人教版(新教材)高中物理選擇性必修第三冊PAGEPAGE1第4節氫原子光譜和玻爾的原子模型〖學習目標要求〗1.了解光譜、連續譜和線狀譜等概念。2.知道氫原子光譜的實驗規律。3.知道經典物理學的困難在于無法解釋原子的穩定性和光譜分立特性。4.知道玻爾原子理論的基本假設的主要內容。5.了解能級、躍遷、能量量子化以及基態、激發態等概念。6.能用玻爾原子理論簡單解釋氫原子模型。7.了解玻爾模型的不足之處及其原因。一、光譜1.定義：用棱鏡或光柵可以把物質發出的光按波長(頻率)展開，獲得光的波長(頻率)和強度分布的記錄，即光譜。2.分類(1)線狀譜：光譜是一條條的亮線。(2)連續譜：光譜是連在一起的光帶。3.特征譜線：氣體中中性原子的發光光譜都是線狀譜，說明原子只發出幾種特定頻率的光，不同原子的亮線位置不同，說明不同原子的發光頻率不一樣，光譜中的亮線稱為原子的特征譜線。4.應用：利用原子的特征譜線，可以鑒別物質和確定物質的組成成分，這種方法稱為光譜分析，它的優點是靈敏度高，樣本中一種元素的含量達到10－13kg時就可以被檢測到?！寂幸慌小?1)氣體中中性原子的發光光譜都是線狀譜，并且只能發出幾個特定的頻率。(√)(2)可以利用光譜分析來鑒別物質和確定物質的組成成分。(√)(3)太陽光譜是連續譜，氫光譜是線狀譜。(×)二、氫原子光譜的實驗規律1.氫原子光譜的特點：光譜的結果顯示氫原子只能發出一系列特定波長的光。2.巴耳末公式：eq\f(1,λ)＝R∞eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,22)－\f(1,n2)))(n＝3，4，5…)式中R∞叫作里德伯常量，實驗測得的值為R∞＝1.10×107m－1。3.巴耳末公式的意義：以簡潔的形式反映了氫原子的線狀光譜，即輻射波長的分立特征。三、玻爾原子理論的基本假設1.軌道量子化(1)原子中的電子在庫侖引力的作用下，繞原子核做圓周運動。(2)電子運行軌道的半徑不是任意的，也就是說電子的軌道是B(A.連續變化B.量子化)的。(3)電子在這些軌道上繞核的轉動是穩定的，不產生電磁輻射。2.定態(1)當電子在不同的軌道上運動時，原子處于不同的狀態，具有不同的能量，即原子的能量是量子化的，這些量子化的能量值叫作能級。(2)原子中這些具有確定能量的穩定狀態，稱為定態。能量最低的狀態叫作基態，其他的狀態叫作激發態。3.躍遷：當電子從能量較高的定態軌道(其能量記為En)躍遷到能量較低的定態軌道(能量記為Em，m＜n)時，會放出能量為hν的光子(h是普朗克常量)，這個光子的能量由前后兩個能級的能量差決定，即hν＝En－Em，這個式子稱為頻率條件，又稱輻射條件。反之，當電子吸收光子時會從能量較低的定態軌道躍遷到能量較高的定態軌道，吸收的光子的能量同樣由頻率條件決定。四、玻爾理論對氫光譜的解釋1.解釋氫原子光譜的不連續性：原子從較高的能級向低能級躍遷時放出的光子的能量等于前后兩個能級之差，由于原子的能級是分立的，所以放出的光子的能量也是分立的。因此原子的發射光譜只有一些分立的亮線。2.解釋不同原子具有不同的特征譜線：由于不同的原子具有不同的結構，能級各不相同，因此輻射(或吸收)的光子頻率也不相同。探究1光譜和光譜分析1.光譜的分類2.太陽光譜(1)太陽光譜的特點：在連續譜的背景上出現一些不連續的暗線，是一種吸收光譜。(2)對太陽光譜的解釋：陽光中含有各種顏色的光，但當陽光透過太陽的高層大氣射向地球時，太陽高層大氣中含有的元素會吸收它自己特征譜線的光，然后再向四面八方發射出去，到達地球的這些譜線看起來就暗了，這就形成了明亮背景下的暗線。3.