2026屆普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試青桐鳴高一聯(lián)考數(shù)學(xué)（北師大版）全卷滿(mǎn)分150分，考試時(shí)間120分鐘.注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、班級(jí)、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)填寫(xiě)在答題卡上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上.寫(xiě)在本試卷上無(wú)效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)滿(mǎn)足，則（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由復(fù)數(shù)除法運(yùn)算可解.【詳解】根據(jù)題意，，則.故選：A2已知，則（）A.2B.C.D.【答案】D【解析】【分析】利用同角基本關(guān)系式，可得，從而得解.【詳解】由，又，故選：D3.已知復(fù)數(shù)，（，為虛數(shù)單位），且，則（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意，結(jié)合復(fù)數(shù)相等的充要條件，列出方程組，即可求解.【詳解】由復(fù)數(shù)，（，為虛數(shù)單位），因?yàn)椋傻茫瑒t，解得.故選：D.4.在平行四邊形中，為的中點(diǎn)，設(shè)，，則（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】先利用向量的減法表示，再利用向量的加法表示.【詳解】如圖：因?yàn)椋?故選：A5.已知角的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義及二倍角公式即得.【詳解】因?yàn)榻堑慕K邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以，，，于．故選：C.6.在中，，點(diǎn)為邊上一點(diǎn)，且，則（）A.3B.2C.D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意，求得，再由向量的運(yùn)算法則，得到，結(jié)合向量的數(shù)量積的運(yùn)算法則，即可求解.【詳解】由，可得，因?yàn)辄c(diǎn)為邊上一點(diǎn)，且，可得，所以，所以.故選：D.7.如圖，在菱形中，，，，，分別是邊，，，的中點(diǎn)，以點(diǎn)為圓心，以，為半徑作出兩段圓弧，與分別交于點(diǎn)，，分別以，，為圓心，用同樣方法作出如圖陰影部分的扇環(huán)，其中.若扇環(huán)的周長(zhǎng)為，則扇環(huán)的面積為（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】先根據(jù)扇環(huán)的周長(zhǎng)，求出的長(zhǎng)度，再根據(jù)扇形的面積公式求扇環(huán)的面積.【詳解】設(shè)，則，因?yàn)樯拳h(huán)的周長(zhǎng)為，所以：.所以扇環(huán)的面積為：.故選：B8.已知，，，均為非零向量，與的夾角為，與的夾角為，滿(mǎn)足，，則，的夾角（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】利用平面向量夾角公式化簡(jiǎn)已知，可得，再根據(jù)數(shù)量積的定義計(jì)算可解.詳解】根據(jù)題意，，則，因?yàn)椋傻茫?jiǎn)為，，則，所以，而，所以.故選：B二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得3分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)，，則下列說(shuō)法正確的是（）A.B.的共軛復(fù)數(shù)為C.的虛部為D.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限【答案】BC【解析】【分析】對(duì)于A：根據(jù)模長(zhǎng)公式分析求解；對(duì)于B：先根據(jù)乘法運(yùn)算求，再結(jié)合共軛復(fù)數(shù)的概念分析判斷；對(duì)于C：先根據(jù)除法運(yùn)算求，再結(jié)合虛部的概念分析判斷；對(duì)于D：先求，再結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義分析判斷.【詳解】由題意可知：，對(duì)于選項(xiàng)A：因?yàn)椋裕蔄錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B：因?yàn)椋缘墓曹棌?fù)數(shù)為，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C：因?yàn)椋缘奶摬繛椋蔆正確；對(duì)于選項(xiàng)D：因?yàn)椋詮?fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，位于第四象限，故D錯(cuò)誤；故選：BC.10.已知函數(shù)部分圖象如圖所示，則下列說(shuō)法正確的是（）A.B.C.直線為圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸D.將圖象上的所有點(diǎn)向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到的圖象【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的圖象，求得，可得判定A正確，B不正確，再結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)，以及三角函數(shù)的圖象變換，可判定C、D正確.【詳解】由函數(shù)的圖象，可得，可得，則，又由，所以，又由，即，因?yàn)椋裕傻茫裕訟正確；B不正確；對(duì)于C中，由為函數(shù)的最大值，所以直線為圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸，所以C正確；對(duì)于D中，將圖象上的所有點(diǎn)向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，可得，所以D正確故選：ACD.11.