第第頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁2025年中考數學總復習《與圓的切線有關的計算》專項測試卷（附答案）學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________1．如圖1，在中，，以為直徑作交于點，且．(1)求證：是的切線；(2)如圖2，在上取一點，連接，，．若，．①求的長；②求的面積．2．如圖，是的直徑，點C在上，的平分線交于點D，過點D作的平行線交的延長線于點E．(1)求證：是的切線；(2)若，，求圖中陰影部分的面積．3．如圖，為的切線，為切點，過作，垂足為，交于點，延長與的延長線交于點．(1)求證：為的切線；(2)若，，求的長．4．如圖，在中，，，的垂直平分線交于點，以為圓心，為半徑作．(1)求證：是的切線；(2)若的半徑為4，求圖中陰影部分的面積（結果保留根號和）．5．如圖，是的直徑，點是劣弧上一點，，且，平分，與交于點．(1)求證：是的切線；(2)若，求的長；(3)延長，交于點，若，求的半徑．6．如圖，為外接圓的直徑，點是外一點，，延長交延長線于點．(1)求證：為的切線；(2)若，，求圖中陰影部分的面積．7．如圖，是的直徑，，．連接交于D．(1)求證：是的切線；(2)若，求的長．8．菱形的頂點B，C，D在上，O在線段上.(1)如圖1，若是的切線，求的大小；(2)如圖2，若，，與交于點E，求的長.9．如圖，是的直徑，弦與相交，

圖①

圖②(1)如圖①，若,求和的度數；(2)如圖②，過點D作的切線，與的延長線交于點P,若,求的度數．10．如圖，的半徑為6，將該圓周12等分后得到表盤模型，其中整鐘點為（n為1~12的整數），過點作的切線交弦延長線于點P．(1)通過計算比較直徑和劣弧哪個更長；(2)求切線長的值．11．如圖，的半徑為，將該圓周等分后得到表盤模型，其中整鐘點為（n為1～的整數），過點作的切線交延長線于點P．(1)通過計算比較直徑和劣弧長度哪個更長；(2)連接，則和有什么特殊位置關系？請簡要說明理由；(3)求切線長的值．12．如圖，已知是的直徑，為的內接三角形，為延長線上一點，連接于點，交于點．(1)求證：是的切線．(2)若，求的長．13．如圖，是的外接圓，是直徑，，，D是弦下方弧上的點（與B、C均不重合）．連接并延長交過A點的直線于E點，連接，使．(1)請直接寫出的正切函數值，即______；(2)求證：是的切線；(3)設與交于點F，點F在上（與O、C均不重合），過F點作，垂足為G，．與的大小相關的三個結論：，，，你認為哪個正確？請說明理由．14．已知是的直徑，為的中點，連接．(1)如圖①，若，求和的大小；(2)如圖②，過點作的切線，交的延長線于點，弦與交于點，若，求的直徑．15．在中，為的弦，連接，，(1)如圖1，若半徑于點D，，求弦的長；(2)如圖2，為的切線，點P為切點，且，過點P作于點F，與半徑相交于點E．若的半徑是3，求的長．參考答案1．(1)見解析(2)①；②【分析】本題考查了圓的幾何性質、切線的判定定理、勾股定理和三角形面積計算公式，熟練掌握是解題的關鍵．（1）即證明，方法一：連接，則，得為的垂直平分線，，根據等腰三角形性質可得，，即．方法二：連接，則，，再證明為的中位線，得，即可得證．（2）①先求出的長，因為為直徑，所以是直角三角形，根據勾股定理即可求出的長；②過點作與點，根據圓周角性質得，易得，再根據勾股定理求出，得、的長，即可求出的面積．【詳解】（1）解：方法一：連接，是的直徑，．，為的垂直平分線．，，，即．又為的半徑，是的切線．方法二：連接．，．．又，，為的中位線．，，即．又為的半徑，是的切線．（2）解：①方法一：在中，，，則，是的直徑，．在中，，，．方法二：在中，，，，，是的直徑，．在中，，，．②過點作與點．，又，，，在和中，，．．的面積為：．的面積為3．2．