光譜分析(1)優點：靈敏度高，分析物質的最低量達10－13kg。(2)應用：a.發現新元素；b.鑒別物體的物質成分。(3)用于光譜分析的光譜：線狀光譜和吸收光譜?！祭?〗(多選)下列關于光譜的說法正確的是()A.連續光譜就是由連續發光的物體產生的光譜，線狀譜是線狀光源產生的光譜B.通過對連續譜的光譜分析，可鑒定物質成分C.連續光譜包括一切波長的光，線狀譜只包括某些特定波長的光D.通過對線狀譜的明線光譜分析或對吸收光譜的暗線分析，可鑒定物質成分〖答案〗CD〖解析〗連續譜是指光譜由連續分布的一切波長的光(一切單色光)組成的，而不是指光源是連續的。連續譜是由熾熱固體、液體及高壓氣體發光產生的，線狀譜是由一些不連續的亮線組成的，由稀薄氣體或金屬蒸氣所發出的光產生的，而不是指光源是線狀光源，選項A錯誤，C正確；光譜分析是根據不同原子都有自己的特征譜線來鑒別物質和確定物質的組成成分的方法，連續譜含有一切波長的光，不是原子的特征譜線，不能用來做光譜分析，而線狀譜和吸收光譜都是原子自身的特征譜線，所以可以用來做光譜分析，鑒定物質成分，其優點是靈敏度很高，在發現和鑒定元素上有著重大的意義，選項B錯誤，D正確。探究2玻爾原子理論的基本假設1.軌道量子化(1)軌道半徑只能夠是一些不連續的、某些分立的數值。(2)氫原子的電子最小軌道半徑為r1＝0.053nm，其余軌道半徑滿足rn＝n2r1，式中n稱為量子數，對應不同的軌道，只能取正整數。2.能量量子化(1)不同軌道對應不同的狀態，在這些狀態中，盡管電子做變速運動，卻不輻射能量，因此這些狀態是穩定的，原子在不同狀態有不同的能量，所以原子的能量也是量子化的。(2)基態：原子最低的能量狀態稱為基態，對應的電子在離核最近的軌道上運動，氫原子基態能量E1＝－13.6eV。(3)激發態：較高的能量狀態稱為激發態，對應的電子在離核較遠的軌道上運動。氫原子各能級的關系為：En＝eq\f(1,n2)E1(E1＝－13.6eV，n＝1，2，3，…)。3.躍遷原子從一種定態躍遷到另一種定態時，它輻射或吸收一定頻率的光子，光子的能量由這兩種定態的能量差決定，即高能級Eneq\o(,\s\up7(輻射光子hν＝En－Em),\s\do5(吸收光子hν＝En－Em))低能級Em(n＞m)?！祭?〗(2021·河北唐山市一模)氫原子吸收一個光子后，根據玻爾理論，下列判斷正確的是()A.電子繞核旋轉的軌道半徑增大B.電子的動能會增大C.氫原子的電勢能減小D.氫原子的能級減小〖答案〗A〖解析〗氫原子吸收一個光子后，由玻爾理論可知，由低能級躍遷到高能級，電子繞核旋轉的軌道半徑增大，電子的動能減小，氫原子的電勢能增大，氫原子的能級增大。故選項A正確?！坚槍τ柧?〗氫原子的核外電子從距核較近的軌道躍遷到距核較遠的軌道的過程中()A.原子要吸收光子，電子的動能增大，原子的電勢能增大B.原子要放出光子，電子的動能減小，原子的電勢能減小C.原子要吸收光子，電子的動能增大，原子的電勢能減小D.原子要吸收光子，電子的動能減小，原子的電勢能增大〖答案〗D〖解析〗根據玻爾的原子結構理論，氫原子核外電子在離核較遠的軌道上運動能量較大，必須吸收一定能量的光子后，電子才能從離核較近的軌道躍遷到離核較遠的軌道，故B錯誤；氫原子核外電子繞核做圓周運動，由原子核對電子的庫侖力提供向心力，即keq\f(e2,r2)＝meq\f(v2,r)，又Ek＝eq\f(1,2)mv2，所以Ek＝eq\f(ke2,2r)，可知電子離核越遠，即r越大時，電子的動能越小，故A、C錯誤；由r變大時，庫侖力對核外電子做負功，因此電勢能增大，故D正確。探究3能級和能級躍遷1.