zhì)得到結(jié)論；（2）連接OD，根據(jù)切線的性質(zhì)得到，證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，根據(jù)等邊三角形的判定和性質(zhì)得到結(jié)論．【詳解】（1）證明：在中，，，，為邊的中點(diǎn)，，，是的半徑，與相切；（2）解：連接，∵BD與相切于點(diǎn)D，與相切，，在與中，，，，，是等邊三角形，．3．【分析】本題考查圓切線的實(shí)際應(yīng)用．解題的關(guān)鍵是添加輔助線，熟練掌握?qǐng)A切線性質(zhì)，勾股定理解解三角形．如圖，連接，過(guò)點(diǎn)C作于點(diǎn)，設(shè)，利用勾股定理構(gòu)建方程求解．【詳解】解：如圖，連接，過(guò)點(diǎn)C作于點(diǎn)設(shè)是的切線，，∵，，四邊形是矩形，，，在中，，，解得所以圓形石壇的直徑:（m）．4．(1)證明見解析(2)【分析】（1）方法一：根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角可得出，根據(jù)等邊對(duì)等角可得出，然后結(jié)合已知可得出，最后根據(jù)切線的判定即可得證；方法二：根據(jù)等邊對(duì)等角和三角形內(nèi)角和定理可得出，結(jié)合已知可得出，則，根據(jù)切線的判定即可得證；（2）方法一：連接，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)．根據(jù)勾股定理可求出，根據(jù)圓周角定理并結(jié)合已知可得出，根據(jù)正切的定義可求出，即可求解；方法二：過(guò)點(diǎn)作的垂線段，連接．判斷，根據(jù)正切的定義可求出．證明．得出．最后在中，根據(jù)勾股定理求解即可；方法三：連接交于點(diǎn)，連接．根據(jù)正切的定義可求出，根據(jù)圓周角定理，根據(jù)等邊對(duì)等角可求，進(jìn)而求出，根據(jù)勾股定理可求和，即可求解．【詳解】（1）證明∶方法一：連接．是直徑，．．，．，．．是的切線．方法二：，．，．．．是的切線．（2）解：方法一：連接，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)．．在中，．．，．．．方法二：過(guò)點(diǎn)作的垂線段，連接．，．．在和中，．．在中，．方法三：連接交于點(diǎn)，連接．，又，．，，又，，，，，，，，，．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的判定，圓周角定理以及推論，勾股定理，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，明確題意，添加合適的輔助線是解題的關(guān)鍵．5．(1)見解析(2)【分析】（1）由圓周角的性質(zhì)可得，由等腰三角形的性質(zhì)可證，可求，即可求解；（2）通過(guò)證明∽，可得，可求BD的長(zhǎng)，即可求解．【詳解】（1）證明：，，是直徑，，，，，，，，，又是直徑，是的切線；（2）解：，，，，，∽，，，，．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的判定，等腰三角形的性質(zhì)，圓周角定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．6．(1)①②(2)，【分析】（1）根據(jù)定義得出所對(duì)的弧為優(yōu)弧，，進(jìn)而得出結(jié)果；（2）以為直徑作，求出直線與相切時(shí)的b的值，進(jìn)而得出結(jié)果；（3）求出以為直徑的與相切時(shí)a的值，與相切時(shí)a的值，進(jìn)一步得出結(jié)果．【詳解】（1）解：①如圖1，所對(duì)的弧為優(yōu)弧，∴90°<∠APB<180°，，是線段的“優(yōu)關(guān)聯(lián)點(diǎn)”，故答案為：；②如圖2，以為直徑作，當(dāng)切于點(diǎn)A或點(diǎn)B時(shí)，設(shè)其分別交y軸于點(diǎn)D，交x軸于E，則直線，∵直線，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；∴直線與x軸所成的銳角是，∴，∴，∴直線交y軸于點(diǎn)，可得，，同理得出：，，此時(shí)直線與y軸交于，；（2）解：如圖3，當(dāng)以為直徑的與直線相切于點(diǎn)A或點(diǎn)B時(shí)，連接，則，當(dāng)在左側(cè)時(shí)（除去A點(diǎn)），，，當(dāng)在的右側(cè)時(shí)（除去切點(diǎn)），此時(shí)：，，如圖4，當(dāng)與相切時(shí)，或，此時(shí)或，，綜上所述：或．