第1頁/共1頁2025北京重點校初一（上）期末數學匯編實際問題與一元一次方程（解答題）一、解答題1．（2025北京門頭溝初一上期末）列方程解應用題：我國元代數學家朱世杰所著的《算學啟蒙》（1299年）．原題是：“今有良馬日行二百四十里，駑馬日行一百五十里，駑馬先行一十二日，問良馬幾何日追及之．”題中的“里”是我國古代長度單位，翻譯成譯文就是：跑得快的馬每天走240里，跑得慢的馬每天走150里．慢馬先走12天，快馬幾天可以追上慢馬？2．（2025北京大興初一上期末）居民生活用水通常按戶計費．下表是某城市居民生活用水的收費標準（按照年用水量計算，將居民家庭全年用水量劃分為三個階梯，戶內人口不超過5人）．收費方式年用水量費用/（元）第一階梯含5第二階梯含7第三階梯260以上9已知小興家1月份至11月份（含11月份）累計用水量為．(1)若12月份用水量為，則小興家12月份應繳水費元；(2)若小興家這一年的水費為970元，求小興家12月份的用水量是多少？3．（2025北京西城初一上期末）如圖，數軸上點A，O，B分別表示數，0，5．動點P從點A出發，以每秒1個單位長度的速度沿數軸正方向運動；同時動點Q從點B出發，以每秒1個單位長度的速度沿數軸負方向運動，并在經過點O后以每秒2個單位長度的速度繼續沿數軸負方向運動；當點P到達點O時，P，Q兩點都停止運動．設點P運動的時間為t秒．(1)當時，_______；當點P與點Q重合時，_______；(2)當點Q在點P左側，且時，______，點Q表示的數是_______；(3)當時，求t的值．4．（2025北京昌平初一上期末）已知甲班有38人，乙班有40人，現在需要從甲、乙兩班各抽調一些同學參加學農活動，若從甲班抽調的人數是乙班抽調人數的2倍，則甲班剩余人數比乙班剩余人數少12人，請問從甲、乙兩班各抽調了多少人？5．（2025北京西城初一上期末）學校機器人社團計劃開展自制機器人比賽，場地是長為，寬為的長方形，現需要設計賽道和比賽方案．如圖1，小明在場地長為的一條邊上截取線段，以為一邊在場地內部畫了一個小長方形，設計了一個寬都為的“U”形賽道（陰影部分），并制定了比賽方案．他將小長方形在場地內部的三條線段的和叫作賽道的內圈長．例如，圖1中賽道的內圈長為線段，，的和．(1)用含x的式子表示：圖1中，的長為_______，賽道的內圈長為______；(2)小明想到可以調整“U”形賽道的開口方向，如圖2，他在場地長為的邊上截取線段，且．他以為一邊在場地內部畫了一個小長方形，設計了一個寬都為的“U”形賽道．①請在圖2中補全小明設計的賽道圖形；②對于圖2的這種設計，在圖2和圖1兩種賽道的內圈長相同的前提下，如果這兩種賽道寬度的差在范圍內，那么可以直接使用之前制定的比賽方案，否則需要對比賽方案作出調整．判斷使用圖2的設計時，是否需要調整小明之前制定的比賽方案，并說明理由．6．（2025北京西城初一上期末）數軸上點A，B，M分別表示數a，b，m，如果a，b，m滿足，則稱點A，B互為關于點M的“平衡點”．例如，當，，時，點A，B互為關于點M的“平衡點”．已知數軸上點P表示數．(1)點A，B分別表示數a，b，且點A，B互為關于點P的“平衡點”，則________（用含a的式子表示）；(2)點O，C，D分別表示數0，1，6．對點C做如下操作：點C關于點P的“平衡點”為點，點關于點O的“平衡點”為點，點關于點P的“平衡點”為點，點關于點O的“平衡點”為點，按此方式繼續操作，得到點，，…，（n為正整數）．對點D做如下操作：將點D沿數軸負方向移動k（）個單位長度得到點，點關于點P的“平衡點”為點，將點沿數軸負方向移動k個單位長度得到點，點關于點P的“平衡點”為點，按此方式繼續操作，得到點，，…，．①求線段的長；②是否存在正整數n，對于任意的正數k，都有線段的長為667？如果存在，直接寫出n的值；如果不存在，說明理由．7．（2025北京懷柔初一上期末）在數軸上，我們把表示數的點稱為共點，記作點P．對于兩個不同的點A和點B，若點A、點B到點P的距離相等，則稱點A與點B關于點P互為共點聯系點．如圖1，點A表示的數是，點B表示的數是1，它們到共點P的距離都是2個單位長度，則點A與點B關于點P互為共點聯系點．(1)已知點A表示數a，點B表示數b，點A與點B關于點P互為共點聯系點．若，則；若，則；計算：；(2)對點A進行如下操作：先把點A表示的數乘以，再把所得數表示的點沿著數軸移動2個單位長度得到點B．若點A與點B關于點P互為共點聯系點，則點A表示的數是；(3)在圖2中，M、是數軸上兩點，且，點M以每秒2個單位長度的速度從數軸上表示－6的點出發，在－6與6之間來回運動，點N從數軸上表示2的點出發，以每秒1個單位長度的速度向數軸負半軸方向運動，若t秒后，點M或與點N關于點P互為共點聯系點，求M或與N距離最大時，運動時間秒，M或與N距離最小時，運動時間_____秒．