能級躍遷：處于激發態的原子是不穩定的，它會自發地向較低能級躍遷，經過一次或幾次躍遷到達基態。所以一群氫原子處于量子數為n的激發態時，可能輻射出的光譜線條數為N＝eq\f(n（n－1）,2)＝Ceq\o\al(2,n)。2.光子的發射：原子由高能級向低能級躍遷時以光子的形式放出能量，發射光子的頻率由下式決定。hν＝En－Em(En、Em是始末兩個能級的能量且m＜n)能級差越大，放出光子的頻率就越高。3.使原子能級躍遷的兩種粒子——光子與實物粒子(1)原子若是吸收光子的能量而被激發，其光子的能量必須等于兩能級的能量差，否則不被吸收；不存在激發到n能級時能量有余，而激發到n＋1能級時能量不足，還可激發到n能級的問題。(2)原子還可吸收外來實物粒子(例如自由電子)的能量而被激發，由于實物粒子的動能可部分地被原子吸收，所以只要入射粒子的能量大于兩能級的能量差值(E＝En－Em)，就可使原子發生能級躍遷。4.電離：原子失去電子的過程叫電離。要使原子電離，外界必須對原子做功，所提供的最小能量叫作電離能，處于不同能量狀態的氫原子的電離能為－eq\f(E1,n2)。當所提供的能量大于或等于電離能時，就能使原子電離?！祭?〗(2019·全國Ⅰ卷，14)氫原子能級示意圖如圖所示。光子能量在1.63eV～3.10eV的光為可見光。要使處于基態(n＝1)的氫原子被激發后可輻射出可見光光子，最少應給氫原子提供的能量為()A.12.09eVB.10.20eVC.1.89eVD.1.51eV〖答案〗A〖解析〗因為可見光光子的能量范圍是1.63eV～3.10eV，所以氫原子至少要被激發到n＝3能級，要給氫原子提供的能量最少為E＝(－1.51＋13.60)eV＝12.09eV，即選項A正確?！坚槍τ柧?〗(2021·江蘇木瀆中學月考)如圖所示是氫原子的能級圖，現有大量處于n＝4激發態的氫原子向低能級躍遷，所輻射的光子中，只有一種能使某金屬產生光電效應。以下判斷不正確的是()A.這些氫原子最多可輻射6種不同頻率的光子B.這些氫原子輻射出光子后核外電子的動能將減小C.若氫原子從激發態n＝5躍遷到基態，輻射出的光子一定能使該金屬產生光電效應D.若氫原子從激發態n＝4躍遷到n＝3，輻射出的光子一定不能使該金屬產生光電效應〖答案〗B〖解析〗根據Ceq\o\al(2,4)＝6知，這些氫原子可能輻射出6種不同頻率的光子，故A正確；氫原子放出光子后，從高能級躍遷到低能級，電子的軌道半徑減小，根據keq\f(e2,r2)＝meq\f(v2,r)得，電子動能Ek＝eq\f(1,2)mv2＝eq\f(1,2)keq\f(e2,r)，可知動能增大，故B錯誤；由題意可知，只有一種輻射的光子能使某金屬產生光電效應即為4→1，若氫原子從激發態n＝5躍遷到基態，輻射出的光子能量大于4→1的光子能量，氫原子從激發態n＝4躍遷到n＝3，輻射出的光子小于4→1的光子能量，由光電效應方程可知，若氫原子從激發態n＝5躍遷到基態，輻射出的光子一定能使該金屬產生光電效應，若氫原子從激發態n＝4躍遷到n＝3，輻射出的光子一定不能使該金屬產生光電效應，故C、D正確。1.(光譜和光譜分析)關于線狀譜，下列說法正確的是()A.每種原子處在不同溫度下發光的線狀譜不同B.每種原子處在不同的物質中的線狀譜不同C.每種原子在任何條件下發光的線狀譜都相同D.兩種不同的原子發光的線狀譜可能相同〖答案〗C〖解析〗每種原子都有自己的結構，只能發出由內部結構決定的自己的特征譜線，不會因溫度、所處物質不同而改變，選項C正確。2.(玻爾原子理論的基本假設)根據玻爾的原子結構模型，原子中電子繞核運轉的軌道半徑()A.可以取任意值B.