【點(diǎn)睛】本題考查了點(diǎn)和圓的位置關(guān)系，直線和圓的位置關(guān)系等知識(shí)，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是將題意轉(zhuǎn)化為直線和圓的位置關(guān)系．7．(1)證明見解析(2)【分析】本題考查了切線的性質(zhì)，圓周角定理，垂徑定理，正確作出輔助線是解題關(guān)鍵．（1）作于點(diǎn)，連接，，先由平行的性質(zhì)易得，再由切線的性質(zhì)得，進(jìn)而得，即可得，再由垂徑定理和圓周角定理可得，，繼而可得結(jié)論；（2）作于點(diǎn)，設(shè)的半徑為，則，，由勾股定理列方程得，解方程得，進(jìn)而可得、的值，再由勾股定理可得的值，最后由可得答案．【詳解】（1）證明：作于點(diǎn)，連接，，如圖1，∴，∵，∴，∴，∴，∵是的切線，是切點(diǎn)，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴；（2）解：作于點(diǎn)，如圖2∵，于點(diǎn)，∴，，∴四邊形為矩形，∴，設(shè)的半徑為，則，∵，∴，∵在中，，，∴，解得，∴，∵，∴，∴在中，，∴．8．(1)見解析(2)【分析】（1）連接，根據(jù)三角形中位線定理得到，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到，根據(jù)切線的判定定理即可得到結(jié)論；（2）設(shè)交于，連接，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得到，根據(jù)圓周角定理得到，推出是等邊三角形，得到，，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到，根據(jù)勾股定理得到結(jié)論．【詳解】（1）證明：連接，，，是的中位線，，，是的半徑，是的切線；（2）解：設(shè)交于，連接，，，，，是的直徑，，，，是等邊三角形，，，，，，，，，，，，．9．(1)見解析(2)【分析】（1）連接，由“直徑所對(duì)的圓周角等于”可得，由“直角三角形中斜邊上的中線等于斜邊的一半”可得，進(jìn)而可得．又由可得，則可得，即可得證．（2）先根據(jù)三角形外角定理可得，進(jìn)而可得，則，進(jìn)而可得．在中，根據(jù)三角函數(shù)的定義即可求出的長(zhǎng)．【詳解】（1）證明：如圖，連接，∵是的直徑，．在中，點(diǎn)P為的中點(diǎn)，，，，，，，，，，∴是的切線．（2）解：，且，，，，，，，，，，在中，，．【點(diǎn)睛】本題考查的是圓周角定理的應(yīng)用，切線的判定與性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的應(yīng)用，直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)，作出合適的輔助線是解本題的關(guān)鍵．10．(1)見解析(2)【分析】（1）由為的直徑得，由等邊對(duì)等角和等量代換得，結(jié)合可證，進(jìn)而可證為的切線；（2）證明得，求出，由勾股定理得求出，，再利用勾股定理即可求出．【詳解】（1）證明：∵為的直徑，∴∵∴∵∴∴∵∴∴∴為的切線（2）∵為的切線∴∴∴∵∴∴∴∴由勾股定理得，∵∴由勾股定理得，【點(diǎn)睛】本題考查了切線的判定，圓周角定理，等邊對(duì)等角，解直角三角形，以及勾股定理等知識(shí)，靈活運(yùn)用各知識(shí)點(diǎn)是解答本題的關(guān)鍵．11．(1)H(2)①與相切．證明見解析析；②拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是或(3)【分析】本題考查了二次函數(shù)的綜合、切線的證明、解直角三角形等知識(shí)，解題關(guān)鍵是熟練運(yùn)用二次函數(shù)的性質(zhì)和切線判定定理進(jìn)行求解與證明．（1）根據(jù)拋物線的對(duì)稱性求出頂點(diǎn)橫坐標(biāo)，然后判斷即可；（2）連接，過(guò)點(diǎn)M作于N，證明即可得到結(jié)論，由題意可得，，求出，即可得到頂點(diǎn)坐標(biāo)；（3）求出點(diǎn)Р縱坐標(biāo)為或2時(shí)的函數(shù)解析式，再判斷a的取值范圍即可．【詳解】（1）解：∵拋物線經(jīng)過(guò)，兩點(diǎn)且頂點(diǎn)為P，則頂點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為，∵在點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H中，的橫坐標(biāo)為，∴在點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H中，的“圖象關(guān)聯(lián)點(diǎn)”是H；故答案為：H；（2）①與的位置關(guān)系是：相切.

