2025長沙中考第一次模擬考試數學試卷（考試時間：120分鐘試卷滿分：120分）注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答第Ⅰ卷時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。寫在本試卷上無效。3．回答第Ⅱ卷時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。4．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。第Ⅰ卷一、選擇題（本大題共10個小題，每小題3分，共30分．在每個小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求，請選出并在答題卡上將該項涂黑）1．下列數中是無理數的是（）A．π2 B．0 C．227 D2．對稱美是我國古人和諧平衡思想的體現，常被運用于建筑、器物、繪畫、標志等作品的設計上，使對稱之美驚艷了千年的時光．下列常見的運動圖標是軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．3．湖南自古就有“湖廣熟、天下足”的美譽，2024年全省糧食播種面積穩定在71000000畝以上，實現播種面積、單產、總產“三增”。該數據用科學記數法可以表示為（）A．710×103 B．71×106 C．4．下列運算結果正確的是（

）A．4xy-3xy=1 B．-C．(-5)2=-5 D5．為了解學生的視力情況，從甲、乙兩班各隨機抽取8名學生進行調查，并將統計數據繪制成如圖所示的折線統計圖，圖中視力值均在格線上，則下列說法錯誤的是（

）A．乙班視力值的眾數是4.7B．甲、乙兩班視力值的平均數相等C．甲、乙兩班視力值的中位數相等D．視力值的波動程度甲班大于乙班6．如圖，將一塊有30°角的直角三角板的直角頂點C放在一張寬為2cm的長方形紙帶邊上．另一個頂點A在紙帶的另一邊上，測得三角板的較短直角邊AC與紙帶邊所在的直線成45°角，則該三角板斜邊AB的長為（

）A．4cm B．42cm C．47．在平面直角坐標系中，已知點Mm,3m-8，若點M在兩坐標軸的角平分線上，則m的值為（

A．±2 B．±4 C．-2或-4 D．2或48．“雙碳”背景下，我國新能源汽車保有量已處于世界第一，隨著消費人群不斷增多，某款新能源汽車銷售量持續增長，如果第三個月銷售量的增長率是第二個月的2倍，第三個月的銷售量是第一個月的3倍，設第一月月銷售量為a輛，第二個月銷售量的增長率為x，則可列出方程是（

）A．a(1+x)2=3aC．a1+2x1+3x=3a9．對于某個一次函數，兩位同學探究了它的圖象和性質．上圖為兩位同學的對話，如果兩位同學的判斷都是正確的，設這個一次函數的解析式為y=kx+bk≠0，則下列結論中錯誤的是（

