2023～2024學(xué)年度下學(xué)期5月質(zhì)量檢測高二數(shù)學(xué)全卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.注意事項(xiàng)：1.答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在試卷和答題卡上，并將條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.2.請(qǐng)按題號(hào)順序在答題卡上各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.3.選擇題用2B鉛筆在答題卡上把所選答案的標(biāo)號(hào)涂黑；非選擇題用黑色簽字筆在答題卡上作答；字體工整，筆跡清楚.4.考試結(jié)束后，請(qǐng)將試卷和答題卡一并上交.5.本卷主要考查內(nèi)容：北師大版選擇性必修第一冊(cè)第七章，選擇性必修第二冊(cè).一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)為3，則（）A.3B.C.6D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)已知條件及函數(shù)在導(dǎo)數(shù)的定義即可求解.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)在處的導(dǎo)數(shù)為3，所以，所以．故選：B.2.記等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，則公差（）A.-1B.C.D.2【答案】A【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列求和公式得到方程組，求出公差.【詳解】由等差數(shù)列求和公式得，解得.故選：A3.函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】求導(dǎo)，令，利用導(dǎo)數(shù)求的單調(diào)遞減區(qū)間.【詳解】由題意可知：的定義域?yàn)椋遥睿獾茫院瘮?shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是.故選：B.4.色差和色度是衡量毛絨玩具質(zhì)量優(yōu)劣的重要指標(biāo)，現(xiàn)抽檢一批產(chǎn)品測得數(shù)據(jù)列于表中.已知該產(chǎn)品的色度y和色差x之間滿足線性相關(guān)關(guān)系，且，現(xiàn)有一對(duì)測量數(shù)據(jù)為，若該數(shù)據(jù)的殘差為0.6，則（）色差x21232527色度y15181920A.23.4B.23.6C.23.8D.24.0【答案】A【解析】【分析】先由x、y的平均值和代入方程，求得，從而得到，再將代入并加上殘差0.6即可得出答案.【詳解】由題意可知，，，將代入，即，解得，所以，當(dāng)時(shí)，，則.故選：A.5.在等比數(shù)列中，，，成等差數(shù)列，則（）A.B.C.2D.4【答案】C【解析】【分析】根據(jù)等差中項(xiàng)的知識(shí)列方程，求得等比數(shù)列的公比，從而求得.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，由于，，成等差數(shù)列，所以，所以.故選：C6.設(shè)點(diǎn)P是函數(shù)圖象上的任意一點(diǎn)，點(diǎn)P處切線的傾斜角為α，則角α的取值范圍是（）AB.C.D.【答案】C【解析】【分析】求導(dǎo)，得到，從而得到，結(jié)合傾斜角的范圍，求出α的取值范圍.【詳解】，∵點(diǎn)P是曲線上的任意一點(diǎn)，點(diǎn)P處切線的傾斜角為α，∴．∵，∴．故選：C．7.已知正項(xiàng)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，滿足，則（）A.2022B.2023C.2024D.2025【答案】B【解析】【分析】由遞推式得出，兩式相減根據(jù)，可得是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，進(jìn)而利用通項(xiàng)公式求解即可.【詳解】由題意，，，兩式相減，得，．，．當(dāng)時(shí)，，，是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列．．故選：B8.已知，設(shè)函數(shù)，若存在，使得，則的取值范圍是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】當(dāng)時(shí)，的最小值為，然后分是否大于1，討論在時(shí)的最小值，由此分別列出不等式即可求解.【詳解】當(dāng)時(shí)，易知的最小值為，當(dāng)時(shí)，，令，解得，若，則在上單調(diào)遞增，且時(shí)，，所以只需，解得或，又，所以，若，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，成立，所以符合題意，綜上，的取值范圍是.故選：D.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：涉及到含參分段函數(shù)的最值時(shí)，一般討論時(shí)盡量做到有序討論，這樣可以不充不漏，從而即可順利得解.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.對(duì)于經(jīng)驗(yàn)回歸方程，以下判斷正確的是（）A.變量x與變量y正相關(guān)B.該方程一定過點(diǎn)C.根據(jù)經(jīng)驗(yàn)回歸方程可以預(yù)測，當(dāng)時(shí)，變量D.當(dāng)變量x減少一個(gè)單位時(shí)，y平均增加2個(gè)單位【答案】BCD【解析】【分析】由經(jīng)驗(yàn)回歸方程斜率可得A；由經(jīng)驗(yàn)回歸方程必過樣本中心點(diǎn)可得B；由經(jīng)驗(yàn)回歸方程性質(zhì)計(jì)算可得C、D.