∵為的直徑，∴為的中點(diǎn).∵，.∴.連接，∵P為的“圖象關(guān)聯(lián)點(diǎn)”，∴點(diǎn)P為拋物線的頂點(diǎn).∴點(diǎn)P在拋物線的對(duì)稱軸上.∴是的垂直平分線.∴過(guò)點(diǎn)M作于N.∵∴∴與相切②當(dāng)拋物線開口向上時(shí)，∵與相切∴，∵，，∴，∴即點(diǎn)P的坐標(biāo)為，同理可得，當(dāng)拋物線開口向下時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為，∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為或；（3）由（1）可知，頂點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為，由（2）可知的半徑為1.5，已知，，當(dāng)?shù)摹皥D象關(guān)聯(lián)點(diǎn)”Р在外且在四邊形內(nèi)時(shí)，頂點(diǎn)P的縱坐標(biāo)范圍是大于1.5且小于2，當(dāng)拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為時(shí)，設(shè)拋物線解析式為，把代入得，，解得，；當(dāng)拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為時(shí)，設(shè)拋物線解析式為，把代入得，，解得，；∴a的取值范圍．12．(1)見解析(2)【分析】本題主要考查了垂直平分線的判定、三角形的外心、圓切線的性質(zhì)、平行線的判定，等邊三角形的判定與性質(zhì)、直徑所對(duì)的圓周角是直角、勾股定理、含角的直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)推理是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)三等分點(diǎn)，得出，內(nèi)接于，推出，點(diǎn)是的外心，得出，根據(jù)切線的性質(zhì)，得出，根據(jù)“同一平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩條直線平行”，即可得證；（2）連接，由（1）得，，，得出是等邊三角形，，得出，計(jì)算出角度，，根據(jù)“直徑所對(duì)的圓周角是直角”，得出，求出，根據(jù)“角所對(duì)的直角邊是斜邊的一半”，結(jié)合勾股定理，推出，，根據(jù)三角形面積公式，計(jì)算，得出答案即可．【詳解】（1）證明：∵點(diǎn)、、為的三等分點(diǎn)，∴，內(nèi)接于，∴，點(diǎn)是的外心，∴點(diǎn)、在線段的垂直平分線上，∴，∵過(guò)點(diǎn)作的切線，∴，∴；（2）解：如圖，連接，∵由（1）得：，，，∴是等邊三角形，，∴，，∴，∵是的直徑，∴，∴，又∵，∴，，又∵在中，，∴，，∴在中，．13．(1)見解析(2)見解析【分析】本題考查切線的判定，等腰三角形三線合一，關(guān)鍵是通過(guò)作圖構(gòu)造等腰三角形和三線合一．（1）根據(jù)要求即可畫出圖形即可；（2）根據(jù)等腰三角形三線合一即可解決問(wèn)題．【詳解】（1）解：（1）如圖所示；（2）證明：連接．在中，點(diǎn)A，B，C在上，，，．，（在等腰三角形中頂角的角平分線，底邊的中線，底邊的高線，三條線互相重合）．∴直線是的切線（經(jīng)過(guò)半徑的外端并且垂直這條半徑的直線是圓的切線）同理可證，直線是的切線．故答案為：在等腰三角形中頂角的角平分線，底邊的中線，底邊的高線，三條線互相重合，經(jīng)過(guò)半徑的外端并且垂直這條半徑的直線是圓的切線．14．(1)見解析(2)3【分析】（1）根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角，平行線的性質(zhì)可得出，然后根據(jù)垂徑定理即可得證；（2）根據(jù)切線的性質(zhì)以及（1）的結(jié)論可證明四邊形是矩形，則，根據(jù)垂徑定理得出，在中，根據(jù)勾股定理求出，然后根據(jù)三角形中位線定理求解即可．【詳解】（1）證明：∵是的直徑，∴，∵，∴，∴，∴；（2）解：如圖，∵是的切線，∴，又，，∴四邊形是矩形，∴，∵，，∴，在中，，∴，解得，∵，，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)，垂徑定理，圓周角定理，矩形的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，熟練掌握上述知識(shí)并利用數(shù)形結(jié)合的思想是解題關(guān)鍵．15．