8．（2025北京懷柔初一上期末）列方程解應用題：新年將至，某校編織社團負責裝飾校園，學生編織了大、小兩種中國結．已知編織一個大號中國結需用繩4米，編織一個小號中國結需用繩3米．學生編織大、小兩種中國結共計18個，總計用繩60米．問這兩種中國結各編織了多少個？9．（2025北京大興初一上期末）若有理數與分別對應數軸上的點與點，則為點與點的距離．我們定義：為點與點之間的三等分距離，記作．例如：數軸上表示與3的點之間的三等分距離是．(1)數軸上表示2與4的點之間的三等分距離；(2)數軸上表示數與1的點之間的三等分距離是2，則；(3)若取最大值，則有理數的值可以是（寫出一個即可）；(4)若是的2倍，則的值為．10．（2025北京大興初一上期末）列一元一次方程解應用題：在一次勞動課上，有24名同學在甲處勞動，有18名同學在乙處勞動，現在從乙處調一部分人去支援甲處，使得在甲處的人數比在乙處人數的2倍多3人，應從乙處調往甲處多少人？11．（2025北京西城初一上期末）甲、乙、丙、丁四位志愿者參加某公益組織舉辦的義賣活動，負責帆布袋、冰箱貼、徽章三款商品的售賣．下表記錄了他們售出商品的數量和總銷售額的部分信息．志愿者帆布袋/個冰箱貼/個徽章/個總銷售額/元甲3000600乙1870465丙21211538丁12443(1)直接寫出帆布袋、冰箱貼、徽章的單價；(2)如果丁售出的徽章數量比他售出的冰箱貼數量的3倍還多1個，那么丁售出冰箱貼和徽章各多少個？12．（2025北京順義初一上期末）給出如下定義：對于數軸上M，N兩點和常數d，如果在數軸上存在點P，使得，那么稱點P是M，N的“d關聯點”．例如：點M表示1，點N表示2，，當點P表示4時，，所以稱點P是M，N的“5關聯點”．(1)點M表示2．①點N表示4，P是M，N的“10關聯點”．在0，兩個數中，P可以表示的數是______；②點P表示，且是M，N的“15關聯點”．求點N表示的數；(2)閱讀下列操作：A，B為數軸上兩點，點A表示的數為，將A表示的數加上1后，再乘以2，對應數軸上得到點；點B表示的數為1，將B表示的數加上1，對應數軸上得到點；將表示的數加上1后，再乘以2，對應數軸上得到點；將表示的數加上1，對應數軸上得到點，依此規律得到，，，，…，，，…點M表示，點N表示3，完成下面問題：①線段上存在點M，N的“5關聯點”，則n的值可以為______；②線段上同時存在M，N的“20關聯點”和“80關聯點”，直接寫出滿足條件的n的值．13．（2025北京延慶初一上期末）對于數軸上兩條線段，，給出如下定義：點E是線段的中點，點F是線段上一點，設點E與點F之間的距離為a，若a的最小值不超過1，則稱線段是線段的“近中線段”．如圖，在數軸上點表示的數分別為，，．(1)若點B表示的數為9，線段_______線段的“近中線段”（填“是”或“不是”）；(2)若點B表示的數為，線段是線段的“近中線段”，求滿足條件的的最小值和最大值；(3)點P從點A出發，以每秒1個單位長度的速度向右運動秒．當時，若線段的“近中線段”的長度恰好與的值相等，直接寫出線段的中點Q所表示的數．14．（2025北京延慶初一上期末）某校計劃舉辦一場關于“長城文化”的知識競賽，預算元用于購買長跳繩與短跳繩共套，以獎勵參賽者．已知長跳繩單價為元，短跳繩單價為元．學生會成員預估購買獎品后還能剩余元，他的預估正確嗎?若正確，求出購買長跳繩與短跳繩各多少根；若不正確，請說明理由．15．（2025北京東城初一上期末）如圖，港珠澳大橋是集主橋、海底隧道和人工島于一體的世界上最長的跨海大橋，從香港口岸到珠海及澳門口岸，全程，小張駕車從香港口岸行駛到東人工島的平均速度為，在海底隧道和主橋上行駛的平均速度分別為和，從香港口岸行駛到東人工島的時間是通過海底隧道時間的1．25倍，通過海底隧道的時間比通過主橋的時間少．港珠澳大橋主體工程示意圖根據以上信息回答下列問題：(1)設小張駕車通過海底隧道的時間是，補全下列表格（用含x的代數式表示）：香港口岸→東人工島東人工島→西人工島（通過海底隧道）港珠澳大橋主橋速度967190時間x路程(2)在（1）的條件下，求小張駕車通過海底隧道的時間；(3)港珠澳大橋通車前，小張從香港到珠海、澳門，走陸路途經東莞虎門大橋，車程，走水路乘高速客輪．通車后，小張駕車經港珠澳大橋從香港口岸到珠海及澳門口岸所用時間，比通車前走水路乘高速客輪從香港到珠海、澳門節省了多少分鐘？16．（2025北京豐臺初一上期末）點和點，點均是數軸上的點，給出如下定義：設點到點的距離為，點到點B的距離為，若，則稱點為線段的“倍關聯點”．(1)如圖，點所表示的數為．①若線段，點在點右側，點，，表示的數分別為，，，則點______（填“”，“”或“”）為線段的“倍關聯點”；②若原點為線段的“倍關聯點”，直接寫出點所表示的數；(2)已知點為線段的“倍關聯點”，若點從數軸上對應的點出發，以每秒個單位長度的速度向右運動，同時點從數軸上對應的點出發，以每秒個單位長度的速度向右運動，點從數軸上對應的點出發，以每秒個單位長度的速度向左運動，設點運動的時間為，直接寫出當取何值時的值最小以及此時的值．