第=page11頁(yè)，共=sectionpages11頁(yè)2024-2025學(xué)年江蘇省淮安市十校聯(lián)盟高一下4月期中學(xué)情調(diào)查測(cè)試數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.若復(fù)數(shù)z=2+ia+i的實(shí)部與虛部相等，則實(shí)數(shù)aA.?3 B.?1 C.1 D.32.已知平面向量a=(?2,3),b=(?4,0)，則a在b上的投影向量為A.8 B.(?8,0) C.(?2,0) D.(?4,0)3.如圖，在正方體ABCD?A1B1C1D1中，M，N分別為AC,A1A.π6 B.π4 C.π34.|a|=4，b=2，2a?3b=2A.π3 B.π6 C.

2π35.已知cos2α=sin2α?1，α為第一象限角.則A.

223 B.

?226.在三角形ABC中，AC=3，AB=4，∠CAB=120°，則(ABA.?12 B.12 C.?10 D.107.若sin(α?β)+cos(α?β)=2A.tan(α?β)=?1 B.tan(α?β)=1 C.tan(α+β)=?18.已知ΔABC是以C為直角的直角三角形．ΔADC和ΔBCE是以AC、BC為邊長(zhǎng)的等邊三角形，SΔADCSΔBCE=169，sinA.

25169 B.144169 C.119169二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.已知正方體ABCD?A1B1C1D1中，O為B1DA.A,M,O三點(diǎn)共線 B.A,M,O,A1四點(diǎn)共面

C.A,O,C,M四點(diǎn)共面 D.10.如圖，在△ABC中，已知點(diǎn)D在邊AB上，AD=3DB，cosA=45，cos∠ACB=513，BC=13.A.cosB=1665 B.CD=92 C.11.“圓冪定理”是平面幾何中關(guān)于圓的一個(gè)重要定理，它包含三個(gè)結(jié)論，其中一個(gè)是相交弦定理：圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點(diǎn)分成的兩條線段長(zhǎng)的積相等，如圖，已知圓O的半徑2，點(diǎn)P是圓O內(nèi)的定點(diǎn)，且OP=2，弦AC，BD均過(guò)點(diǎn)P，則下列說(shuō)法正確的是(

)

A.PA?PC為定值

B.當(dāng)AC⊥BD時(shí)，AB?CD為定值

C.當(dāng)∠ABC=π3時(shí)，△ABC面積的最大值為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.如圖是梯形ABCD按照斜二測(cè)畫(huà)出的直觀圖A′B′C′D′，其中A′D′=2，B′C′=4，A′B′=1，則原梯形ABCD的面積為

．

13.在△ABC中，a2=b2+c2?14.天文學(xué)家設(shè)計(jì)了一種方案可以測(cè)定流星的高度.如圖，將地球看成一個(gè)球O，半徑為R，兩個(gè)觀察者在地球上A，B兩地同時(shí)觀察到一顆流星S，仰角分別是α和β(MA,MB表示當(dāng)?shù)氐牡仄骄€)，由平面幾何相關(guān)知識(shí)，∠MAB=∠MBA=12∠AOB，MA⊥OA，MB⊥OB，設(shè)AB的長(zhǎng)度為πR2，α=π12，β=π6，則流星高度為

.(流星高度為SO四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。15.(本小題13分)

歐拉(1707?1783)，他是數(shù)學(xué)史上最多產(chǎn)的數(shù)學(xué)家之一，他發(fā)現(xiàn)并證明了歐拉公式eiθ=cosθ+isinθ，從而建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的關(guān)系，若將其中的θ取作π就得到了歐拉恒等式eπi+1=0，它是令人著迷的一個(gè)公式，它將數(shù)學(xué)里最重要的幾個(gè)量聯(lián)系起來(lái)，兩個(gè)超越數(shù)——自然對(duì)數(shù)的底數(shù)e，圓周率π，兩個(gè)單位——虛數(shù)單位i和自然數(shù)單位1，以及被稱(chēng)為人類(lèi)偉大發(fā)現(xiàn)之一的0，數(shù)學(xué)家評(píng)價(jià)它是“上帝創(chuàng)造的公式”，請(qǐng)你根據(jù)歐拉公式：eiθ=cosθ+isinθ，解決以下問(wèn)題：

(1)將復(fù)數(shù)eπ4i+eπi寫(xiě)成16.(本小題15分)

如圖，在梯形ABCD中，E為DC的中點(diǎn)，AD//BC，∠BAD=π2，∠BDA=π3，BC=BD．

(1)求AE?BD；

(2)求AC17.(本小題15分)

已知sin2α=45，α∈(0,π4)，sin(β?π4)=35，β∈(π418.(本小題17分)已知a=(3sinx,cosx)，b=(cosx,3cosx)，f(x)=a?b，a(1)若a=3，c=2b，判斷ΔABC的形狀．(2)若a=3，求ΔABC19.(本小題17分)已知a，b，c分別為ΔABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，且bsin(1)求角B的值；(2)若b=3，且ΔABC的面積為3(3)如圖，若點(diǎn)P在ΔABC內(nèi)部，滿足∠APB=∠BPC=∠CPA=2π3，且ΔABC的面積為23，設(shè)∠PBA=α，求參考答案1.A

2.C

3.B

4.A

5.A

6.D

7.C

8.C

9.ABC

10.AB

11.ABD

12.6

13.214.(15.解：(1)eπ4i+eπi=cosπ4+isinπ4+(cosπ+isinπ)=(22?1)+16.解：(1)由題意建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，

設(shè)AD=1，

又在梯形ABCD中，E為DC的中點(diǎn)，AD//BC，∠BAD=π2，∠BDA=π3，BC=BD，

則A(0,0)，D(1,0)，B(0,3)，C(2,3)，E(32,32)，

則AE?BD=(32,32)?(1,?17.解：(1)∵α∈(0,π4)，∴2α∈(0,π2)，

又sin2α=45，∴cos2α=1?sin22α=35，

由cos2α=1?2sin2α，得sinα=1?cos2α2=55，

∴cosα=1?sin2α=255；

(2)由β∈(π4,π218.解：(1)依題意f(x)=3sinxcosx+3cos2x

=32sin2x+3?1+cos2x2

=3sin(2x+π6)+32，

又因?yàn)閒(A2+π3)=3sin(A+5π6)+32=0，

所以sin(A+5π6)=?12;

∵A∈(0,π)，A+5π6∈(5π6,11π6)，

∴A+5π19.解：(1)在△ABC中，由正弦定理：sinBsinA+3sinAcosB=2sinA，∵sinA>0，

∴sinB+3cosB=2