(1)補(bǔ)全圖形見解析，直線與圖形G（）只有一個(gè)公共點(diǎn)，或直線與相切，證明見解析(2)【分析】本題考查了圓的切線證明、垂徑定理、勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，掌握相關(guān)結(jié)論是解題關(guān)鍵．（1）由題意得圖形G是以點(diǎn)O為圓心，為半徑的圓；連接，可證直線與相切；（2）過(guò)點(diǎn)O作于點(diǎn)G．可得，推出四邊形是矩形；根據(jù)，即可求解；【詳解】（1）解：補(bǔ)全圖形；結(jié)論：直線與圖形G（）只有一個(gè)公共點(diǎn)，或直線DE與相切證明：連接，∵，∴，∵，∴，，∴，∵，∴，∵點(diǎn)D在圖形G（）上，∴直線與圖形G（）只有一個(gè)公共點(diǎn)．（2）解：過(guò)點(diǎn)O作于點(diǎn)G．∴∵，，∴四邊形是矩形，∴，，在中，，∴，∴（舍負(fù)），∴．16．(1)見解析(2)【分析】本題考查了切線的性質(zhì)，垂徑定理，矩形的判定和性質(zhì)．（1）連接，由切線的性質(zhì)得，再由四邊形內(nèi)角和得，由平角的性質(zhì)得，進(jìn)而得，再由垂徑定理得，繼而可得結(jié)論；（2）過(guò)點(diǎn)C作于點(diǎn)M，先由已知得四邊形是矩形，進(jìn)而得，，，結(jié)合（1）易得是等腰直角三角形，進(jìn)而可得，，再由即可得出答案．【詳解】（1）證明：如圖，連接，∵，分別與相切于，兩點(diǎn)，∴，，∴，∴，又∵，∴，∵，，∴，平分，∴，∴；（2）解：如圖，過(guò)點(diǎn)C作于點(diǎn)M，∵，，，∴，∴四邊形是矩形，∴，，，∴，∵，∴，∴，由（1）得，∴，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∴，∴，∵的半徑為2，即，∴，∴，，∴．17．(1)圖見解析(2)90，直徑所對(duì)的圓周角是直角，經(jīng)過(guò)半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線【分析】本題考查了線段垂直平分線的尺規(guī)作圖、圓周角定理、圓的切線的判定定理，熟練掌握?qǐng)A的切線的判定定理是解題關(guān)鍵．（1）根據(jù)題中的作法步驟：根據(jù)線段垂直平分線和圓的畫法即可得；（2）先根據(jù)圓周角定理可得，再根據(jù)圓的切線的判定定理即可得證．【詳解】（1）解：使用直尺和圓規(guī)，依作法補(bǔ)全圖形如下：．（2）證明：連接．∵是的直徑，∴（直徑所對(duì)的圓周角是直角）．∴．∵是的半徑，∴直線是的切線（經(jīng)過(guò)半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線）．故答案為：90，直徑所對(duì)的圓周角是直角，經(jīng)過(guò)半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．18．(1)①，60；(2)最大值和最小值分別為和1【分析】（1）①反向思考，作出關(guān)于點(diǎn)M的對(duì)稱圓，只要滿足，，在上或內(nèi)部，均符合題意，先根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出M，再求出，根據(jù)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系即可求解；②同上作出關(guān)于點(diǎn)M的對(duì)稱圓，連接，可求，，則，故的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”在優(yōu)弧上（不包括端點(diǎn)），若直線上存在的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”，則直線與優(yōu)弧上（不包括端點(diǎn)）有交點(diǎn)，當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A時(shí)，把代入，求出，當(dāng)直線與相切時(shí)，記切點(diǎn)為H，連接，記直線與軸交于點(diǎn)，可求，則，過(guò)作軸交直線于點(diǎn)，求出點(diǎn)，代入，求得：，那么時(shí)，直線上存在的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”；（2）先確定點(diǎn)C在以O(shè)為圓心為半徑的圓上，對(duì)于弦，我們固定點(diǎn)，調(diào)整點(diǎn)A位置即可，同上作出關(guān)于點(diǎn)M對(duì)稱的，則根據(jù)關(guān)聯(lián)點(diǎn)的定義可知：點(diǎn)C首先需要在關(guān)于點(diǎn)M對(duì)稱的上或者內(nèi)部（不包括A、B），以為底邊，作頂角為的等腰，由圓周角定理可得，故點(diǎn)C又得在以為圓心，為半徑的優(yōu)弧上，那么優(yōu)弧必須與以O(shè)為圓心為半徑的圓有交點(diǎn)，才符合題意，當(dāng)優(yōu)弧必須與以O(shè)為圓心為半徑的圓相切時(shí)，最小，設(shè)切點(diǎn)為點(diǎn)，由圓的對(duì)稱性可知共線，，設(shè)，則同上可得，由，得到，解得：，則，當(dāng)恰好經(jīng)過(guò)優(yōu)弧時(shí)，此時(shí)最大，那么此時(shí)點(diǎn)與重合，則，求得，那么，綜上，弦的最大值為，最小值為1．