17．（2025北京豐臺初一上期末）由若干個邊長為1的正方形組成的網格中，如果一個多邊形的頂點都在格點上，那稱這種多邊形叫做格點多邊形．將格點多邊形的面積記為S，邊上的格點個數記為x，內部的格點個數記為y．例如，圖1中的格點多邊形ABCDE邊上的格點個數，內部的格點個數．奧地利數學家皮克證明了S，x，y三者之間有確定的數量關系這一結論被稱為“皮克定理”．(1)由圖2得到如下表格：格點多邊形多邊形的面積邊上的格點個數內部的格點個數①②③④⑤根據表格中的數據，直接寫出“皮克定理”中的：S，，y三者之間的數量關系；(2)利用“皮克定理”，直接寫出圖3中格點多邊形的面積；(3)在圖4網格中畫出一個同時滿足以下兩個條件的格點多邊形：①格點多邊形的面積為；②格點多邊形內部的格點個數為．18．（2025北京豐臺初一上期末）列方程解決問題：為響應國家節水政策，北京居民生活用水實行階梯價格制度，按年度用水量計算，將人（含）以下居民家庭全年用水量劃分為三檔，年階梯水價收費標準如下：階梯戶年用水量（單位：立方米）水價（單位：元/立方米）第一階梯0—180（含）5第二階梯181—260（含）7第三階梯260以上9按照以上階梯水價標準，回答下列問題：(1)若小明家年用水量為立方米，則該家庭全年繳費金額為______元；(2)若小華家年全年繳費金額為元，小華家年用水量是多少立方米？19．（2025北京朝陽初一上期末）某數學小組用一根質地均勻的木桿和一些等重的小物體做實驗，過程如下：（ⅰ）如圖1，在木桿中間栓繩，將木桿吊起并使其左右平衡，吊繩處為木桿支點，記為點O；（ⅱ）如圖2①，在木桿兩端各懸掛一個小物體，木桿左右平衡，支點與木桿右端掛小物體處的距離為線段的長，與木桿左端掛小物體處的距離為線段的長；（ⅲ）如圖2②，木桿右端仍然只懸掛一個小物體，在木桿左端掛的小物體下加掛一個小物體，然后把兩個小物體一起向右移動，直至木桿左右平衡，此時支點與木桿左邊掛小物體處的距離為線段的長；（ⅳ）如圖2③，木桿右端仍然只懸掛一個小物體，在木桿左邊掛的兩個小物體下再加掛一個小物體，然后把三個小物體一起向右移動，直至木桿左右平衡，此時支點與木桿左邊掛小物體處的距離為線段的長；……（ⅴ）繼續實驗，木桿右端始終只懸掛一個小物體，在木桿左邊懸掛n個小物體，然后把n個小物體一起向右移動，直至木桿左右平衡，此時支點與木桿左邊掛小物體處的距離為線段的長．依據實驗過程和實驗數據，解答問題：上述實驗相關數據的記錄如下表：次數右端掛小物體數支點與右端掛小物體處的距離（單位：cm）左邊掛小物體數支點與左邊掛小物體處的距離（單位：cm）113012130231303………………n130n(1)__________；(2)小組成員發現，即使改變支點位置，木桿右端懸掛小物體的數量，當木桿左右平衡時，左右懸掛小物體的數量與支點到左右懸掛小物體處的距離之間的等量關系不變．設木桿長為，支點在靠近木桿右端的三等分點處，在木桿右端掛3個小物體，支點左邊掛m個小物體，并使左右平衡，支點到木桿左邊掛小物體處的距離為，把m，l作為已知數，可以列出關于x的一元一次方程為__________；(3)生活中還有很多問題都符合這個實驗所發現的等量關系，例如將相同體積的水倒入兩個底面積不同的圓柱形容器（厚度忽略不計）時，兩個容器的水面高度與兩個容器底面積之間的關系．現有1號，2號兩個圓柱形容器，記1號底面積為，水面高度為，2號底面積為，水面高度為，已知．①當這兩個容器中水的體積相同時，的值為__________；②這兩個容器中都有的水，將1號中的部分水倒入2號中，當兩個容器的水面高度相同時，求1號倒入2號中的水的體積．20．（2025北京朝陽初一上期末）數軸上有兩個點A，B，它們表示的數分別是，8．P，Q，M是數軸上三個動點，沿數軸向某一方向運動，點P的速度是每秒2個單位長度，點Q的速度是每秒1個單位長度，點M的速度是每秒5個單位長度．(1)點P，Q分別從點A，B同時出發，都向正方向運動．①運動t秒后，點P表示的數為__________，點Q表示的數為__________（用含t的代數式表示）；②當P，Q兩點相距3個單位長度時，直接寫出此時t的值．(2)點P，Q，M同時開始運動，點P從點A出發向正方向運動，點Q從點B出發向負方向運動．點M從原點O出發先向負方向運動，與點P重合后立刻向正方向運動，與點Q重合后立刻向負方向運動，再次與點P重合后立刻向正方向運動，……，當點P，M，Q重合時，運動停止．在運動過程中，這三個點的速度保持不變，點P，Q的運動方向保持不變．①當運動停止時，直接寫出點P表示的數；②在整個過程中，點M運動的路程為__________個單位長度．21．（2025北京朝陽初一上期末）列方程解答下面的問題．《孫子算經》是中國古代重要的數學著作之一．《孫子算經》中記載：“今有三人共車，二車空；二人共車，九人步．問人與車各幾何？”