【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，由，故變量x與變量y負(fù)相關(guān)，所以A項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B選項(xiàng)，經(jīng)驗(yàn)回歸方程必過點(diǎn)，所以B項(xiàng)正確；對(duì)于C選項(xiàng)，根據(jù)經(jīng)驗(yàn)回歸方程，可預(yù)測變量時(shí)，變量，所以C項(xiàng)正確；對(duì)于D選項(xiàng)，在回歸方程中，當(dāng)變量x減少一個(gè)單位時(shí)，y平均增加2個(gè)單位，所以D項(xiàng)正確.故選：BCD.10.設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，則下列結(jié)論正確的為（）A.若，則為等差數(shù)列B.若，則C.若，則是公差為等差數(shù)列D.若，則的最大值為1【答案】ABD【解析】【分析】由遞推數(shù)列、等差數(shù)列的性質(zhì)即可逐一判斷各個(gè)選項(xiàng)，從而得解.【詳解】當(dāng)時(shí)，，所以為等差數(shù)列，A選項(xiàng)正確；，所以是公差為-1的等差數(shù)列，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，所以，B選項(xiàng)正確；由可知，，所以，D選項(xiàng)正確.故選：ABD.11.已知定義在上的可導(dǎo)函數(shù)滿足，，下列說法正確的是（）A.B.C.D.【答案】BCD【解析】【分析】構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合單調(diào)性即可判斷.【詳解】因?yàn)椋?故構(gòu)造函數(shù)，.則，所以在上單調(diào)遞增.由，得，由的單調(diào)性可得當(dāng)時(shí)，.當(dāng)時(shí)，.A選項(xiàng)：，解得，A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)：，解得，B正確；C選項(xiàng)：，解得，C正確；D選項(xiàng)：，解得，D正確.故選：BCD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.為了比較E、F、G、H四組數(shù)據(jù)的線性相關(guān)性強(qiáng)弱，某同學(xué)分別計(jì)算了E、F、G、H四組數(shù)據(jù)的線性相關(guān)系數(shù)，求得數(shù)值依次為，，，，則這四組數(shù)據(jù)中線性相關(guān)性最強(qiáng)的是______組數(shù)據(jù).【答案】【解析】【分析】借助相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)計(jì)算即可得.【詳解】因?yàn)榫€性相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值越大，線性相關(guān)性越強(qiáng)，且，所以H組數(shù)據(jù)線性相關(guān)性最強(qiáng).故答案為：.13.已知函數(shù)，，則的最小值為______.【答案】##【解析】【分析】先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再判斷給定區(qū)間函數(shù)的單調(diào)性，從而求得函數(shù)的最小值.【詳解】因?yàn)椋瑒t，，令，解得，令，解得，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以.故答案為：．14.已知數(shù)列滿足，，數(shù)列的前項(xiàng)和為，則的整數(shù)部分是___________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)已知關(guān)系式可得，知數(shù)列為遞增數(shù)列；采用裂項(xiàng)相消法可求得，知，由數(shù)列單調(diào)性可求得，由此可推導(dǎo)得到，從而求得結(jié)果.【詳解】，，又，，，數(shù)列為遞增數(shù)列；，，則；，；，，，，，，則的整數(shù)部分為.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查利用數(shù)列遞推關(guān)系式研究數(shù)列的性質(zhì)及裂項(xiàng)相消法求和的問題；解題關(guān)鍵是能夠?qū)?shù)列遞推關(guān)系式進(jìn)行變形，得到、，從而確定的表達(dá)式.四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟.15.人們?cè)?jīng)相信，藝術(shù)家將是最后被AⅠ所取代的職業(yè)，但技術(shù)的進(jìn)步已經(jīng)將這一信念敲出了裂痕，這可能是AⅠ第一次引起人類的恐慌，由novalAⅠ，DALL－E2等軟件創(chuàng)作出來的給畫作品風(fēng)格各異，乍看之下，已與人類繪畫作品無異，AⅠ會(huì)取代人類畫師嗎？某機(jī)構(gòu)隨機(jī)對(duì)60人進(jìn)行了一次調(diào)查，統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)認(rèn)為會(huì)取代的有42人，30歲以下認(rèn)為不會(huì)取代的有12人，占30歲以下調(diào)查人數(shù)的．（1）根據(jù)以上數(shù)據(jù)完成如下2×2列聯(lián)表：年齡理解情況總計(jì)會(huì)取代不會(huì)取代30歲以下1230歲及以上總計(jì)4260（2）依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為年齡與理解情況有關(guān)？