【詳解】（1）解：①∵點(diǎn)C關(guān)于弦的中點(diǎn)M的對(duì)稱點(diǎn)在上或其內(nèi)部，則稱點(diǎn)C為弦的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”，∴反向思考，作出關(guān)于點(diǎn)M的對(duì)稱圓，只要滿足，，在上或內(nèi)部，均符合題意，

∵，，∴，∵，∴，∵，∴點(diǎn)到的距離為，∴點(diǎn)在上，同理經(jīng)過(guò)計(jì)算，到的距離為均大于半徑，故不符合題意，∴點(diǎn)是弦的關(guān)聯(lián)點(diǎn)，連接，∴，同理可求，，∴，∴，∵，∴，故答案為：，60；②同上作出關(guān)于點(diǎn)M的對(duì)稱圓，連接，

∵，，，，同理可求，，，∴同理可求，∴，∴，∴，∴，∴的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”在優(yōu)弧上（不包括端點(diǎn)），∴若直線上存在的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”，則直線與優(yōu)弧上（不包括端點(diǎn)）有交點(diǎn)，當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A時(shí)，如圖：

∴把代入得：，解得：，∴，直線與優(yōu)弧上（不包括端點(diǎn)）有交點(diǎn)，當(dāng)直線與相切時(shí)，如圖：

記切點(diǎn)為H，連接，記直線與軸交于點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，解得：，∴，當(dāng)，，∴，則，∴，過(guò)作軸交直線于點(diǎn)，則，∵由切線得性質(zhì)得到：∴，∴點(diǎn)，代入，求得：，∴，直線與優(yōu)弧上（不包括端點(diǎn)）有交點(diǎn)，綜上所述：時(shí)，直線上存在的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”，故答案為：；（2）解：∵，∴點(diǎn)C在以O(shè)為圓心為半徑的圓上，對(duì)于弦，我們固定點(diǎn)，調(diào)整點(diǎn)A位置即可，同上作出關(guān)于點(diǎn)M對(duì)稱的，∵點(diǎn)C是的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”，∴根據(jù)關(guān)聯(lián)點(diǎn)的定義可知：點(diǎn)C首先需要在關(guān)于點(diǎn)M對(duì)稱的上或者內(nèi)部（不包括A、B），∵點(diǎn)C是的“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”，∴以為底邊，作頂角為的等腰，∴由圓周角定理可得：，∴點(diǎn)C又得在以為圓心，為半徑的優(yōu)弧上，那么優(yōu)弧必須與以O(shè)為圓心為半徑的圓有交點(diǎn)，才符合題意，∴當(dāng)優(yōu)弧必須與以O(shè)為圓心為半徑的圓相切時(shí)，最小，設(shè)切點(diǎn)為點(diǎn)，如圖：

由圓的對(duì)稱性可知共線，，設(shè)，則同上可得，∴在中，，∵，∴，解得：或（舍）∴，當(dāng)恰好經(jīng)過(guò)優(yōu)弧時(shí)，此時(shí)最大，那么此時(shí)點(diǎn)與重合，如圖：

∴，∴，∴，綜上，弦的最大值為，最小值為1．【點(diǎn)睛】本題考查了新定義，難度很大，涉及圓周角定理，解直角三角形，點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，等腰三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，綜合性很強(qiáng)，解題的關(guān)鍵在于反向思考和固定變量解決問(wèn)題．19．(1)證明見解析(2)【分析】對(duì)于（1），根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得，進(jìn)而得出，然后根據(jù)，結(jié)合等腰三角