譯文：“今有人坐一輛車，有輛車是空的；人坐一輛車，有個人需要步行．問人與車各多少？”22．（2025北京海淀初一上期末）長期堅持跑步可以增強心肺功能，讓身體更加健康．周六早上小健和小樂相約去奧森跑步．小健家離奧森近，決定步行前往，他從家出發時刻與到達奧森時刻手表顯示信息分別如圖1和圖2所示．小樂出發比小健晚了5分鐘，且家離奧森比小健家離奧森遠1.2公里，所以小樂決定騎自行車前往，小樂騎行的平均速度是小健步行的平均速度的3倍，最終小樂與小健在同一時刻到達奧森．求小健步行的平均速度和平均步長．23．（2025北京海淀初一上期末）對于一組互不相等的正有理數，若對于其中任意兩個數a，b，與兩數中至少有一個在這組數中，則稱這組有理數是“好數組”．(1)2，3，5______“好數組”，1，2，3，5______“好數組”；（填“是”或“不是”）(2)若2，4，8，是“好數組”，求出的所有可能值；(3)若含2025的5個正有理數是“好數組”，直接寫出所有符合條件的“好數組”．（此問為選作題，共3分，可計入總分，但全卷不超過100分）24．（2025北京通州初一上期末）對于數軸上，，三點，給出如下定義：若其中一個點與其他兩個點的距離恰好滿足2倍的數量關系，則稱該點是其他兩個點的“倍長點”．例如，數軸上點A，B，C所表示的有理數分別為0，2，3，此時點是點，的“倍長點”．(1)數軸上點表示的有理數為，點表示的有理數為3，下列各數，0，，4，7所對應的點分別為，，，，，其中是點，的“倍長點”的是_____；(2)數軸上點表示的有理數為，點表示的有理數為，點是數軸上的一個動點，對應的有理數用表示．若，且點，，中有一個點恰好是其他兩個點的“倍長點”，則滿足條件的的值有_____個；(3)在（2）中，若為整數，則滿足條件的整數的值是_____（用含有的代數式表示）．25．（2025北京通州初一上期末）七年級一班和二班兩個班的同學到某公園開展社會大課堂活動，公園門票每人40元，超過40人可以購買團體票．每班的學生人數都超過40人．公園購票處張貼著團體優惠購票的方案表格如下．團體票購票價格一覽表人數優惠方案40人以上方案一八折優惠（）方案二5人免票，其他人九折優惠(1)一班有55名學生，他該選擇哪個方案更省錢，說明理由；(2)二班無論選擇哪種方案付的錢是一樣多，求二班有多少人．26．（2025北京燕山初一上期末）對于數軸上的點進行如下操作：將點表示的數乘以，再加上，所得數對應的點為，則稱點為點的“位移點”．例如，如圖，若點表示的數為，，則數對應的點為點的“位移點”．(1)數軸上，點，，的“位移點”分別為，，．①若點表示的數為，且，則點表示的數為，點表示的數為；②若點與點重合，求點表示的數；(2)數軸上，點表示的數為，原點與點的“位移點”分別為，．當線段與線段重疊部分的長度為時，直接寫出的值．27．（2025北京燕山初一上期末）為了加力支持消費者購買綠色智能家電，滿足人民美好生活需要，北京市商務局發布了《北京市加力支持家電以舊換新補貼實施細則》，規定：活動期間，北京市居民購買電視、冰箱、洗衣機等大類家電，給予以舊換新補貼．購置一級能效（水效）家電，按照新購電器售價的給予補貼；購置二級能效（水效）家電，按照新購電器售價的給予補貼．每位消費者每類產品可補貼件，每件補貼金額不超過元．活動期間，小劉購買了一臺二級能效的電視機和一臺一級能效的冰箱，共獲得以舊換新補貼元，已知電視機的售價比冰箱售價的倍還多元．求電視機和冰箱的售價各是多少元?28．（2025北京昌平初一上期末）某外貿公司為慶祝共建“一帶一路”十周年，計劃采購一批紀念品．現有甲、乙兩個工廠可以生產這批紀念品，若這兩個工廠單獨生產這批紀念品，則甲工廠比乙工廠多用5天完成．已知甲工廠每天生產240件，乙工廠每天生產360件．(1)求這批紀念品共有多少件？(2)該外貿公司請甲、乙兩個工廠一起生產這批紀念品．在紀念品生產過程中，該外貿公司每天支付給甲工廠的費用是11000元，每天支付給乙工廠的費用是16000元，且每天的其它支出費用是1000元．求該外貿公司為這批紀念品的生產所支出的費用總和．29．（2025北京昌平初一上期末）某公司銷售A，B，C三種產品，在去年的銷售中，高新產品C的銷售金額占總銷售金額的．由于受國際金融危機的影響，今年A，B兩種產品的銷售金額都將比去年減少，因而高新產品C是今年銷售的重點．如果要使今年的總銷售金額與去年持平，求今年高新產品C的銷售金額應比去年增加的百分比．30．（2025北京昌平初一上期末）小明家打算靠墻修建一個長方形的養雞場（靠墻一邊作為長，墻長14米），另三邊用35米長的竹籬笆圍成，小明的爸爸打算讓雞場的長比寬多2米，小明的媽媽打算讓雞場的長比寬多5米，你認為他們誰的設計合理？按照這種設計，雞場的面積是多少平方米？31．（2025北京昌平初一上期末）列方程解應用題：某校組織部分師生去北京世園公園參加志愿服務活動．為踐行“綠色出行，節能減排”的環保理念，選擇騎自行車和步行兩種出行方式．已知參加志愿服務活動的教師和學生共30人；其中選擇步行人數比選擇騎自行車人數的2倍還多3人，問選擇騎自行車參加志愿服務活動的共有多少人？