A．k>0 B．kb<0 C．k+b>0 D．k=-10．如圖，菱形ABCD∽菱形AEFG，菱形AEFG的頂點G在菱形ABCD的BC邊上運動，GF與AB相交于點H，∠E=60°，若CG=6，AH=14，則菱形ABCD的邊長為（）A．183 B．163 C．18 D第Ⅱ卷二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）11．因式分解4x12．已知一元二次方程x2-5x+a=0的一個根是313．在平面直角坐標系中，雙曲線y=kx同時經過點Aa,2，B14．如圖1是傳統的手工推磨工具，根據它的原理設計了如圖2的機械設備，磨盤半徑OQ=25cm，用長為125cm的連桿將點Q與動力裝置P相連（∠OQP大小可變），點P在軌道AB上滑動，并帶動磨盤繞點O轉動，OA⊥AB，OA=80cm．若磨盤轉動過程中，則點P15．如圖，在△ABC中，∠C=90°，按以下步驟作圖：①以點A為圓心，小于AC的長為半徑畫弧，分別交AB，AC于點E，F；②分別以點E，F為圓心，大于12EF的長為半徑畫弧，兩弧相交于點G；③作射線AG交BC邊于點D．若CD=5，AB=12，則16．如果一個正整數能表示為兩個正整數的平方差，那么稱這個正整數為“智慧數”，例如3=22-12，7=42-32，16=5三、解答題(本大題共9個小題，第17、18、19題每小題6分，第20、21題每小題8分第22、23題每小題9分，第24、25題每小題10分，共72分解答應寫出必要的文字說明證明過程或演算步驟)17．（6分）計算：-118．（6分）先化簡，再求值：x2-4x+4x+1÷3x+1-x+1，請從-2、-119．（6分）我國生產的無人機暢銷世界，樹立了良好的品牌形象，在一座高架橋的修建過程中，需要測量一條河的寬度MN，工作人員使用無人飛機通過設備在P處測得M，N兩處的俯角分別為α=60°和β=37°，測得無人機離水平地面的高度PQ為240米，若Q，M，N三點在同一條水平直線上，則這條河的寬度MN為多少米？（參考數據：tan37°≈0.75，3≈1.7320．（8分）如圖，△ABC中，AB的垂直平分線EF交BC于點E，交AB于點F，H為EC中點，(1)求證：AH⊥BC；(2)若∠B=36°，求∠BAC的度數．21．（8分）初三（1）班針對“垃圾分類”知曉情況對全班學生進行專題調查活動，對“垃圾分類”的知曉情況分為A、B、C、D四類．其中，A類表示“非常了解”，B類表示“比較了解”，C類表示“基本了解”，D類表示“不太了解”，每名學生可根據自己的情況任選其中一類，班長根據調查結果進行了統計，并繪制成了不完整的條形統計圖和扇形統計圖．根據以上信息解決下列問題：(1)初三（1）班參加這次調查的學生有人，扇形統計圖中類別C所對應扇形的圓心角度數為°；(2)求出類別B的學生數，并補全條形統計圖；(3)類別A的4名學生中有2名男生和2名女生，現從這4名學生中隨機選取2名學生參加學校“垃圾分類”知識競賽，請用列舉法（畫樹狀圖或列表）求所選取的2名學生中恰好有1名男生、1名女生的概率．22．（9分）2024年4月底，神舟十七號載人飛船返回艙順利返回東風著陸場，神舟十七號任務取得圓滿成功．某飛箭航模店看準商機，購進了“神舟”和“天宮”模型．已知每個“神舟”模型的進價比“天宮”模型多5元，同樣花費200元，購進“天宮”模型的數量比“神舟”模型多2個．(1)“神舟”和“天宮”模型的進價各是多少元？(2)該飛箭航模店計劃購進兩種模型共100個，且每個“神舟”模型的售價為35元，每個“天宮”模型的售價為28元．設購進“神舟”模型a個，銷售這批模型的利潤為w元．若購進“神舟”模型的數量不超過“天宮”模型數量的14，則購進“神舟”23．（9分）已知：如圖，在矩形ABCD中，E、F分別是邊CD、AD上的點，且AE⊥BF，AE=BF．(1)求證：矩形ABCD是正方形；(2)連接BE、EF，若DF2=AF?AD24．（10分）在△ABC中，BC為⊙O的直徑，AC為過C點的切線．(1)如圖①，以點B為圓心，BC為半徑作圓弧交AB于點M，連結CM，若∠ABC=66°，求∠ACM的大小；(2)如圖②，過點D作⊙O的切線DE交AC于點E，求證：AE=EC；(3)如圖③，在（1）（2）的條件下，若tanA=3425．（10分）若一次函數y=mx+n與反比例函數y=kx同時經過點P(x,y)則稱二次函數y=mx2+nx-k為一次函數與反比例函數的“(1)判斷y=2x-1與y=3x是否存在“共享函數”，如果存在，請求出“共享點(2)已知：整數m，n，t滿足條件t<n<8m，并且一次函數y=(1+n)x+2m+2與反比例函數y=2024x存在“共享函數”y=(m+t)x(3)若一次函數y=x+m和反比例函數y=m2+13x在自變量x的值滿足的m≤x≤m+6的情況下．其“共享函數”的最小值為3，求其參考答案第Ⅰ卷一、選擇題（本大題共10個小題，每小題3分，共30分．在每個小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求，請選出并在答題卡上將該項涂黑）12345678910AACBDBDDCC第Ⅱ卷二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）11．412．613．-214．60cm/60厘米15．3016．2701三、解答題(本大題共9個小題，第17、18、19題每小題6分，第20、21題每小題8分第22、23題每小題9分，第24、25題每小題10分，共72分解答應寫出必要的文字說明證明過程或演算步驟)17．【詳解】解：-=4+1-4×32+2=2．（6分）18．解：x＝x-2＝x-2＝x-2＝2-x2+x，（4∵x+1≠0，2+x2-x∴x≠-1，x≠±2，∴當x=0時，原式=2-0或當x=1時，原式=2-12+1=119．【詳解】解：∵PA∥∴∠PNQ=β=37°，∠PMQ=α=60°，（2分）在Rt△PMQ∵∠PQN=90°，∴tan∠PMQ=∴QM=PQtan∠PMQ=在Rt△PQN中，∵tan∴QN=PQ∴MN=QN-QM=320-138.4≈182（米）．答：這條河的寬度MN=182米．（6分）20．【詳解】（1）如圖，連接AE，∵AB的垂直平分線EF交BC于點E，∴AE=BE∵BE=AC∴AE=AC，∵H為EC中點，∴AH⊥BC；（4分）（2）∵AE=BE，∠B=36°∴∠EAB=∠B=36°∴∠AEC=∠EAB+∠B=72°∵AE=AC∴∠C=∠AEC=72°∴∠BAC=180°-∠C-∠B=72°．（8分）21．【詳解】（1）解：初三（1）班參加這次調查的學生有4÷10%＝40（人），扇形統計圖中類別C所對應扇形的圓心角度數為360°×1640＝144°故答案為：40、144；（2分）（2）B類學生人數為40﹣（4+16+2）＝18（人），補全條形圖如下：；（4分）（3）列表得：男1男2女1女2男1﹣﹣男2男1女1男1女2男1男2男1男2﹣﹣女1男2女2男2女1男1女1男2女1﹣﹣女2女1女2男1女2男2女2女1女2﹣﹣由表格可知，共有12種可能出現的結果，并且它們都是等可能的，其中“1名男生、1名女生”有8種可能．所以所選取的2名學生中恰好有1名男生、1名女生的概率為812＝23．（22．【詳解】（1）解：設“天宮”模型進價為每個x元，則“神舟”模型進價為每個x+5元，依題意得200x=解得x=20．

