第一章空間向量與立體幾何10空間角一、問題導學1：你能用直線的方向向量表示空間兩條異面直線所成角嗎？2：你能用直線的方向向量、平面的法向量表示直線與平面所成角嗎？3：如何兩個平面所成角呢？知識構建：空間角及向量求法1.用向量運算求兩條直線所成的角設兩異面直線所成的角為θ，兩直線的方向向量分別為，則注意：①范圍為；②兩異面直線所成的角與其方向向量的夾角是相等或互補的關系．2.用向量運算求直線與平面所成的角設直線l與平面所成的角為θ，l的方向向量為，平面α的法向量為，則注意：①范圍為；②直線與平面所成的角等于其方向向量與平面法向量所成銳角的余角．3.用向量運算求平面與平面的夾角平面與平面相交，形成四個二面角，把不大于的二面角稱為這兩個平面的夾角．設平面α與平面β的夾角為θ，兩平面的法向量分別為，則注意：①范圍為；②兩平面的夾角是兩法向量的夾角或其補角．三、類型歸納類型一：空間中線線角的求法類型二：空間中線面角的求法類型三：空間中面面角的求法類型四：空間角的綜合類型五：存在性問題四、類型應用【例1】（2425高二上·上海·課堂例題）如圖，在棱長為2的正方體中，分別是的中點，G在棱CD上，且，H是的中點．建立適當的空間直角坐標系，解決下列問題：(1)求證：；(2)求異面直線EF與所成角的余弦值.【跟蹤訓練11】（2223高二上·北京豐臺·期末）在正四棱柱中，，是棱上的中點．

(1)求證：；(2)異面直線與所成角的余弦值．【跟蹤訓練12】如圖，在底面為正方形，側棱垂直于底面的四棱柱中，，則異面直線與所成角的余弦值為（

）

A． B． C． D．【跟蹤訓練13】（2425高二下·浙江·階段練習）已知直線的方向向量與直線的方向向量，則和夾角的余弦值為.【跟蹤訓練14】（2425高二上·安徽六安·期末）在正方體中，是的中點，是的中點，則異面直線與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．【例2】（2425高二上·廣東陽江·階段練習）如圖，在三棱錐中，平面，，分別是棱，，的中點，，．(1)求直線與平面所成角的正弦值；(2)求點到平面的距離．【跟蹤訓練21】（2223高二上·黑龍江哈爾濱·期末）如圖，在長方體中，，，則與平面所成的角的正弦值為．【跟蹤訓練22】（2324高二上·全國·課后作業）如圖，在棱長為1的正方體中，點M為棱的中點，則直線與平面所成角的正弦值是.【跟蹤訓練23】（2324高二上·河北保定·期中）若直線的一個方向向量是，平面的一個法向量是，則直線與平面所成的角為（

）A． B． C． D．【跟蹤訓練24】（2223高一下·湖南·期末）在正方體中，E為的中點，則直線與平面所成的角的正弦值為（

）A． B． C． D．

【例3】如圖，在直三棱柱中，，，，P為的中點，點Q，R分別在棱，上，，．求平面與平面夾角的余弦值．【跟蹤訓練31】（2425高二上·陜西西安·階段練習）若平面的一個法向量為，平面的一個法向量為，則與的夾角為．【跟蹤訓練32】如圖，在正方體ABEF-DCE′F′中，M，N分別為AC，BF的中點，則平面MNA與平面MNB的夾角的余弦值為（

）A．－ B． C． D．【跟蹤訓練33】（2425高二上·內蒙古·期末）如圖，在幾何體中，四邊形為正方形，平面，，，，.(1)證明：.(2)求平面與平面夾角的余弦值.素養提升1.（2425高二下·福建漳州·階段練習）在如圖所示的幾何體中，四邊形是正方形，四邊形是梯形，，平面，且.(1)求證：平面；(2)與平面所成角的正弦值.2.（2122高二上·福建福州·階段練習）如圖，且，，且，且，平面，．(1)求平面與平面的夾角；(2)求直線到平面的距離．3.直三棱柱中，，，為的中點，為的中點，為的中點．(1)求證：平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值；(3)求平面與平面夾角的余弦值．4如圖，在四棱柱中，側棱平面ABCD，，，，，E為棱的中點，M為棱CE的中點．(1)證明：；(2)求異面直線BM與AD所成角的余弦值；(3)求點到平面的距離．5.（2425高三下·河北·開學考試）如圖，在四棱錐中，底面ABCD是直角梯形，側棱底面ABCD，，，，，點M是棱SC的中點．(1)求證：平面；(2)求直線SA與平面所成角的正弦值；(3)求平面與平面夾角的大小．6.（2425高二上·北京·階段練習）如圖，在四棱錐中，平面，且.(1)求證：平面；(2)求平面與平面夾角的余弦值；(3)在棱上是否存在點（與不重合），使得與平面所成角的正弦值為？若存在，求的值，若不存在，說明理由.隨堂檢測1．如圖，在空間直角坐標系中有直三棱柱，，則直線與直線夾角的正弦值為（

）A． B． C． D．2．已知直線的一個方向向量為，直線的一個方向向量為，若直線、所成的角等于，則（

）A． B． C． D．3．若直線l的一個方向向量為，平面的一個法向量為，則直線l與平面所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．4．在正四棱柱中，側棱，直線與平面所成角的余弦值為，則該正四棱柱的體積等于（

）A． B． C． D．5．在長方體中，，，點為長方體的底面的中心，點為棱的中點，則平面與平面夾角的余弦值為.

6.在正方體中，點E，F分別為棱，的中點．求：(1)異面直線與EF所