參考答案1．20天【分析】本題考查了一元一次方程的應用以及數學常識，找準等量關系，正確列出一元一次方程是解題的關鍵．設快馬x天可以追上慢馬，利用路程＝速度×時間，結合快馬追上慢馬時兩馬走的路程相同，可列出關于x的一元一次方程，解之即可得出結論．【詳解】解：設快馬x天可以追上慢馬，根據題意得：，解得：．答：快馬20天可以追上慢馬．2．(1)85(2)小興家12月份的用水量是【分析】本題考查了有理數的混合運算，一元一次方程的應用，找到相等關系是解題的關鍵．（1）根據題中的收費標準計算即可；（2）設小興家12月份的用水量是，根據小興家這一年的水費為970元，列出方程，解方程即可．【詳解】（1）解：（元）；（2）解：設小興家12月份的用水量是，∵（元）（元），又∵，∴，則：，解得：，答：小興家12月份的用水量是．3．(1)3；6；(2)，；(3)4或【分析】本題考查一元一次方程的應用，解題的關鍵是用含t的代數式表示P，Q表示的數．（1）當時，P運動到表示的點，Q運動到的點，可得；當時，Q表示的數為，P表示的數為，故，解得；（2）點Q在點P左側，Q表示的數為，P表示的數為，即得，解得，從而求出點Q表示的數是；（3）當時，，，可得，解得；當時，，，故，解得或（舍去）．【詳解】（1）解：當時，P運動到表示的點，Q運動到的點，∴；當時，Q表示的數為，P表示的數為，∴點P與點Q重合時，，解得；故答案為：3，6；（2）解：點Q在點P左側，Q表示的數為，P表示的數為，∵，∴，解得，此時，∴點Q表示的數是；故答案為：，；（3）解：當時，P表示的數為，Q表示的數為，∴，∵，∴，解得；當時，P表示的數為，Q表示的數為，∴，，∵，∴，解得或（舍去），綜上所述，t的值為4或．4．從甲班抽調20人，從乙班抽調10人【分析】本題考查了一元一次方程的應用，正確理解題意建立方程是解題的關鍵．設從乙班抽調人，從甲班抽調人，根據甲班剩余人數比乙班剩余人數少12人建立方程求解．【詳解】解：設從乙班抽調人，從甲班抽調人，依題意，得：解得：，∴，答：從甲班抽調20人，從乙班抽調10人．5．(1)，(2)①見解析；②需要調整比賽方案，理由見解析【分析】本題考查了作圖的應用與設計．（1）根據線段的和差求解；（2）①根據圖1作圖；②先計算新圖中的賽道長，再求出兩個賽道的寬度差，再求解．【詳解】（1）解：圖1中：的長為，賽道的內圈長為：，故答案為：，；（2）解：①小明設計的賽道圖形如下圖所示：②需要調整小明之前制定的比賽方案；理由：賽到長為：，由題意得：，∴，∵50不在范圍內，∴需要調整小明之前制定的比賽方案．6．(1)(2)①；②存在，【分析】本題考查數字規律，數軸兩點之間的距離，一元一次方程的應用；（1）根據“平衡點”的定義得到，整理化簡即可；（2）①根據操作步驟得到表示的數為，表示的數為，再求線段的長即可；②根據操作步驟得到當為偶數時，表示的數為：，當為奇數時，表示的數為：，是，，，四個數循環，根據規律分情況討論，分別計算即可．【詳解】（1）解：由“平衡點”的定義可得：，∴，故答案為：；（2）解：①∵點A，B分別表示數a，b，且點A，B互為關于點P的“平衡點”，則，設點C表示的數為，點表示的數為，則，，∴點C關于點P的“平衡點”為點，則表示的數為：，點關于點O的“平衡點”為點，表示的數為：，點關于點P的“平衡點”為點，表示的數為：，點關于點O的“平衡點”為點，表示的數為：，按此方式繼續操作，當為偶數時，表示的數為：，當為奇數時，表示的數為：，設點D表示的數為，則，將點D沿數軸負方向移動k（）個單位長度得到點，表示的數為：，點關于點P的“平衡點”為點，表示的數為：，將點沿數軸負方向移動k個單位長度得到點，表示的數為：，點關于點P的“平衡點”為點，表示的數為：，∴是，，，四個數循環出現，即，，，四個數循環；由規律可得表示的數為，表示的數為，∴；②∵存在正整數n，對于任意的正數k，都有線段的長為667，∴線段的長與無關，∴當時，表示的數為：，表示的數為，線段的長為，此時線段的長與有關，不符合題意；當時，表示的數為：，表示的數為，線段的長為，此時線段的長與有關，不符合題意；當時，表示的數為：，表示的數為，線段的長為，此時線段的長與無關，即，解得（的解不是整數，舍去）或（不是整數舍去）；當時，表示的數為：，表示的數為，線段的長為，此時線段的長與無關，即，解得或（不是整數舍去）；綜上所述，存在正整數，對于任意的正數k，都有線段的長為667．7．(1)①0；；②(2)或0(3)，2【分析】本題考查了新定義，數軸上的動點問題，數軸上兩點間的距離，一元一次方程的應用．