可以在某一范圍內取任意值C.可以取不連續的任意值D.是一些不連續的特定值〖答案〗D〖解析〗按玻爾的原子理論：原子的能量狀態對應著電子不同的運動軌道，原子的能量狀態是不連續的，其核外電子的可能軌道是分立的，且是特定的，故只有選項D正確。3.(能級和能級躍遷)(多選)(2021·山東德州市高二期中)如圖所示為氫原子的能級分布圖，已知可見光光子的能量在1.61eV～3.10eV范圍內，由圖可知()A.基態氫原子吸收能量為10.3eV的光子能從n＝1能級躍遷到n＝2能級B.基態氫原子的電離能為13.6eVC.一群處于n＝5能級的氫原子向低能級躍遷時，可輻射6種不同頻率的光子D.氫原子從n＝3能級躍遷到n＝2能級，輻射的光子是可見光〖答案〗BD〖解析〗根據玻爾理論可知，氫原子能級躍遷時，吸收的光子能量必須嚴格等于能級差，故A錯誤；基態氫原子電離時的電離能為13.6eV，故B正確；一群處于n＝5能級的氫原子向低能級躍遷時，可輻射Ceq\o\al(2,5)＝10，即有10種不同頻率的光子，故C錯誤；氫原子從n＝3能級躍遷到n＝2能級，輻射的光子的能量為E＝－1.51eV－(－3.4eV)＝1.89eV，能量在可見光范圍內，故D正確。第4節氫原子光譜和玻爾的原子模型〖學習目標要求〗1.了解光譜、連續譜和線狀譜等概念。2.知道氫原子光譜的實驗規律。3.知道經典物理學的困難在于無法解釋原子的穩定性和光譜分立特性。4.知道玻爾原子理論的基本假設的主要內容。5.了解能級、躍遷、能量量子化以及基態、激發態等概念。6.能用玻爾原子理論簡單解釋氫原子模型。7.了解玻爾模型的不足之處及其原因。一、光譜1.定義：用棱鏡或光柵可以把物質發出的光按波長(頻率)展開，獲得光的波長(頻率)和強度分布的記錄，即光譜。2.分類(1)線狀譜：光譜是一條條的亮線。(2)連續譜：光譜是連在一起的光帶。3.特征譜線：氣體中中性原子的發光光譜都是線狀譜，說明原子只發出幾種特定頻率的光，不同原子的亮線位置不同，說明不同原子的發光頻率不一樣，光譜中的亮線稱為原子的特征譜線。4.應用：利用原子的特征譜線，可以鑒別物質和確定物質的組成成分，這種方法稱為光譜分析，它的優點是靈敏度高，樣本中一種元素的含量達到10－13kg時就可以被檢測到。〖判一判〗(1)氣體中中性原子的發光光譜都是線狀譜，并且只能發出幾個特定的頻率。(√)(2)可以利用光譜分析來鑒別物質和確定物質的組成成分。(√)(3)太陽光譜是連續譜，氫光譜是線狀譜。(×)二、氫原子光譜的實驗規律1.氫原子光譜的特點：光譜的結果顯示氫原子只能發出一系列特定波長的光。2.巴耳末公式：eq\f(1,λ)＝R∞eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,22)－\f(1,n2)))(n＝3，4，5…)式中R∞叫作里德伯常量，實驗測得的值為R∞＝1.10×107m－1。3.巴耳末公式的意義：以簡潔的形式反映了氫原子的線狀光譜，即輻射波長的分立特征。三、玻爾原子理論的基本假設1.軌道量子化(1)原子中的電子在庫侖引力的作用下，繞原子核做圓周運動。(2)電子運行軌道的半徑不是任意的，也就是說電子的軌道是B(A.連續變化B.量子化)的。(3)電子在這些軌道上繞核的轉動是穩定的，不產生電磁輻射。2.定態(1)當電子在不同的軌道上運動時，原子處于不同的狀態，具有不同的能量，即原子的能量是量子化的，這些量子化的能量值叫作能級。(2)原子中這些具有確定能量的穩定狀態，稱為定態。能量最低的狀態叫作基態，其他的狀態叫作激發態。3.