經檢驗，x=20是原分式方程的解.x+5=25．

答：“天宮”模型的進價為每個20元，“神舟”模型的進價為每個25元．（4分）（2）∵購進“神舟”模型a個，則購進“天宮”模型100-a個，∴w=35-25a+∵購進“神舟”模型的數量不超過“天宮”模型數量的14∴a≤14解得：a≤20．

∵w=2a+800，k=2>0．∴當a=20時，wmax=2×20+800=840即購進“神舟”模型20個時，銷售這批模型可以獲得最大利潤，最大利潤為840元．（8分）23．【詳解】（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠BAD=∠ADE=90°，∴∠ABF+∠AFB=90°，（1分）∵AE⊥BF，∴∠DAE+∠AFB=90°，∴∠ABF=∠DAE，（2分）在△ABF和△DAE中，∠ABF=∠DAE∠BAF=∠ADE=90°BF=AE，（∴△ABF≌△DAEAAS，∴AB=AD，∴矩形ABCD是正方形；（4分）（2）證明：如圖，由（1）可知，△ABF≌△DAE，∴AF=DE，（5分）∵正方形ABCD，∴AD=DC=BC=AB，∠D=∠C=90°，AB∥∴DF=CE，（6分）∵DF∴DFBC=DEEC，∵∠FDE=∠BCE=90°，∴△FDE∽△BCE，∴∠DEF=∠CEB，（8分）∵AB∥∴∠ABE=∠CEB，∴∠ABE=∠DEF．（9分）24．【詳解】（1）由題意知，BC=BM，∵∠ABC=66°，∴∠BMC=∠BCM=57°，∵∠ACB=90°，∴∠ACM=∠ACB-∠BCM=90°-57°=33°；（3分）（2）連接CD，∵BC為⊙O的直徑，∴∠ADC=90°，∵AC為過C點的切線，過點D作⊙O的切線DE交AC于點E，∴DE=CE，∴∠EDC=∠ECD，∵∠EDC+∠ADE=90°，∠ECD+∠A=90°，∴∠A=∠ADE，∴AE=DE，∴AE=CE；（6分）（3）連接CD，由（1）（2）可得∠ADC=90°，AE=DE=CE，∠A=∠BCD=90°-∠B，∴tan∠DCB=∴設BD=3x，CD=4x，則BC=BM=5x，∵tan∠A=∴AD=16x3，∴AB=BD+AD=25x∴AM=AB-BC=10∴S△ACMS△ADE∴S△ADE:S△ACM25．（10分）若一次函數y=mx+n與反比例函數y=kx同時經過點P(x,y)則稱二次函數y=mx2+nx-k為一次函數與反比例函數的“(1)判斷y=2x-1與y=3x是否存在“共享函數”，如果存在，請求出“共享點(2)已知：整數m，n，t滿足條件t<n<8m，并且一次函數y=(1+n)x+2m+2與反比例函數y=2024x存在“共享函數”y=(m+t)x(3)若一次函數y=x+m和反比例函數y=m2+13x在自變量x的值滿足的m≤x≤m+6的情況下．其“共享函數”的最小值為3，求其【答案】(1)點P的坐標為：(32，2)或(2)m=2(3)