（1）①根據共點聯系點的定義求解即可；②設點A、點B到點P的距離為m，根據共點聯系點的定義表示出a，b，然后相加即可；（2）先根據題意表示出b，再根據共點聯系點表示的兩數之和等于列方程求解即可；（3）先判斷M或與N距離最大和M或與N距離最小的位置，再表示出M或與N，然后根據共點聯系點表示的兩數之和等于列方程求解即可．【詳解】（1）解：①當時，由題意，得∴；當時，由題意，得∴．故答案為：①0；；②設點A、點B到點P的距離為m，由題意，得，∴，故答案為：；（2）解：由題意得，或，∴或，解得或．故答案為：或0；（3）解：假設M在的左側，由題意知，當M到大P之前時，與N距離最?。划擬從6表示的點返回后，與N距離最大．當到大P之前時，，由題意，得，解得；當M從6表示的點返回后，，由題意，得，解得；故答案為：，2．8．大號中國結編了6個，則小號中國結編了12個【分析】本題考查實際問題與一元一次方程，找準數量關系，列方程是解題的關鍵；設編織大號中國結個，則小號中國結編織個，根據題意列方程即可；【詳解】解：設大號中國結編了個，小號中國結編了個，由題意列方程得：，解得，，答：大號中國結編了6個，則小號中國結編了12個．9．(1)(2)7或(3)（答案不唯一）(4)【分析】（1）根據三等分距離的定義進行求解即可；（2）根據三等分距離的定義列出方程，解方程即可；（3）先根據新定義得出，然后分類討論求出最大值即可；（4）根據是的2倍，得出，分類討論求出，然后代入求值即可．【詳解】（1）解：數軸上表示2與4的點之間的三等分距離為：；（2）解：∵數軸上表示數與1的點之間的三等分距離是2，∴，解得：或；（3）解：由題意得：當時，；當時，；當時，，當時，，當時，，∵，∴，∴當時，有最大值，∴取最大值，則有理數的值可以．（4）解：∵是的2倍，∴，整理得：，當時，，此方程無解；當時，，此方程無解；當時，，解得：；當時，．【點睛】本題主要考查了新定義運算，絕對值方程，絕對值意義，解題的關鍵是理解新定義，熟練掌握絕對值的意義．10．應從乙處調往甲處5人【分析】本題主要考查了一元一次方程的應用．利用一元一次方程解應用題的關鍵是找相等關系，列出方程．設應從乙處調往甲處x人，根據甲處原有人數調來的人數(乙處原有人數調來的人數)，列出方程，解方程即可．【詳解】解：設應從乙處調往甲處x人，根據題意得：，解得：，答：應從乙處調往甲處5人．11．(1)帆布袋、冰箱貼、徽章的單價分別是20元，15元，8元(2)丁售出5個冰箱貼，16個徽章【分析】本題考查了一元一次方程的應用，找準等量關系，正確列出一元一次方程是解題的關鍵．（1）利用帆布袋的單價=志愿者甲的總銷售額÷志愿者甲銷售帆布袋的數量，可求出帆布袋的單價，設冰箱貼的單價為x元，利用總銷售額=銷售單價×銷售數量，結合志愿者乙售出商品的數量和總銷售額，可列出關于x的一元一次方程，設徽章的單價為y元，利用總銷售額=銷售單價×銷售數量，結合志愿者乙和志愿者丙售出商品的數量和總銷售額，可列出關于y的一元一次方程，解之即可得出結論；（2）設丁售出m個冰箱貼，則有個徽章，根據“丁的總銷售額”，可列出關于m的一元一次方程，解之即可得出結論．【詳解】（1）解：帆布袋的單價為（元）．設冰箱貼的單價為x元，根據題意得：，解得：；設徽章的單價為y元，根據題意得：，解得：．答：帆布袋的單價為20元，冰箱貼的單價為15元，徽章的單價為8元；（2）解：設丁售出m個冰箱貼，則有個徽章，根據題意得：，解得：．所以，答：丁售出5個冰箱貼，16個徽章．12．(1)①；②11或(2)①1或2；②【分析】本題考查了新定義運算、數軸上的動點問題、數字變化的規律、一元一次方程的應用，理解新定義是解題的關鍵．（1）①根據新定義直接計算即可得出結論；②設點N表示的數為，由點P表示，且是M，N的“15關聯點”，得到等量關系列出方程，解出的值即可解答；（2）①根據數軸上點的變化規律，可得點表示的數為，點表示的數為，由點M表示，點N表示3，可知點M，N的“5關聯點”都在線段上，再分，和討論，即可解答；②先求出M，N的“20關聯點”和“80關聯點”表示的數，再分，和討論，即可解答．【詳解】（1）解：①當點P表示0時，，當點P表示時，，P是M，N的“10關聯點”，在0，兩個數中，P可以表示的數是．故答案為：．②設點N表示的數為，點P表示，點M表示2，，，點P是M，N的“15關聯點”，，，解得：或，點N表示的數為11或．（2）解：①由題意得，點表示的數為，點表示的數為，點表示的數為，點表示的數為，…；點表示的數為，點表示的數為，點表示的數為，點表示的數為，…點表示的數為，點表示的數為，點M表示，點N表示3，，點M，N的“5關聯點”都在線段上，又線段上存在點M，N的“5關聯點”，線段與線段有公共部分，當時，線段與線段有公共部分，符合題意；當時，線段與線段有公共部分，符合題意；當時，，，此時線段與線段沒有公共部分，不符合題意；線段上存在點M，N的“5關聯點”，則n的值可以為1或2．故答案為：1或2．