(1)見解析(2)【分析】（1）如圖，連接，，，首先由直徑得到，然后證明出，得到，然后推出，即可證明是的切線；（2）如圖所示，過點A作垂線，首先證明出四邊形為正方形，設圓半徑為R，利用勾股定理求出，得到，然后利用陰影面積代數求解即可．【詳解】（1）解：如圖，連接，，∵是的直徑，∴平分∴為等腰直角三角形∴為的切線；（2）解：如圖所示，過點A作垂線∵∴四邊形為矩形又∴矩形為正方形設圓半徑為R，，∴∴解得：，負值舍去∴∴陰影面積．【點睛】本題考查了切線的判定，圓周角定理，正方形性質與判定，勾股定理，扇形面積公式等知識點，能綜合運用定理進行推理是解此題的關鍵．3．(1)見解析(2)【分析】本題考查了勾股定理、垂徑定理、切線的判定與性質，熟練掌握是解題的關鍵．（1）連接，根據切線的性質得到，證明，根據全等三角形的性質得到，根據切線的判定定理證明結論；（2）根據切線的性質得，為直角三角形，根據勾股定理解方程可得的長．【詳解】（1）證明：連接，∵，，∴，∵是的切線，∴，在與中，，∴，∴，∴，∴是的切線；（2）∵、為的切線，∴，∵，，在中，，即，解得．∴．4．(1)見解析；(2)．【分析】（1）連接．由中垂線的性質得出，由等腰三角形的性質得出．求出，則可得出答案；（2）求出，，由扇形的面積公式可得出答案．【詳解】（1）證明：如圖所示，連接．是的垂直平分線，．點在上．，，．，．．即，是的切線．（2）解：，．，在中，，．【點睛】本題考查了切線的判定和性質，線段垂直平分線的性質，扇形的面積公式，解直角三角形，熟練掌握切線的判定與性質和相關公式是解題的關鍵．5．(1)見解析(2)(3)【分析】（1）證明，即，結合是的直徑，即可證明結論；（2）連接，，根據，易得，再由“直徑（半圓）所對的圓周角為直角”可得，，即和為直角三角形，由三角函數可得，然后求解即可；（3）過點作，交于，證明，易得，進而可得；設的半徑為，則，證明，結合相似三角形的性質可得，在和中，由勾股定理可得，代入數值并求得的值，即可獲得答案．【詳解】（1）證明：∵是的直徑，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，即，∴，又∵是的直徑，∴是的切線；（2）如圖，連接，，∵平分，∴，∴∵是的直徑，∴，，即，∵∴，∴，∴，∴；（3）如圖，過點作，交于，∵，∴，∵平分，∴，∴，∴，∴，∵，∴，設的半徑為，則，∵，∴，，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴，在中，，在中，，即，整理可得解得或（舍去），∴的半徑為．【點睛】本題主要考查了切線的判定、圓周角、平行線的判定與性質、相似三角形的判定與性質、平行線分線段定理、三角函數、勾股定理等知識，正確作出輔助線，綜合運用相關知識是解題關鍵．6．(1)見解析(2)【分析】（1）連接，利用圓周角定理，直角三角形的性質，等腰三角形的性質，證明．（2）根據切線性質，計算，得到等邊三角形，根據特殊角的三角函數值，求得．根據計算即可；本題考查了切線的證明，三角函數，圓周角定理，熟練掌握切線的證明，三角函數，圓周角定理是解題的關鍵．【詳解】（1）連接，∵，∴．∵為外接圓的直徑，∴．∴．∵．∴．∴．∴．∴是的切線．（2）連接，∵是的切線，∴，∵，∴，∵，，∴是等邊三角形，∴，∵，解得，∵，∴．7．(1)見解析；(2)．【分析】本題考查了切線的判定、等腰三角形的性質、勾股定理；解題關鍵是熟練掌握切線的判定方法．（1）先由求出，再根據三角形內角和求出，即可得出結論；（2）先求出半徑，再根據勾股定理即可求出，得出．【詳解】（1）證明：∵，∴，∴，即，∴是的切線；（2）解：由（1）可知，，∵是的直徑，∴，∴，∴．8．(1)(2)【分析】（1）連接，則可得；由菱形的性質及等腰三角形的性質得，由此可求得，進而求得結果；（2）連接，過點B作于F，過點O作于N；由菱形的性質及勾股定理可求得的長；設圓的半徑的r，則在中由勾股定理可求得r的值；由面積相等則可求得，再由勾股定理及等腰三角形的性質即可求得．