躍遷：當電子從能量較高的定態軌道(其能量記為En)躍遷到能量較低的定態軌道(能量記為Em，m＜n)時，會放出能量為hν的光子(h是普朗克常量)，這個光子的能量由前后兩個能級的能量差決定，即hν＝En－Em，這個式子稱為頻率條件，又稱輻射條件。反之，當電子吸收光子時會從能量較低的定態軌道躍遷到能量較高的定態軌道，吸收的光子的能量同樣由頻率條件決定。四、玻爾理論對氫光譜的解釋1.解釋氫原子光譜的不連續性：原子從較高的能級向低能級躍遷時放出的光子的能量等于前后兩個能級之差，由于原子的能級是分立的，所以放出的光子的能量也是分立的。因此原子的發射光譜只有一些分立的亮線。2.解釋不同原子具有不同的特征譜線：由于不同的原子具有不同的結構，能級各不相同，因此輻射(或吸收)的光子頻率也不相同。探究1光譜和光譜分析1.光譜的分類2.太陽光譜(1)太陽光譜的特點：在連續譜的背景上出現一些不連續的暗線，是一種吸收光譜。(2)對太陽光譜的解釋：陽光中含有各種顏色的光，但當陽光透過太陽的高層大氣射向地球時，太陽高層大氣中含有的元素會吸收它自己特征譜線的光，然后再向四面八方發射出去，到達地球的這些譜線看起來就暗了，這就形成了明亮背景下的暗線。3.光譜分析(1)優點：靈敏度高，分析物質的最低量達10－13kg。(2)應用：a.發現新元素；b.鑒別物體的物質成分。(3)用于光譜分析的光譜：線狀光譜和吸收光譜?！祭?〗(多選)下列關于光譜的說法正確的是()A.連續光譜就是由連續發光的物體產生的光譜，線狀譜是線狀光源產生的光譜B.通過對連續譜的光譜分析，可鑒定物質成分C.連續光譜包括一切波長的光，線狀譜只包括某些特定波長的光D.通過對線狀譜的明線光譜分析或對吸收光譜的暗線分析，可鑒定物質成分〖答案〗CD〖解析〗連續譜是指光譜由連續分布的一切波長的光(一切單色光)組成的，而不是指光源是連續的。連續譜是由熾熱固體、液體及高壓氣體發光產生的，線狀譜是由一些不連續的亮線組成的，由稀薄氣體或金屬蒸氣所發出的光產生的，而不是指光源是線狀光源，選項A錯誤，C正確；光譜分析是根據不同原子都有自己的特征譜線來鑒別物質和確定物質的組成成分的方法，連續譜含有一切波長的光，不是原子的特征譜線，不能用來做光譜分析，而線狀譜和吸收光譜都是原子自身的特征譜線，所以可以用來做光譜分析，鑒定物質成分，其優點是靈敏度很高，在發現和鑒定元素上有著重大的意義，選項B錯誤，D正確。探究2玻爾原子理論的基本假設1.軌道量子化(1)軌道半徑只能夠是一些不連續的、某些分立的數值。(2)氫原子的電子最小軌道半徑為r1＝0.053nm，其余軌道半徑滿足rn＝n2r1，式中n稱為量子數，對應不同的軌道，只能取正整數。2.能量量子化(1)不同軌道對應不同的狀態，在這些狀態中，盡管電子做變速運動，卻不輻射能量，因此這些狀態是穩定的，原子在不同狀態有不同的能量，所以原子的能量也是量子化的。(2)基態：原子最低的能量狀態稱為基態，對應的電子在離核最近的軌道上運動，氫原子基態能量E1＝－13.6eV。(3)激發態：較高的能量狀態稱為激發態，對應的電子在離核較遠的軌道上運動。氫原子各能級的關系為：En＝eq\f(1,n2)E1(E1＝－13.6eV，n＝1，2，3，…)。3.躍遷原子從一種定態躍遷到另一種定態時，它輻射或吸收一定頻率的光子，光子的能量由這兩種定態的能量差決定，即高能級Eneq\o(,\s\up7(輻射光子hν＝En－Em),\s\do5(吸收光子hν＝En－Em))低能級Em(n＞m)?！祭?〗(2021·河北唐山市一模)氫原子吸收一個光子后，根據玻爾理論，下列判斷正確的是()A.電子繞核旋轉的軌道半徑增大B.電子的動能會增大C.氫原子的電勢能減小D.