②設點P表示的數為，且是M，N的“20關聯點”，由題意得，，解得：或，數或數表示的點是M，N的“20關聯點”，同理可得，數或數表示的點是M，N的“80關聯點”，由①得，線段上的點都在原點或原點右邊，又線段上同時存在M，N的“20關聯點”和“80關聯點”，線段上同時存在數和數表示的點，當時，，，線段上不存在數表示的點，不符合題意；當時，，線段上同時存在數和數表示的點，符合題意；當時，，，線段上不存在數表示的點，不符合題意；綜上所述，當時，即時，線段上同時存在M，N的“20關聯點”和“80關聯點”．滿足條件的n的值為．13．(1)是(2)的最小值是，最大值是(3)【分析】（1）根據題意可得點E表示的數為，根據“近中線段”定義可得，即可判斷．（2）根據題意可得點E表示的數為，最小值為，最大值為，故，求解即可．（3）根據題意可得點P表示的數為，在點P在原點左側，結合點表示的數分別為，，可得線段的中點Q所表示的數最小值為，最大值為，從而得出點在點右側，設點表示的數為，則，根據，可得，線段的中點表示的數為，根據的長度恰好與的值相等，可列，即，代入中，計算即可求解．【詳解】（1）解：∵點表示的數分別為，9，點E是線段的中點，∴點E表示的數為，又∵點表示的數分別為，，點F是線段上一點，點E與點F之間的距離為a，∴，，即，∴線段是線段的“近中線段”，故答案為：是．（2）解：∵線段是線段的“近中線段”，∴a的最小值不超過1，又∵點表示的數分別為，，點F是線段上一點，點E與點F之間的距離為a，∴結合數軸可得點E表示的數最小值為，最大值為，∵點表示的數分別為，，點E是線段的中點，∴點E表示的數為，∴，∴，∴的最小值是，最大值是．（3）解：∵點P從點A出發，以每秒1個單位長度的速度向右運動秒，∴點P表示的數為，∵，∴點P在原點左側又∵點表示的數分別為，，∴，，線段的中點Q所表示的數最小值為，最大值為，∴，點在點右側∵，∴，設點表示的數為，則，∵，∴，即，∴線段的中點表示的數為，∵的長度恰好與的值相等，∴，解得：，∴，∴線段的中點Q所表示的數為．【點睛】本題考查了數軸上兩點距離，線段中點的定義，解一元一次方程，去絕對值知識，熟練掌握以上知識是解題的關鍵．14．他的預估不正確，理由見解析【分析】本題考查了一元一次方程的應用的知識，熟練掌握以上知識是解題的關鍵．設購買長跳繩x根，則短跳繩根，根據買長跳繩花費，買短跳繩花費，即可列方程，求解后根據跳繩的根數為整數，即可判斷．【詳解】解：設購買長跳繩x根，則短跳繩根，根據題意列方程，得，解方程，得，跳繩的根數為整數，而，他的預估不正確．15．(1)，(2)(3)節省了【分析】本題考查了一元一次方程的應用以及列代數式．（1）根據各數量之間的關系，用含的代數式表示出小張駕車通過港珠澳大橋主橋的時間及路程；（2）找準等量關系，正確列出一元一次方程；（3）根據各數量之間的關系，列式計算．【詳解】（1）∵小張駕車通過海底隧道的時間是xh，通過海底隧道的時間比通過主橋的時間少0.15h，∴小張駕車通過主橋的時間是，∵在港珠澳大橋主橋上行駛的平均速度為，∴港珠澳大橋主橋的長度為．故答案為：，；（2）根據題意得：解得：．答：小張駕車通過海底隧道的時間是0.1h；（3）根據題意得：．答：節省了31.5min．16．(1)①；②點所表示的數為或或或；(2)當或時，的最小值【分析】本題考查了數軸上的動點問題，兩點間的距離公式，解題的關鍵是理解題中的新定義．（1）①先求出點表示的數為，再根據“倍關聯點”的定義逐一判斷即可；②設點所表示的數為，進而得到，，根據，列方程即可求解；（2）經過秒后，點表示的數為，點表示的數為，點表示的數為，則，，根據“倍關聯點”可推出，即可求解．【詳解】（1）解：①點所表示的數為，線段，點在點右側，點表示的數為，點表示的數為，則，，，，，點為線段的“倍關聯點”；點表示的數為，則，，，，，故點不是線段的“倍關聯點”；表示的數為，則，，，，，故點不是線段的“倍關聯點”；故答案為：；②設點所表示的數為，原點為線段的“倍關聯點”，點所表示的數為，，，，，，解得：或，點所表示的數為或或或；（2）經過秒后，點表示的數為，點表示的數為，點表示的數為，，，，，，的最小值為，當時，，解得：或，當或時，的最小值．17．(1)(2)(3)見解析，答案不唯一【分析】本題考查了規律探究，代數式求值，解一元一次方程；（1）根據表格數據得到規律，即可求解；（2）根據“皮克定理”進行計算即可求解；（3）根據“皮克定理”得出為，為，則，根據與畫出圖形，即可求解．【詳解】（1）解：∵∴S，，y三者之間的數量關系：（2）解：∵圖3中格點多邊形的中，∴∴圖3中格點多邊形的面積為（3）∵，∴，則如圖所示，18．(1)(2)立方米【分析】本題考查了有理數的混合運算，一元一次方程的應用，找到相等關系是解題的關鍵．（1）根據題中的收費標準計算；（2）根據“小華家年水費為元”列方程求解．【詳解】（1）解：（元），故答案為：1040；（2）解：設小華家年用水量為x立方米，∵，∴，則：，解得：，答：小華家年用水量為302立方米．19．(1)(2)(3)①，②【分析】本題考查一元一次方程的實際應用，數字規律等．