【詳解】（1）解：如圖，連接，∵是的切線，∴，即；∵四邊形是菱形，∴；∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴；（2）解：如圖，連接，過點B作于F，過點O作于N；∵四邊形是菱形，，∴，由勾股定理得；設圓的半徑的r，則，在中，由勾股定理得：，解得：，∴；∵，∴；在中，由勾股定理得：，∵，∴．【點睛】本題考查了圓的切線性質，菱形的性質，勾股定理及等腰三角形的性質，綜合運用這些性質與定理是解題的關鍵．9．(1)，(2)【分析】（1）根據是的直徑，得到，結合，可求；結合,可求．（2）連接，則，根據得，繼而得到，根據得到，繼而得到求得，根據等腰三角形的性質計算即可．【詳解】（1）∵是的直徑，∴，∵，∴；∵，∴．（2）連接，∵是的切線，∴，∵，∴，∴，∵∴，∴，∴，∵∴．【點睛】本題考查了直徑所對的圓周角是直角，圓周角定理，切線的性質定理，平行線的性質，直角三角形的兩個銳角互余，等腰三角形的性質，三角形外角性質，熟練掌握圓周角定理，切線性質定理是解題的關鍵．10．(1)比直徑長(2)【分析】（1）利用弧長公式求解即可．（2）解直角三角形求出即可．【詳解】（1）解：連接，由題意，，的長，比直徑長．（2）解：連接，是的切線，，，，，．【點睛】本題考查正多邊形與圓，切線的性質，圓周角定理，弧長公式，解直角三角形等知識，解題的關鍵是熟練掌握正多邊形與圓的關系，屬于中考常考題型．11．(1)比直徑長；(2)，見解析；(3)．【分析】（1）分別求出劣弧和直徑的長，比較大小；（2）連接，，求出，即可得出垂直的位置關系；（3）根據圓周角定理求得，又是的切線，利用三角函數求解即可．【詳解】（1）由題意，，∴的長＝，∴比直徑長．（2）結論：．理由：如圖連接，由題意可知是的直徑，∴，∴．（3）∵是的切線，∴，∴，∵，，∴．【點睛】此題考查了切線的性質、弧長公式、圓周角定理以及勾股定理等知識，解題的關鍵是靈活運用相關性質進行求解．12．(1)詳見解析(2)2【分析】本題考查了切線的證明和解直角三角形，解題關鍵是熟練運用切線的判定定理進行證明，利用圓的性質得出等邊三角形，運用三角函數求解；（1）連接，根據和證明即可；（2）根據得出，得出是等邊三角形，再根據三角函數求解即可．【詳解】（1）證明：如圖，連接，，，，，∴是的半徑，是的切線；．（2）解：在中，，，是等邊三角形，，是直徑，，在中，．13．(1)(2)見解析(3)，理由見解析【分析】（1）利用直徑所對圓周角是直角得到，再根據正切函數定義，代入、計算得出結果．（2）先由得出，結合證明，得到，再通過圓的性質及等量代換推出，即，從而證明結論．（3）過點作，先利用平行線性質得出，結合三角函數值求出長度，再通過相似三角形得出長度，進而得到，證明，得出，根據等腰直角三角形的性質證明．【詳解】（1）解：∵是的直徑，∴，在中，，，，∴．（2）證明：如圖，連接，，．，，．，，，．是⊙的直徑，，，，即，．是的半徑，是的切線．（3），理由如下：

如圖，過點作，垂足為，與交于點，，，．，，，，，，，，，，，，，是等腰直角三角形，．【點睛】本題考查了圓的相關性質、相似三角形的判定與性質、切線的判定以及三角函數的應用，解題關鍵是熟練運用上述知識，通過邊與角的關系進行推理和計算．14．(1)，(2)【分析】（）由圓周角定理得，即得，進而根據等腰三角形的性質得，即可得，最后根據即可求解；（）由切線的性質得，進而得，即得，由三角函數可得，即得，即可求解．【詳解】（1）解：∵是的直徑，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∵是的直徑，∴，∴；（2）解：∵切于點，∴，即，又∵，，∴，∵，∴，∴，由（）知，∵，∴，∵，∴，即的直徑為．【點睛】本題考查了圓周角定理，等腰三角形的性質，切線的性質，解直角三角形，直角三角形的性質等，掌握以上知識點是解題的關鍵．15．(1)(2)【分析】（1）根據垂徑定理可得，