已知兩個(gè)非零的平面向量與，定義新運(yùn)算，，則下列說(shuō)法正確的是（）A.B.對(duì)于任意與不共線的非零向量，都有C.對(duì)于任意的非零實(shí)數(shù)，都有D.若，，則【答案】ABD【解析】【分析】對(duì)于A：根據(jù)題中定義即可判斷；對(duì)于BC：根據(jù)題意結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算律分析判斷；對(duì)于D：分析可知，可得，進(jìn)而可知，即可得結(jié)果.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：因?yàn)椋裕蔄正確；對(duì)于選項(xiàng)B：因?yàn)椋蔅正確；對(duì)于選項(xiàng)C：因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，，故C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D：若，，則，可得，則，且，可知，結(jié)合題意可知，，所以，故D正確；故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.若向量與單位向量的方向相同，則______.【答案】2【解析】【分析】根據(jù)向量共線的坐標(biāo)表示求得，并代入檢驗(yàn)即可.【詳解】因?yàn)橄蛄颗c單位向量共線，則，解得，若，則，可知，且，則同向，所以符合題意.故答案為：2.13.如圖，已知山體與山體的底部在同一水平面上，且兩個(gè)山體的高線與均與水平面垂直，，在山體的最高點(diǎn)處測(cè)得山頂?shù)难鼋菫椋瑴y(cè)得山底A的俯角為，則______m.【答案】【解析】【分析】在中，可得，在中，利用正弦定理分析求解.【詳解】在中，可知，可得，在中，可知，由正弦定理可得，所以m.故答案為：.14.已知為鈍角，且，角，，滿(mǎn)足，則______.【答案】##【解析】【分析】首先“切化弦”，再利用兩角和與差的三角函數(shù)公式求，再結(jié)合的范圍求角.【詳解】因?yàn)樗裕瑒t，即.因?yàn)椋裕覟殁g角，.所以，故.所以，又為銳角，所以.故答案為：四、解答題：共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.已知為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，為的共軛復(fù)數(shù).（1）求的值；（2）求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算，結(jié)合純虛數(shù)的概念列式即可求解參數(shù)m；（2）由（1）得到復(fù)數(shù)，再根據(jù)復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算化簡(jiǎn)，再求得復(fù)數(shù)的模，從而得解.【小問(wèn)1詳解】由，得因?yàn)闉榧兲摂?shù)，所以，解得.【小問(wèn)2詳解】由第一問(wèn)得，所以，所以，從而，即的值為.16.在平面直角坐標(biāo)系中，已知向量，.（1）求向量在向量上的投影向量；（2）若點(diǎn)滿(mǎn)足，與的夾角為，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示求，可得，結(jié)合投影向量的定義分析求解；（2）由題意可知為線段的中點(diǎn)，進(jìn)而可得，根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算結(jié)合夾角公式分析求解.【小問(wèn)1詳解】由題意可得：，則，所以向量在向量上的投影向量為.【小問(wèn)2詳解】因?yàn)椋芍獮榫€段的中點(diǎn)，則，，可得，所以.17.已知.（1）求的值；（2）求的值.【答案】（1）2（2）【解析】【分析】（1）結(jié)合二倍角公式和同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求值.（2）利用二倍角的余弦公式化簡(jiǎn)求值.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)椋?【小問(wèn)2詳解】.18.已知的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，且在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，.（1）求的解析式；（2）若，求滿(mǎn)足不等式的解集.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)對(duì)稱(chēng)軸和對(duì)稱(chēng)中心求出周期，再由關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，求出，最后由解出函數(shù)；（2）根據(jù)題意，得，結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)可解.【小問(wèn)1詳解】根據(jù)題意，且在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，則為函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸，又函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，且對(duì)稱(chēng)點(diǎn)在單調(diào)區(qū)間內(nèi)，所以，則，，且，又，所以，再由，即，所以，所以；【小問(wèn)2詳解】由，得，而，則，，則，則或，解得或，所以滿(mǎn)足不等式的解集為.19.如果三角形的一個(gè)內(nèi)角等于另外一個(gè)內(nèi)角的二倍，我們稱(chēng)這樣的三角形為二倍角三角形.設(shè)的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，已知.（1）證明：為二倍角三角形；（2）若為銳角三角形，且，求的取值范圍.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，由正弦定理化簡(jiǎn)得，再由余弦定理，得到，結(jié)合正弦定理求得，得到，即可得證；（2）由（1）知，則，結(jié)合為銳角三角形，求得，由正弦定理得，求得，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性，即可求解.【小問(wèn)1詳解