（1）根據題意可知規律為，繼而得到本題答案；（2）根據題意得：右端掛小物體數支點與右端掛小物體處的距離左端掛小物體數支點與左端掛小物體處的距離，繼而得到；（3）①兩個容器中水的體積相同，即得，繼而得到；②設1號容器倒入2號容器中的水的體積為，列式，計算即可得到本題答案．【詳解】（1）解：∵，，，……∴，故答案為：；（2）解：根據題意得：右端掛小物體數支點與右端掛小物體處的距離左端掛小物體數支點與左端掛小物體處的距離，∵支點在靠近木桿右端的三等分點處，∴支點與右端掛小物體處的距離為，∴，即：，故答案為：；（3）解：①∵兩個容器中水的體積相同，∴，∵，∴故答案為：；②設1號容器倒入2號容器中的水的體積為，∴，∵，∴，∴，整理得：，∴，即：，∴1號倒入2號中的水的體積為．20．(1)①，；②11或17(2)①，②【分析】本題考查數軸上動點問題，代數式表示式，一元一次方程的實際運用，解題的關鍵在于熟練掌握相關知識．（1）①結合題意利用代數式表示即可；②根據P，Q兩點相距3個單位長度，分情況建立等式求解，即可解題；（2）①根據題意表示出點P與點Q表示的數，結合當點P，M，Q重合時，運動停止，建立方程求解，即可解題；②根據路程時間速度求解，即可解題．【詳解】（1）解：①因為數軸上有兩個點A，B，它們表示的數分別是，8．所以運動t秒后，點P表示的數為，點Q表示的數為，故答案為：，．②因為P，Q兩點相距3個單位長度，所以或，解得或；（2）解：①因為當點P，M，Q重合時，運動停止．且點P表示的數為，點Q表示的數為，所以，解得；②因為點M的速度是每秒5個單位長度，所以在整個過程中，點M運動的路程為個單位長度．故答案為：．21．共有人，輛車【分析】本題考查了一元一次方程的應用，找出等量關系，列出方程是解答本題的關鍵．設共有人，根據車的輛數不變列出方程解答即可．【詳解】解：設共有人，由題意，得，解得，所以，答：共有人，輛車．22．小健步行的平均速度為80米/分，平均步長為米【分析】本題考查了一元一次方程的應用．直接利用小樂騎行的平均速度是小健步行的平均速度的3倍，進而得出等式求出答案．【詳解】解：設小健步行的平均速度為x米/分．根據題意得，解得，小健一共步行（步），其平均步長為（米）．答：小健步行的平均速度為80米/分，平均步長為米．23．(1)是，不是；(2)的值為；(3)、、、、；、、、、；、、、、；、、、、；、、、、．【分析】本題考查了新定義下的數字規律，絕對值的意義，有理數的加減法，一元一次方程的應用等知識，掌握相關知識是解題的關鍵．（1）根據“好數組”的定義判斷即可；（2）根據“好數組”的定義和一元一次方程求解即可；（3）根據“好數組”的定義，由五個正有理數組成的“好數組”，能且僅能表示成，，，，(是正有理數)，即可求解．【詳解】（1）解：在2，3，5中，對于2，3，2+3=5，5在這組數中，對于2，5，，3在這組數中，對于3，5，，2在這組數中，∴2，3，5這組有理數是“好數組”，在1，2，3，5中，對于1，5，，，6和4都不在這組數中，∴1，2，3，5不是“好數組”，故答案為：是，不是；（2）解：在2，4，8，中，∵，，2和4已經在這組數中，因此，只需分析、，、以及，，①或或或或或，解得：(舍去)或4(舍去)或2(舍去)或6或(舍去)或(舍去)或10或1，②或或或或或，解得：(舍去)或(舍去)或2(舍去)或6或0(舍去)或8(舍去)或(舍去)或12或2(舍去)；③或或或或或，解得：(舍去)或(舍去)或6或10或4(舍去)或12或0(舍去)或16或4(舍去)，綜上，的值可能為1或6或10或12或16，經檢驗，當時，對于1，4，和均不在這個數組中，與已知矛盾；當時，對于4，10，和均不在這個數組中，與已知矛盾；當時，對于2，12，和均不在這個數組中，與已知矛盾；當時，對于4，16，或均不在這個數組中，與已知矛盾，當時，任意兩個數的和或差的絕對值都在，4，6，8這個數組中，∴2，4，6，8是“好數組”，∴的值為；（3）解：由（2）的解析過程，大膽猜想：由五個正有理數組成的“好數組”，能且僅能表示成，，，，(是正有理數)，如果，這五個正有理數組成的“好數組”為：、、、、；如果，這五個正有理數組成的“好數組”為、、、、；如果，這五個正有理數組成的“好數組”為、、、、；如果，這五個正有理數組成的“好數組”為、、、、；如果，這五個正有理數組成的“好數組”為、、、、．24．(1)F，N(2)6(3)或【分析】此題考查了一元一次方程的應用、數軸上兩點之間的距離．（1）根據數軸上兩點距離計算公式分別求出點和點Q到，，，，5個點的距離，再根據“倍長點”的定義判斷即可；（2）先求出，，再分當A是B、T的“倍長點”時，當B是A、T的“倍長點”時，當T是A、B的“倍長點”時，三種情況根據“倍長點”的定義建立方程求解即可；（3）由（3）即可得到滿足條件的整數的值．【詳解】（1）解：由題意得，，，，∴，∴F，N是點P，Q的