并說明原因．0.100.050.0100.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828參考公式：，其中．【答案】（1）列聯(lián)表見解析（2）年齡與理解情況無關(guān)，此推斷犯錯(cuò)誤的概率不大于0.010；理由見解析.【解析】【分析】（1）根據(jù)題設(shè)中的數(shù)據(jù)即可求解；（2）代入卡方公式求出值與表對(duì)比即可求解.【小問1詳解】完成2×2列聯(lián)表如下：年齡理解情況總計(jì)會(huì)取代不會(huì)取代30歲以下18123030歲及以上241630總計(jì)421860【小問2詳解】設(shè)為：年齡與理解情況相互獨(dú)立，即年齡與理解情況無關(guān)，由題意，，所以根據(jù)小概率的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷成立．即認(rèn)為年齡與理解情況無關(guān)，此推斷犯錯(cuò)誤的概率不大于0.010．16.已知數(shù)列滿足，.（1）證明：數(shù)列為等比數(shù)列；（2）在與之間插入個(gè)數(shù)，使得這個(gè)數(shù)組成公差為的等差數(shù)列，求.【答案】（1）證明見解析（2）39【解析】【分析】（1）分析可得，結(jié)合等比數(shù)列的定義分析證明；（2）由（1）可得，結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)列式求解.【小問1詳解】因?yàn)椋瑒t，且，可得，所以是以3為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列；【小問2詳解】由（1）可得：，則，由題意可得：，，即，解得，所以的值為39.17.已知函數(shù)．（1）若在處取得極值，求的單調(diào)區(qū)間；（2）若在區(qū)間上單調(diào)遞增，求a的取值范圍．【答案】（1）的單調(diào)遞減區(qū)間為，的單調(diào)遞增區(qū)間為和.（2）.【解析】【分析】（1）求出，由題意可知，即可解得的值，然后利用和，求出的單調(diào)區(qū)間.（2）由條件可得在區(qū)間上恒成立，得在區(qū)間上恒成立，結(jié)合二次函數(shù)，可得答案.【小問1詳解】，，解得，則，，令，解得或，令，解得，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，的單調(diào)遞增區(qū)間為和.【小問2詳解】，因?yàn)樵趨^(qū)間上單調(diào)遞增，所以在區(qū)間上恒成立，因?yàn)楹愦笥冢栽趨^(qū)間上恒成立，設(shè)，當(dāng)時(shí)，得在區(qū)間上不恒成立，所以不滿足題意，當(dāng)時(shí)，由于函數(shù)的對(duì)稱軸，所以要在區(qū)間上恒成立，只需不等式組無解，或解得，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的對(duì)稱軸，要在區(qū)間上恒成立，則只需，無解，綜上，實(shí)數(shù)的求值范圍是.18.已知正項(xiàng)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且滿足，數(shù)列滿足．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】（1），；（2）．【解析】【分析】（1）根據(jù)等比數(shù)列定義和數(shù)列的作差求通項(xiàng)，以及累乘法即可求解；（2）根據(jù)等比數(shù)列的求和和分組求和即可求解.【小問1詳解】設(shè)數(shù)列的公比為q，由已知得，因?yàn)椋裕茫郑裕裕瑢?duì)于數(shù)列，因?yàn)棰佼?dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，②，由①②得，即，又，也適合上式，故，當(dāng)時(shí)，又，所以；【小問2詳解】由（1）可得：，則，則數(shù)列的前項(xiàng)和為：，所以：．19已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）已知有兩個(gè)極值點(diǎn).（ⅰ）求的取值范圍；（ⅱ）若的極小值小于，求的極大值的取值范圍.【答案】（1）（2）（ⅰ）；（ⅱ）【解析】【分析】（1）求導(dǎo)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程；（2）（ⅰ）分析可知原題意等價(jià)于有兩個(gè)不同的正實(shí)數(shù)根，結(jié)合基本不等式分析求解；（ⅱ）設(shè)有兩個(gè)不同的正實(shí)數(shù)根，根據(jù)單調(diào)性可知的極值點(diǎn)，結(jié)合零點(diǎn)代換可得，構(gòu)建，結(jié)合單調(diào)性分析可得，則，即可得取值范圍.【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，則，，可得，，即切點(diǎn)坐標(biāo)為，切線斜率，所以曲線在處的切線方程為，即.【小問2詳解】（ⅰ）由題意可知：的定義域?yàn)椋睿傻茫}意等價(jià)于有兩個(gè)不同的正實(shí)數(shù)根，因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，可知，所以的取值范圍；（ii）由（i）可知：有兩個(gè)不同的正實(shí)數(shù)根，，不妨設(shè)，可知，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)或時(shí)，；可知在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以為極小值點(diǎn)，為的極大值點(diǎn)，對(duì)于的極值點(diǎn)，則，可得，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，