氫原子的能級減小〖答案〗A〖解析〗氫原子吸收一個光子后，由玻爾理論可知，由低能級躍遷到高能級，電子繞核旋轉的軌道半徑增大，電子的動能減小，氫原子的電勢能增大，氫原子的能級增大。故選項A正確?！坚槍τ柧?〗氫原子的核外電子從距核較近的軌道躍遷到距核較遠的軌道的過程中()A.原子要吸收光子，電子的動能增大，原子的電勢能增大B.原子要放出光子，電子的動能減小，原子的電勢能減小C.原子要吸收光子，電子的動能增大，原子的電勢能減小D.原子要吸收光子，電子的動能減小，原子的電勢能增大〖答案〗D〖解析〗根據玻爾的原子結構理論，氫原子核外電子在離核較遠的軌道上運動能量較大，必須吸收一定能量的光子后，電子才能從離核較近的軌道躍遷到離核較遠的軌道，故B錯誤；氫原子核外電子繞核做圓周運動，由原子核對電子的庫侖力提供向心力，即keq\f(e2,r2)＝meq\f(v2,r)，又Ek＝eq\f(1,2)mv2，所以Ek＝eq\f(ke2,2r)，可知電子離核越遠，即r越大時，電子的動能越小，故A、C錯誤；由r變大時，庫侖力對核外電子做負功，因此電勢能增大，故D正確。探究3能級和能級躍遷1.能級躍遷：處于激發態的原子是不穩定的，它會自發地向較低能級躍遷，經過一次或幾次躍遷到達基態。所以一群氫原子處于量子數為n的激發態時，可能輻射出的光譜線條數為N＝eq\f(n（n－1）,2)＝Ceq\o\al(2,n)。2.光子的發射：原子由高能級向低能級躍遷時以光子的形式放出能量，發射光子的頻率由下式決定。hν＝En－Em(En、Em是始末兩個能級的能量且m＜n)能級差越大，放出光子的頻率就越高。3.使原子能級躍遷的兩種粒子——光子與實物粒子(1)原子若是吸收光子的能量而被激發，其光子的能量必須等于兩能級的能量差，否則不被吸收；不存在激發到n能級時能量有余，而激發到n＋1能級時能量不足，還可激發到n能級的問題。(2)原子還可吸收外來實物粒子(例如自由電子)的能量而被激發，由于實物粒子的動能可部分地被原子吸收，所以只要入射粒子的能量大于兩能級的能量差值(E＝En－Em)，就可使原子發生能級躍遷。4.電離：原子失去電子的過程叫電離。要使原子電離，外界必須對原子做功，所提供的最小能量叫作電離能，處于不同能量狀態的氫原子的電離能為－eq\f(E1,n2)。當所提供的能量大于或等于電離能時，就能使原子電離?！祭?〗(2019·全國Ⅰ卷，14)氫原子能級示意圖如圖所示。光子能量在1.63eV～3.10eV的光為可見光。要使處于基態(n＝1)的氫原子被激發后可輻射出可見光光子，最少應給氫原子提供的能量為()A.12.09eVB.10.20eVC.1.89eVD.1.51eV〖答案〗A〖解析〗因為可見光光子的能量范圍是1.63eV～3.10eV，所以氫原子至少要被激發到n＝3能級，要給氫原子提供的能量最少為E＝(－1.51＋13.60)eV＝12.09eV，即選項A正確?！坚槍τ柧?〗(2021·江蘇木瀆中學月考)如圖所示是氫原子的能級圖，現有大量處于n＝4激發態的氫原子向低能級躍遷，所輻射的光子中，只有一種能使某金屬產生光電效應。以下判斷不正確的是()A.這些氫原子最多可輻射6種不同頻率的光子B.這些氫原子輻射出光子后核外電子的動能將減小C.若氫原子從激發態n＝5躍遷到基態，輻射出的光子一定能使該金屬產生光電效應D.若氫原子從激發態n＝4躍遷到n＝3，輻射出的光子一定不能使該金屬產生光電效應〖答案〗B〖解析〗根據Ceq\o\al(2,4)＝6知，這些氫原子可能輻射出6種不同頻率的光子，故A正確；氫原子放出光子后，從高能級躍遷到低能級，電子的軌道半徑減小，根據keq\f(